有有 理理 数数 总总 复复 习习一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念二、二、有理数的运算有理数的运算1.负数负数 2.有理数有理数 3.数轴数轴4.互为相反数互为相反数5.有理数的绝对值有理数的绝对值6.有理数大小的比较有理数大小的比较7.科学记数法科学记数法 加、减、乘、除、乘方运算加、减、乘、除、乘方运算 一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念1.负数：负数： 在正数前面加在正数前面加“—”的数；的数；0既既不是正数，也不是负数不是正数，也不是负数判断：判断： 1））a一定是正数；一定是正数； 2）－）－a一定是负数；一定是负数； 3）－（－）－（－a））一定大于一定大于0；； 4））0是正整数是正整数×××× 2.有理数：有理数： 整数和分数统称有理数整数和分数统称有理数有理数有理数整数整数分数分数正整数（自然数）正整数（自然数） 零零负整数负整数正分数正分数负分数负分数有理数有理数正有理数正有理数零零负有理数负有理数正整数（自然数）正整数（自然数）正分数正分数负整数负整数负分数负分数 3.3.数数 轴轴规定了原点、正方向和单位长度的直线规定了原点、正方向和单位长度的直线. .1 1）在数轴上表示的两个数，）在数轴上表示的两个数， 右边的数总比左边的数大；右边的数总比左边的数大；2 2）正数都大于）正数都大于0,0,负数都小于负数都小于0 0；； 正数大于一切负数；正数大于一切负数；- -3 –2 –1 3 –2 –1 0 1 2 3 40 1 2 3 43 3）所有有理数都可以用数轴上）所有有理数都可以用数轴上 的点表示。
的点表示 4.4.相反数相反数 只有符号不同的两个数，只有符号不同的两个数， 其中一个是另一个的相反数其中一个是另一个的相反数 1 1）数）数a a的相反数是的相反数是- -a a2 2））0 0的的相反数是相反数是0. 0. -4 -3 –2 –1 -4 -3 –2 –1 0 1 2 3 40 1 2 3 4-2-22 2-4-44 43 3）若）若a a、、b b互为相反数，则互为相反数，则a+b=0. a+b=0. （（a a是任意一个有理数）；是任意一个有理数）； 5 5. .绝对值绝对值一个数一个数a a的绝对值就是数轴上的绝对值就是数轴上 表示数表示数a a的点与原点的距离的点与原点的距离1 1）数）数a a的绝对值记作的绝对值记作︱︱a a︱︱; ; 若若a a＞＞0 0，，则︱则︱a a︱︱= = ; ;2 2）） 若若a a＜＜0 0，，则︱则︱a a︱︱= = ; ; 若若a =0a =0，，则︱则︱a a︱︱= = ; ;- -3 –2 –1 3 –2 –1 0 1 2 3 40 1 2 3 42 23 34 4a a-a-a0 03) 3) 对任何有理数对任何有理数a,a,总有︱总有︱a a︱︱≥0.≥0. 6 6. .有理数大小的比较有理数大小的比较1 1）可通过数轴比较：）可通过数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；总比左边的数大； 正数都大于正数都大于0 0，负数都小于，负数都小于0 0；；正数大于一切负数；正数大于一切负数；2 2）两个负数，绝对值大的反而小。
两个负数，绝对值大的反而小即即: :若若a a＜＜0,b0,b＜＜0,0,且︱且︱a a︱＞︱︱＞︱b b︱︱, , 则则a a ＜＜ b. b. 7 7. .科学记数法科学记数法1. 1. 把一个大于把一个大于1010的数记成的数记成a×10a×10n n的形式，其中的形式，其中a a是整数数位只有一位是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做的数，这种记数法叫做科学记数法科学记数法 . . 有理数的五种运算有理数的五种运算1.1.运算法则运算法则2.2.运算顺序运算顺序3.3.运运 算算 律律 1.1.运算法则运算法则1 1）有理数）有理数加法加法法则法则2 2）有理数）有理数减法减法法则法则3 3）有理数）有理数乘法乘法法则法则4 4）有理数）有理数除法除法法则法则5 5）有理数的）有理数的乘方乘方 1)1)有理数加法法则有理数加法法则① ① 同号两数相加同号两数相加, ,取相同的符号取相同的符号, ,并把绝对值相加；并把绝对值相加；② ② 异号两数相加异号两数相加, ,取绝对值较大取绝对值较大的加数的符号的加数的符号, ,并用较大的绝对值并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得的两数相加得0 0；； ③ ③ 一个数同一个数同0 0相加相加, ,仍得这个数。
仍得这个数 若若a>0,b<0,a>0,b<0,︱︱a a︱︱> >︱︱b b︱︱, , 则则a+b=a+b=用用数学语言描述有理数加法法则：数学语言描述有理数加法法则：①①同号相加：同号相加： 若若a>0,b>0,a>0,b>0,则则a+b=a+b=若若a<0,b<0,a<0,b<0,则则a+b=a+b=若若a>0,b<0,a>0,b<0,︱︱a a︱︱< <︱︱b b︱︱, , 则则a+b=a+b=②②异号相加异号相加③③与与0 0相加相加若若a a、、b b互为相反数，则互为相反数，则a+b=a+b=a a是任一个有理数，则是任一个有理数，则a+0=a+0=︱︱a a︱︱+ +︱︱b b︱︱- -︱︱a a︱︱- -︱︱b b︱︱( (︱︱b b︱︱- -︱︱a a︱︱) )0 0a a( (︱︱a a︱︱+ +︱︱b b︱︱) )- - 2)2)有理数减法法则有理数减法法则 减去一个数，减去一个数， 等于加上这个数的相反数等于加上这个数的相反数. . 即即 a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)例：分别求出数轴上两点间的距离：例：分别求出数轴上两点间的距离：①①表示表示2 2的点与表示的点与表示-7-7的点；的点；②②表示表示-3-3的点与表示的点与表示-1-1的点。
的点解：解：①①︱︱2-2-（（-7-7）︱）︱= =︱︱2+72+7︱︱= =︱︱9 9︱︱=9=9 ② ②︱︱-3--3-（（-1-1）︱）︱= =︱︱-3+1-3+1︱︱= =︱︱-2-2︱︱=2=2 3 3）有理数的乘法法则）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；并把绝对值相乘； 任何数同任何数同0 0相乘，都得相乘，都得0.0.① ① 几个不等于几个不等于0 0的数相乘，积的符号的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正时，积为正. .② ② 几个数相乘，有一个因数为几个数相乘，有一个因数为0 0，，积就为积就为0.0. 用数学语言描述有理数乘法法则：用数学语言描述有理数乘法法则：①①同号相乘同号相乘 若若a>0,b>0,a>0,b>0,则则 abab= = ︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱若若a<0,b<0,a<0,b<0,则则 abab= = ︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱②②异号相乘异号相乘 若若a>0,b<0,a>0,b<0,则则 abab= =若若a<0,b>0,a<0,b>0,则则 abab= =︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱③③数与数与0 0相乘相乘a a为任何有理数，则为任何有理数，则 a×0=a×0=0 0+ ++ +- -- - 4)4)有理数除法法则有理数除法法则①①除以一个数等于乘上这个数的倒数除以一个数等于乘上这个数的倒数; ; 即即a÷b=a× a÷b=a× (b≠0) (b≠0)② ② 两数相除两数相除, ,同号得正同号得正, ,异号得负异号得负, ,并把绝对值相除并把绝对值相除; ; 0 0除以任何一个不等于除以任何一个不等于0 0的数的数, ,都都得得0.0. 5)5)有理数的乘方有理数的乘方 ①①求求n n个相同因数的积的运算个相同因数的积的运算, ,叫做乘方。
叫做乘方②②正数的任何次幂都是正数；正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数负数的偶次幂是正数. .幂幂指数指数 底数底数 即a·a·a· ··· ·a= n n 个个 2.2.运算顺序运算顺序1 1）有括号，先算括号里面的；）有括号，先算括号里面的；2 2）先算乘方，再算乘除，）先算乘方，再算乘除， 最后算加减；最后算加减；3 3）对只含乘除，或只含加减的）对只含乘除，或只含加减的 运算，应从左往右运算运算，应从左往右运算 3.3.有理数的运算律有理数的运算律1)1)加法交换律加法交换律a+b=b+aa+b=b+a2)2)加法结合律加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)3)3)乘法交换律乘法交换律abab= =baba4)4)乘法结合律乘法结合律( (abab)c=a()c=a(bcbc) )5)5)分分 配配 律律a(b+c)=a(b+c)=abab+ac+ac 。