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1、ch2ch2力矩力偶力系的简化力矩力偶力系的简化解析解析1.1.力在平面坐标轴上的投影与分解力在平面坐标轴上的投影与分解 Fx=Fcosa Fy=Fsina=F cosb2-1 2-1 力的投影、力矩力的投影、力矩解析表达式解析表达式反之：反之：一、力的投影一、力的投影ij注意：注意：只有在只有在直角坐标系内直角坐标系内才有力在坐标轴上的投才有力在坐标轴上的投影与力在该坐标轴方向的分力大小相等。影与力在该坐标轴方向的分力大小相等。1 1、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy
2、面上，然后再投影到x、y轴上，即2.力在空间坐标轴上的投影与分解：力在空间坐标轴上的投影与分解：FxFyFz解析表达式解析表达式与平面情形类似与平面情形类似注意：注意：图中图中Fxy为力为力F在在xoy面内的投影，它是一个面内的投影，它是一个矢量。矢量。3.合力投影定理：合力投影定理： 合力FR作用点仍为A点，且FR = F1+ F2 + F3 + +Fn= 每一个分力和合力： Fi = Fixi + Fiyj + Fizk FR = FRxi + FRyj + FRzk有 FRxi + FRyj + FRzk = i + j +k所以 合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上的投影之
3、和。合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上的投影之和。合力的大小和方向即可确定：合力的大小和方向即可确定：为合力与三个坐标轴方向的夹角 例例 固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN，F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。，求三个力的合力。 解解: : 力多边形法（几何法）力多边形法（几何法） 三力构成平面汇交三力构成平面汇交力系，按比例作出三力力系，按比例作出三力首尾相连，连接第一个首尾相连，连接第一个力矢的首端到第三个力力矢的首端到第三个力矢的尾端得三个力的合矢的尾端得三个力的合力矢力矢FR 。 量得合力矢的大
4、小为量得合力矢的大小为FR= 8.3kN ，与水平线偏，与水平线偏角角=3.5=3.5o o。 建立坐标系如图所示，建立坐标系如图所示，三个力在坐标轴上的投影分三个力在坐标轴上的投影分别为别为 投影法（解析法）投影法（解析法）合力合力FR 在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 合力合力FR 的大小的大小 合力合力FR 的方向的方向 课堂练习：课堂练习：铆接薄板在孔心A、B、C处受三力作用，如图所示。F1=100N，沿铅直方向；F3=50N，沿水平方向，并通过点A；F2=50N，力的作用线也通过A点，尺寸如图，求此力系的合力。答案：FR=161.2N，（FR，F1）=2944移动效应移动效应-取
5、决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、转向二、力对点之矩二、力对点之矩 在平面问题中：力对点之矩是代数量。 在空间问题中：力对点之矩是矢量。 力对点之矩力对点之矩：力使物体绕某点（矩心）转动效应的度量。力使物体绕某点（矩心）转动效应的度量。力使物体可以产生 是一代数量。当F=0或d=0时， =0。 是影响转动的独立因素。 =2SAOB=Fd 平面问题中：力对点的矩平面问题中：力对点的矩-+说明：说明： F,d ,转动效应明显。单位：N.m，工程单位 kgf.m。1.力对点之矩的矢量表示力对点之矩的矢量表示即：即：力对点之矩等于矩心到该力力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力
6、的矢量积。作用点的矢径与该力的矢量积。空间问题中：力对点的矩空间问题中：力对点的矩的大小：的方向：方位：力与矩心所确定平面的法向 指向：右手螺旋法则判定（定位矢量）（定位矢量）的解析表达式的解析表达式 力对点之矩矢服从力对点之矩矢服从矢量合成法则矢量合成法则。力系对刚体产。力系对刚体产生的绕某点的转动效应可用生的绕某点的转动效应可用一个矩矢一个矩矢度量。度量。力矩矢的合成力矩矢的合成合力矩定理合力矩定理：合力对某点之矩等于合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和各分力对同一点之矩的矢量和。 MO(FR) = = r (F1F2F3Fn)+MO(F1) + MO(F2)+ +MO(Fn)合力
7、矩定理合力矩定理例：例：求图所示力求图所示力F 对对A 点之矩。点之矩。 解：解：将力将力F 分解两垂直的力分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得，由合力矩定理可得 课堂练习课堂练习 试计算下列各图中力试计算下列各图中力P 对点对点O的矩。的矩。 力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。 力与轴相交或平行时，力对轴之矩为零。即力与轴相交
8、或平行时，力对轴之矩为零。即力与轴力与轴共面时，力对轴之矩为零。共面时，力对轴之矩为零。三、力对轴之矩三、力对轴之矩力对坐标轴之矩的力对坐标轴之矩的解析表达式解析表达式 力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢可表示为力对点之矩矢的方向力对点之矩矢的方向 力对点之矩矢的大小力对点之矩矢的大小 通过计算力对轴之矩实现通过计算力对轴之矩实现计算力对点之矩矢计算力对点之矩矢 例例 已知已知: P=2000N，C点在点在Oxy平面内。求力平面内。求力P
9、对点对点O的矩。的矩。解：解：将力向坐标轴方向分解（二次投影法）将力向坐标轴方向分解（二次投影法）求力对轴的矩求力对轴的矩例例 图中图中A点作用三个与坐标轴方位一致的分力，试求其点作用三个与坐标轴方位一致的分力，试求其合力对原点合力对原点O点的力矩。点的力矩。答案：Fz 对对x、y轴都有矩轴都有矩 例例 试求力试求力F对对OD之矩。之矩。F=10kN，各边长分别为，各边长分别为20cm、30cm、40cm。解：解：由于力对由于力对OD之力臂不是很明之力臂不是很明了，故先求出力对了，故先求出力对O点之矩矢，再点之矩矢，再将其投影到将其投影到OD上去上去 MO(F)OD = MOD(F)MO(F)
10、 = 0.410i = 4i kNm力偶：作用于刚体上力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线等值、反向、平行而不共线的的两个力组成的力系，记为（两个力组成的力系，记为（ ）力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。力偶作用面、力偶臂力偶作用面、力偶臂d d1.1.定义定义2-2 2-2 力力 偶偶一、力偶及其性质一、力偶及其性质 力偶矩矢的大小：力偶矩矢的大小：| |M| = | = |rABF| = | = Fd ；力偶矩；力偶矩矢的方位
11、：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺矢的方位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺旋法则确定。旋法则确定。 平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。 力偶矩矢的解析表示式：力偶矩矢的解析表示式：M = Mx i + My j + Mz k 力偶对物体的转动效应力偶对物体的转动效应用用力偶矩矢力偶矩矢M 来度量。来度量。2.2.力偶的等效条件力偶的等效条件 两力偶的等效条件是两个力偶矩矢相等。两力偶的等效条件是两个力偶矩矢相等。 3.3.力偶的性质力偶的性
12、质 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。性质一性质一力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关，恒等于力偶矩矢量。恒等于力偶矩矢量。性质二性质二 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶中的力和力偶臂的大小，不会改变对刚体的作用效应。中的力和力偶臂的大小，不会改变对刚体的作用效应。 力偶在其作用平面内可任意移转或移到另一平力偶在其作用平面内可任意移转或移到另一平行平面，不会改变对刚体的作用效应。行平面，不会改变对刚体的作用效应。性质三性质三力偶在同一刚
13、体内是一自由矢量力偶在同一刚体内是一自由矢量MR = M1+M2+Mn= 二、力偶系的合成二、力偶系的合成力偶系：由多个力偶所构成的力系。力偶系：由多个力偶所构成的力系。平面问题中平面问题中 各力偶矩矢共线，用代数量表示即可，则合力偶矩各力偶矩矢共线，用代数量表示即可，则合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即等于各分力偶矩的代数和，即MR = M1+M2+Mn例例 已知已知 N，力偶臂，力偶臂 mm， N，力偶臂，力偶臂 mm， N，力偶臂，力偶臂 mm，求三力偶的合力偶矩矢。，求三力偶的合力偶矩矢。解：解：三力偶矩的大小三力偶矩的大小合力偶矩矢对合力偶矩矢对x、y、z轴的投影轴的投影例例. 图示
14、曲杆上作用两个力偶，试求其合力偶；若令此合图示曲杆上作用两个力偶，试求其合力偶；若令此合力偶的两力分别作用在力偶的两力分别作用在A、B 两点，问这两力的方向应该两点，问这两力的方向应该怎样才能使力为最小？怎样才能使力为最小？ M1=500.2=10N.m，M2=-1500.4cos45=-42.42N.mM1+M2=-32.42N.m答案答案：32.42N.m（顺转），力线（顺转），力线AB连线连线一一. .力线平移定理：力线平移定理：作用在刚体上的力可以平移到刚体内作用在刚体上的力可以平移到刚体内任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩矢等于原力对任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩矢等于原力对
15、新作用点之矩。新作用点之矩。2-3 2-3 力系的简化力系的简化空间汇交力系空间汇交力系 空间力偶系空间力偶系 二二. .空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化刚体上作用有刚体上作用有空间空间任意力系任意力系 将其向任意将其向任意O点（简化中心）简化点（简化中心）简化力线平移力线平移空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成 合力大小合力大小合力方向合力方向( (力系主矢力系主矢) )（主矢的大小、方向与简化中心无关）（主矢的大小、方向与简化中心无关）空间力偶系的合成空间力偶系的合成 ( (力系对简化中心的主矩力系对简化中心的主矩) )合力偶矩大小合力偶矩大小（主矩的大小、方向与简化中心有关）
16、（主矩的大小、方向与简化中心有关）合力偶矩方向合力偶矩方向 空间任意力系向任一点简化后，得到一力和一力偶，力的作空间任意力系向任一点简化后，得到一力和一力偶，力的作用线通过简化中心，其大小与方向决定于力系的主矢，等于力系用线通过简化中心，其大小与方向决定于力系的主矢，等于力系各力的矢量和；力偶矩决定于力系对简化中心的主矩，等于力系各力的矢量和；力偶矩决定于力系对简化中心的主矩，等于力系各力对简化中心之矩矢的矢量和。各力对简化中心之矩矢的矢量和。 空间任意力系向一点简化得主矢和主矩，下面针对主矢、空间任意力系向一点简化得主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。主矩的不同情况分别加以
17、讨论。1、若若 , 则该力系则该力系平衡平衡（下节专门讨论）。（下节专门讨论）。2、若、若 ,则力系可合成为一个则力系可合成为一个合力偶合力偶，其力偶矩，其力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心位此时主矩与简化中心位置无关。置无关。3、若若 ，则力系可合成为一个，则力系可合成为一个合力合力，主矢，主矢 就是原力系合力矢就是原力系合力矢 ，合力通过简化中心。，合力通过简化中心。三三. .空间任意力系简化结果的讨论空间任意力系简化结果的讨论 4 4、若若 ，此时分以下情况讨论。，此时分以下情况讨论。若若 ，可进一步简化为作用于另一点处的一个力，可进一
18、步简化为作用于另一点处的一个力( (合力合力）。若若 时时力螺旋力螺旋情形情形（移动又转动移动又转动） 与与 斜交斜交 成任意角成任意角 ，在此种情况下，将在此种情况下，将 分解成两个分分解成两个分量，再分别按量，再分别按、处理。处理。力螺旋力螺旋任意力系的合力矩定理任意力系的合力矩定理： 平面任意力系平面任意力系 向一点简化向一点简化平面汇交力系平面汇交力系+平面力偶系平面力偶系平面汇交力系 主矢主矢 ， (作用在简化中心) 平面力 偶 系 主矩主矩 MO ， (作用在该平面上) 四四. .平面任意力系的简化平面任意力系的简化（移动效应）（移动效应）（转动效应）（转动效应）大小大小:方向方向
19、:平面任意力系简化结果的讨论：平面任意力系简化结果的讨论： =0, MO0 ,原力系简化为一合力偶原力系简化为一合力偶, MO=M , 与简化中与简化中心无关。心无关。 =0， MO =0，则力系平衡则力系平衡,下节专门讨论。下节专门讨论。 0, MO =0,原力系简化为一个作用于简化中心的合原力系简化为一个作用于简化中心的合力。这时简化结果就是合力力。这时简化结果就是合力, 。 0,MO 0, 还可以进一步简还可以进一步简 化为一个合力化为一个合力FR 。例例: : 重力坝受力情形如图所示。设重力坝受力情形如图所示。设P1 = 450kN，P2 = 200 kN，F1= 300 kN，F2
20、= 70kN。求力系的合力。求力系的合力FR的大小和方向余弦、的大小和方向余弦、合力与基线合力与基线OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x，以及合力作用线方程。，以及合力作用线方程。 解：解：（1）先将该平面力系向点）先将该平面力系向点O简化，求得其主矢简化，求得其主矢 和和主矩主矩M0。由图a，有主矢主矢 在x、y轴上的投影为：(kN)(kN)(kN)故主矢在第四象限内，与x轴的夹角为力系对点O的主矩主矩为：(kN.m) （2）合力FR的大小和方向与主矢 相同。其作用线位置的x值可根据合力矩定理求得（图c），即 其中故（m）（3）合力作用线方程 670.1x + 232.9y 2355 =
21、 0答案： =466N，d=4.59cm课堂练习：课堂练习：将图示平面一般力系向点将图示平面一般力系向点O简化，并求力系的合简化，并求力系的合力及其与原点力及其与原点O的距离的距离d，其中各力的大小为，其中各力的大小为P1=150N，P2=200N，P3=300N，力偶臂为，力偶臂为80mm，力偶的力，力偶的力F200N。一、重心坐标的一般公式一、重心坐标的一般公式 2-4 2-4 物体的重心物体的重心1.1.均质物体均质物体2.2.均质等厚物体均质等厚物体 3.3.均质等截面细长杆均质等截面细长杆二、确定物体重心的方法二、确定物体重心的方法 1、简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心方
22、法：方法：查表或积分。简单形状物体的重心可从工程手册查表或积分。简单形状物体的重心可从工程手册中查到。工程中常见型钢截面的形心，也可以从型钢表中查到。工程中常见型钢截面的形心，也可以从型钢表中查到。中查到。对称性的利用对称性的利用：凡具有对称面、对称轴或对称中心的均：凡具有对称面、对称轴或对称中心的均质形体，其重心必相应地在对称面、对称轴或对称中心质形体，其重心必相应地在对称面、对称轴或对称中心上。上。解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴上，即yC=0。取微段例：例： 求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的重心。的均质圆弧的重心。O解解：由于对称关系，该扇形板的重心必在Ox轴上
23、，即yC=0。取微元例：例：求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质扇形板的重心。的均质扇形板的重心。O2、用组合法求重心、用组合法求重心分割法分割法 例：例：角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心的位置。角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心的位置。 解解： 负面积（体积）法负面积（体积）法 在规则物体或薄板内切去一简单几何形状部分，把切在规则物体或薄板内切去一简单几何形状部分，把切去部分的面积或体积取为负值。称为负面积（体积）法。去部分的面积或体积取为负值。称为负面积（体积）法。例：例：求图示截面的形心。（单位：求图示截面的形心。（单位：mmmm）实验法：实验法：称重法称重法悬挂法悬挂法 课堂练习课堂练习 求图示截面形心的位置。（长度单位为求图示截面形心的位置。（长度单位为mm）
