1 第三章 控制系统的时域分析法•第一节第一节 典型输入信号和阶跃响应性能指标典型输入信号和阶跃响应性能指标•第二节第二节 一阶系统分析一阶系统分析•第三节第三节 二阶系统分析二阶系统分析•第四节第四节 高阶系统分析高阶系统分析•第五节第五节 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析•第六节第六节 控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差分析•小结小结2 第三章 控制系统的时域分析法Ø一、典型输入信号Ø二、阶跃响应性能指标3 第三章 控制系统的时域分析法一、典型输入信号 控制系统的时间响应ｃ（ｔ）不仅决定于系统的数学模型，而且还同系统的初始状态以及输入信号有关为了便于研究系统的性能与系统的结构、参数，即数学模型之间的关系，一般规定系统的初始状态为零初始状态，并将输入信号规定为统一的典型形式，称之为典型输入信号 控制系统中常用的典型输入信号有：阶跃函数，斜坡（等速度）函数，抛物线（等加速度）函数，脉冲函数和正弦函数4 １.阶跃函数２..斜坡函数３.抛物线函数5 ４.脉冲函数５.正弦函数6 二、阶跃响应性能指标对于已经建立数学模型的控制系统，我们一般用拉氏变换法求解系统的时间响应。
稳定系统的阶跃响应具有衰减振荡和单调变化两种类型，如图３-３所示系统的阶跃响应性能指标定义如下：7 （１）延迟时间ｔｄ（２）上升时间ｔｒ（３）峰值时间ｔｐ（４）调整时间ｔｓ（５）最大超调量σｐ（６）振荡次数Ｎ（７）稳态误差ｅｓｓ 以上性能指标中，ｔｄ、ｔｒ、ｔｐ均反映系统响应初始阶段的快慢；最大超调量σｐ和振荡次数Ｎ反映了系统暂态过程振荡激烈程度；调节时间ｔｓ表示系统过渡过程的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；稳态误差反映了系统稳态工作时的控制精度或抗干扰能力，是衡量系统稳态性能的指标8 第二节 一阶系统分析•一、一阶系统的数学模型•二、一阶系统的单位阶跃响应•三、一阶系统的单位斜坡响应•四、一阶系统的单位脉冲响应9 一、一阶系统的数学模型第二节 一阶系统分析 图３-４所示为由积分环节组成为一个单位反馈系统时，是典型的一阶系统结构由图３-４ 求得一阶系统的闭环传递函数为图３-４ 典型一阶系统结构 式中，Ｔ为系统的时间常数，是惟一表征一阶系统特征的参数10 二、一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号为单位阶跃函数ｒ（ｔ）＝１（ｔ）时，系统的响应ｃ（ｔ）称为单位阶跃响应，其拉氏变换式为求反拉氏变换，可得系统的单位阶跃响应为 一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的指数曲线，如图所示。
11 三、一阶系统的单位斜坡响应 设系统的输入信号为单位斜坡函数ｒ（ｔ）＝ｔ·１（ｔ），则系统输出量的拉氏变换式为取反拉氏变换，求得系统的响应为一阶系统单位斜坡响应12 四、一阶系统的单位脉冲响应 当系统的输入信号为理想单位脉冲函数ｒ（ｔ）＝δ（ｔ），Ｒ（ｓ）＝１时，系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即取反拉氏变换，求得系统的响应为一阶系统单位脉冲响应13 第三节 二阶系统分析•一、二阶系统的数学模型•二、二阶系统的单位阶跃响应•三、二阶系统性能指标计算•四、二阶系统性能改善14 一、二阶系统的数学模型第三节 二阶系统分析典型二阶系统的框图如图３-８所示，其传递函数形式如下：开环传递函数闭环传递函数典型二阶系统的特征方程为特征方程的根，即闭环系统的极点为15 二、二阶系统的单位阶跃响应二阶系统单位阶跃响应的拉氏变换式为１.ζ＝０，无阻尼情况２.０＜ζ＜１，欠阻尼情况16 ３.ζ＝１，临界阻尼情况４.ζ＞１，过阻尼情况二阶系统的根及阶跃响应ａ）根的位置 ｂ）单位阶跃响应曲线17 三、二阶系统性能指标计算１.衰减振荡的动态过程在０＜ζ＜１时，系统响应为衰减振荡曲线，其性能指标计算如下：（１）上升时间ｔｒ（２）峰值时间ｔｐ（３）最大超调量σｐ18 （４）调整时间ｔｓ（５）振荡次数Ｎ（６）稳态误差ｅｓｓ19 ２.单调上升的动态过程对二阶系统性能的分析可归纳如下： （１）平稳性 二阶系统的平稳性主要由阻尼比ζ决定，ζ越大，超调量越小，系统的平稳性越好；相反ζ越小，平稳性越差，ζ＝０时系统不能稳定工作。
（ ２）快速性ωｎ一定时，ζ比较小时，调整时间与ζωｎ成反比，ζ越小ｔｓ越大，快速性越差；而当ζ＞０.７之后，ζ增大，ｔｓ会变大，快速性变差 （３）稳态精度 二阶系统单位阶跃响应的稳态值ｃ（∞）＝１，ｅｓｓ＝０20 例３-１ 某控制系统框图如图３-１２所示１）讨论系统参数Ｋ、Ｔ对系统动态性能的影响；（２）当Ｋ＝４，Ｔ＝０.２５时，计算系统的动态性能指标ｔｒ，ｔｐ，ｔｓ，σｐ，Ｎ；（３）若要求将系统设计成二阶最佳ζ＝０.７０７，Ｔ＝０.２５，应如何改变Ｋ值？21 例３-２ 某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图３-１３所示，试确定系统的开环传递函数22 四、二阶系统性能改善１.误差的比例-微分控制２.输出量的速度负反馈控制23 第四节 高阶系统分析•一、高阶系统的暂态响应分析•二、闭环主导极点24 第四节 高阶系统分析一、高阶系统的暂态响应分析三阶及其以上的系统一般称为高价系统，其传递函数的一般形式可表示为表示成零、极点形式25 式中，ｎ１＋２ｎ２＝ｎ设系统没有重极点系统单位阶跃响应的拉氏变换式为26 二、闭环主导极点 高价系统所有的闭环极点中，若距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，其实部小于其他极点实部的１／５。
那么，这样的极点所对应的暂态分量系数大而衰减缓慢，在系统的动态响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为主导极点利用主导极点的概念，可以得到高阶系统单位阶跃响应的近似表达式27 第五节 控制系统的稳定性分析•一、稳定的概念和线性系统稳定的充要条件一、稳定的概念和线性系统稳定的充要条件•二、代数稳定判据•三、劳斯判据的应用28 第五节 控制系统的稳定性分析一、稳定的概念和线性系统稳定的充要条件一、稳定的概念和线性系统稳定的充要条件 一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，称系统是稳定的；反之，若系统不能恢复到原平衡状态，或系统的零输入响应具有发散性质，则系统为不稳定的稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关 线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于ｓ平面的左半部29 二、代数稳定判据１.劳斯（Ｒｏｕｔｈ）稳定判据劳斯稳定判据是英国人劳斯于1877年提出的。
设线性系统的特征方程为将方程的系数组成如下的劳斯表：30 ２.胡尔维茨（Ｈｕｒｗｉｔｈ）稳定判据 胡尔维茨稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程（３-５５）各项系数构成的主行列式及其主对角线上的各子行列式Δｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ－１）均为正，即31 三、劳斯判据的应用１.判断控制系统的稳定性 １）在劳斯表的某一行中，第一列元素为零，而其余元素不全为零按照劳斯判据，因第一列元素不全大于０，可以确定系统不稳定如需要了解根的情况，可用一个有限小的正数ε代替０，完成劳斯表 ２）劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有对称于原点的根存在可用全零行的前一行数值组成辅助方程Ａ′（ｓ），并用ｄＡ′（ｓ）／ｄｓ的系数代替全零行的各项，完成劳斯表利用辅助方程Ａ′（ｓ）可解得那些对称根２.确定闭环系统稳定时的参数条件3.检验系统的稳定裕量32 第六节 控制系统的稳态误差分析•一、误差与稳态误差•二、给定信号作用下的稳态误差•三、扰动输入引起的稳态误差•四、提高系统稳态精度的措施33 第六节 控制系统的稳态误差分析一、误差与稳态误差 稳态误差是控制系统稳态响应的性能指标，用以评价系统的稳态精度，表示系统跟踪输入信号或抑制干扰信号的能力。
稳态误差仅对稳定系统才有意义１.从输出端定义 这种误差的定义方法在性能指标提法中经常用到，但在实际系统中有时无法测量，因而只有数学意义２.从输入端定义以输入信号与主反馈信号之差，即偏差信号定义为误差这种误差可以测量，便于用框图进行分析计算，故在工程上应用较多34 二、给定信号作用下的稳态误差例３-１０ 已知控制系统的开环传递函数为试求：（１）系统的静态误差系数Ｋｐ、Ｋｖ和Ｋａ；（２）输入信号ｒ（ｔ）＝１＋２ｔ时系统的稳态误差解： (略)35 三、扰动输入引起的稳态误差 一个实际系统，除了要承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动信号的作用之下，如负载的改变、供电电源的波动等控制系统在扰动作用下的稳态误差，反映了系统抗扰动的能力四、提高系统稳态精度的措施 通过对控制系统稳态误差的分析和计算，我们知道，可以通过增加前向通道或扰动作用点到Ｅ（ｓ）间积分环节个数和提高放大系数来减小稳态误差，改善系统的控制精度事实上，考虑到系统的稳定性和动态品质，由增加积分环节的个数或增大放大系数来提高系统的稳态精度的方法是有限制的１.按给定输入补偿的复合控制36 ２.按扰动补偿的复合控制例３-１２ 复合控制系统框图如图３-２３所示，该图中Ｋ１，Ｋ２，Ｔ１，Ｔ２是大于零的常数。
当输入ｒ（ｔ）＝Ｖ０ｔ·１（ｔ）时，选择补偿装置Ｇｃ（ｓ），使得系统的稳态误差为０37 小 结• •时域分析法是通过求解控制系统在典型输入信号作用下的时间响应时域分析法是通过求解控制系统在典型输入信号作用下的时间响应来分析系统的稳定性、快速性和准确性时域分析法具有直观、准来分析系统的稳定性、快速性和准确性时域分析法具有直观、准确、物理概念清楚的特点，是学习和研究自动控制原理最基本的方确、物理概念清楚的特点，是学习和研究自动控制原理最基本的方法• •自动控制系统单位阶跃响应性能指标有延迟时间ｔｄ、上升时间ｔ自动控制系统单位阶跃响应性能指标有延迟时间ｔｄ、上升时间ｔｒ、峰值时间ｔｐ、超调量ｒ、峰值时间ｔｐ、超调量σ σｐ、调节时间ｔｓ、振荡次数Ｎ、稳态ｐ、调节时间ｔｓ、振荡次数Ｎ、稳态误差ｅｓｓ等，常用超调量、调节时间和稳态误差指标来评价控误差ｅｓｓ等，常用超调量、调节时间和稳态误差指标来评价控制系统性能制系统性能• •典型一阶系统的时间常数Ｔ和典型二阶系统的特征参数典型一阶系统的时间常数Ｔ和典型二阶系统的特征参数ζ ζ，，ωωｎ惟一ｎ惟一决定了典型一、二阶系统的性能指标，必须牢固掌握它们与性能指决定了典型一、二阶系统的性能指标，必须牢固掌握它们与性能指标间的关系。
二阶系统的时域响应分析，在自动控制理论中占有重标间的关系二阶系统的时域响应分析，在自动控制理论中占有重要的地位阻尼比要的地位阻尼比ζ ζ决定了二阶系统动态响应形式，欠阻尼情况时增决定了二阶系统动态响应形式，欠阻尼情况时增大大ζ ζ，可使超调量，可使超调量σ σｐ减小，系统响应平稳性提高ｐ减小，系统响应平稳性提高• •高阶系统时域响应分析相当复杂，当系统具有主导极点时，常以主高阶系统时域响应分析相当复杂，当系统具有主导极点时，常以主导极点的概念对系统导极点的概念对系统进行进行近似分析近似分析38 • •稳定是系统能够正常工作的首要条件线性系统稳定稳定是系统能够正常工作的首要条件线性系统稳定的充分必要条件是系统的闭环极点（特征方程的根）的充分必要条件是系统的闭环极点（特征方程的根）都位于ｓ平面的左半部劳斯稳定判据和胡尔维茨判都位于ｓ平面的左半部劳斯稳定判据和胡尔维茨判据是用代数方法由特征方程的系数判断系统稳定性的据是用代数方法由特征方程的系数判断系统稳定性的代数稳定判据工程中，还常用劳斯判据确定系统的代数稳定判据工程中，还常用劳斯判据确定系统的稳定参数条件和稳定裕量稳定参数条件和稳定裕量• •稳态误差是衡量系统控制精度的一个重要性能指标。
稳态误差是衡量系统控制精度的一个重要性能指标常用拉氏变换的终值定理来计算稳态误差稳态误差常用拉氏变换的终值定理来计算稳态误差稳态误差的大小取决于系统的结构参数以及外作用信号的形式的大小取决于系统的结构参数以及外作用信号的形式系统的型别决定了系统的稳态误差对不同典型输入信系统的型别决定了系统的稳态误差对不同典型输入信号的跟踪能力可以通过提高系统型别、开环放大系号的跟踪能力可以通过提高系统型别、开环放大系数和引入补偿控制环节等方法来减小系统的稳态误差数和引入补偿控制环节等方法来减小系统的稳态误差。