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1、一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角 平面及其方程上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量. v法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面上一点M0(x0 y0 z0)和它的一个法线向量n(A B C)为已知时 平面的位置就完全确定了. v唯一确定平面的条件 下页上页下页铃结束返回首页 已知M0(x0 y0 z0)为平面上一点 n(A B C)为平面的一个法线向量. 设M(x y z)是平面上的任一点 则有 因为 n(A B C) v平面的点法式方程 所以 A(x-x0)B(y
2、-y0)C(z-z0)0. 这就是平面的方程 称为点法式方程. 下页一、平面的点法式方程上页下页铃结束返回首页 过点M0(x0 y0 z0)且法线向量为n(A B C)的平面的方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)0. (x-2)-2(y3)3z0 即 x-2y3z-80. 例1 求过点(2 -3 0)且以n(1 -2 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为下页v平面的点法式方程 上页下页铃结束返回首页 例2 求过三点M1(2-1 4)、M2(-1 3-2)和M3(0 2 3)的平面的方程. 解 所以根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为首页
3、过点M0(x0 y0 z0)且法线向量为n(A B C)的平面的方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)0. v平面的点法式方程 14(x-2)9(y1)-(z-4)0 即14x9y-z-150.上页下页铃结束返回首页二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x y z的一次方程 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来 可以证明任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面. 方程AxByCzD0称为平面的一般方程 其法线向量为n(A B C). 例如 方程3x-4yz-90表示一个平面 n(3-4 1)是这平面的一
4、个法线向量. 下页上页下页铃结束返回首页平面的一般方程为AxByCzD0其法线向量为n(A B C). 平面方程ByCzD0 AxCzD0 AxByD0CzD0 AxD0 ByD0 法线向量 法线向量垂直于 平面平行于 x轴y轴z轴xOy平面yOz平面zOx平面n(0 B C)n(A 0 C)n(A B 0)n(0 0 C)n(A 0 0)n(0 B 0)x轴y轴z轴x轴和y轴y轴和z轴x轴和z轴讨论： 1.填写下表: 提示： D0 平面过原点. 2.平面AxByCz0有什么特点？ 下页上页下页铃结束返回首页提示： 平面通过x轴 表明A0(它的法线向量垂直于x轴)且D0(它通过原点). 可设此
5、平面的方程为 ByCz0. 又因为此平面通过点(4 -3 -1) 所以有 -3B-C0. 将C-3B其代入所设方程 得 By-3Bz0.于是所求的平面方程为 y-3z0. 下页平面的一般方程为AxByCzD0其法线向量为n(A B C). 例3 求通过x轴和点(4 -3 -1)的平面的方程. 解 上页下页铃结束返回首页 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c) 求此平面的方程(a0 b0 c0). 将其代入所设方程 得下页 解 因为点P、Q、R都在这平面上 所以它们的坐标都满足所设方程 即有 aAD0 bBD0 cCD0 设所求平面的方程为A
6、xByCzD0. 上述方程叫做平面的截距式方程 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距. 上页下页铃结束返回首页三、两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1(A1 B1 C1) n2(A2 B2 C2) 那么平面1和2的夹角 应满足下页 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.上页下页铃结束返回首页 例5 求两平面 x-y2z-60和2xyz-50的夹角. 平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦: n1(1 -1 2) n2(2 1 1). 因为 解 下页上页下页铃结束返回首页 平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂
7、直的充要条件是 A1A2B1B2C1C20. v两平面垂直的条件 v两平面平行的条件 平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相平行的充要条件是 A1: A2B1: B2C1: C2. 下页平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:上页下页铃结束返回首页 例6 一平面通过两点M1(1 1 1)和M2(0 1 -1)且垂直于平面 xyz0 求它的方程. 设所求平面的法线向量为n(A B C). 因为M1和M2在所求平面上 所以nn1 即 -A-2C0 A-2C. 又因为所求平面垂直于平面xyz0 所以nn2 即 ABC0 BC. 由点法式方程 所求平面为
8、-2C(x-1)C(y-1)C(z-1)0 即 2x-y-z0. 从点M1到点M2的向量为n1(-1 0 -2)平面xyz0的法线向量为n2(1 1 1). 解 下页 方法一：上页下页铃结束返回首页 所求平面的法线向量n可取为n1n2. 因为所以所求平面方程为 2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 即 2x-y-z0. 下页 例6 一平面通过两点M1(1 1 1)和M2(0 1 -1)且垂直于平面 xyz0 求它的方程. 从点M1到点M2的向量为n1(-1 0 -2)平面xyz0的法线向量为n2(1 1 1). 解 方法二：上页下页铃结束返回首页提示： 例7 设P0(x0 y0 z0)是平面AxByCzD0外一点 求P0到这平面的距离. 下页 解 设en是平面上的单位法线向量. 在 平 面 上 任 取 一 点 P1(x1 y1 z1)则P0到这平面的距离为 上页下页铃结束返回首页 例8 求点(2 1 1)到平面 xy-z10的距离. 点P0(x0 y0 z0)到平面AxByCzD0距离: 解 结束上页下页铃结束返回首页作业P42 1，2，3，5
