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1、第八章第八章 重积分重积分第一节第一节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质设有一立体设有一立体. 其底面其底面是是 xy 面上的区域面上的区域D, 其侧面其侧面为母线平行于为母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面, 其顶是曲面其顶是曲面 z= f (x, y) 0, 连续连续. 称为曲顶柱体称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于若立体的顶是平行于 xy 面的平面面的平面. 则平顶柱体的体积则平顶柱体的体积 = 底面积底面积高高.0yzxz = f (x,y)D如图如图 一、引例一、引例1. 1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V.步骤如下：步骤如下：（1）分割（化
2、整为零）：）分割（化整为零）：先分割曲顶柱体的底，把先分割曲顶柱体的底，把有界闭区域任意分割成有界闭区域任意分割成n个个小闭区域小闭区域z = f (x,y)0yzxD（ 2）近似代替：）近似代替：由于由于 很小很小, z = f (x,y)连续连续, 小曲顶柱体可近似看小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体作小平顶柱体. 小平顶柱体的高小平顶柱体的高 = f ( i , i).若记若记 i = Di的面积的面积. 则小平顶柱体的体积则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积小曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i)z = f (x,y)（4）取极限（无限趋近）：）取
3、极限（无限趋近）：（3）求和（积零为整）：将）求和（积零为整）：将n个小平顶柱体的体个小平顶柱体的体积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域则曲顶柱体的体积为则曲顶柱体的体积为求平面薄片的质量求平面薄片的质量（1）分割（化整为零）：）分割（化整为零）：将薄片分割成将薄片分割成n个小块，个小块，（2）近似代替：任取一）近似代替：任取一小块，将其近似小块，将其近似看作均匀薄片，则其质量近似为看作均匀薄片，则其质量近似为 （3）求和（积零为整）：）求和（积零为整）：则薄片总质量为则薄片总质量为将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面将所有小块质量近似值相加
4、，便得到整个平面薄片的近似值薄片的近似值（4）取极限（无限趋近）：）取极限（无限趋近）：二、二重积分的定义积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的
5、直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）解解解解解解解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式
6、的极限）（和式的极限）四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答
