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1、 图形折叠问题图形折叠问题二二解决翻折问题解决翻折问题我们把翻折问题分为两类：我们把翻折问题分为两类：“依点翻折依点翻折”和和“依线翻折依线翻折”。一一 认识翻折翻折问题 1.关注关注“两点一两点一线” 在翻折在翻折过程中，我程中，我们应关注关注“两点两点”，即，即对称点称点，思考自，思考自问“哪两个点是哪两个点是对称点称点?” ；还应关注关注“一一线”，即折，即折线，也就，也就是是对称称轴。这是解决是解决问题的基的基础。 2. 联想到重合与相等想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等重合的线段相等,重合的角相等重合的角相等”，这是解决问题的关
2、键。，这是解决问题的关键。图形的翻折是图形的运动形式之一图形的翻折是图形的运动形式之一在一张长方形在一张长方形ABCDABCD纸片纸片中，中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 点点E E，F F分别为分别为CDCD，ABAB的中点，现将这张的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，纸片按图示方式折叠，求求DAH的大小及的大小及EGEG的的长。长。（浙教版九下（浙教版九下P17题题6）201020例例1.将矩形将矩形ABCD纸对折，折，设折痕折痕为EF，再把，再把B点折到点折到折痕折痕线EF上（上（见图点点B），若），若 ，则，则EB=_ B AB G D C E F例例2、有
3、一个数学活有一个数学活动，其具体操作，其具体操作过程是：程是：第一步：第一步：对折矩形纸片对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展开，把纸片展开（如图（如图1）；）；第二步：第二步：再一次折叠纸片，使点再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如图（如图2）请解答以下解答以下问题：（：（1）如）如图2，若延，若延长MN交交BC于于P，BMP是什么三角形是什么三角形？请证明你的明你的结论图图1图图2p（1）BMP是等边三角形是等边三角形证明：连结证明：连结AN,EF垂
4、直平分垂直平分ABAN BN.由折叠知由折叠知:ABBNANABBNABN为等边三角形为等边三角形ABN60PBN30又又ABM NBM 30，BNMA90BPN 60,MBPMBNPBN60BMP 60MBPBMPBPM60BMP为等边三角形为等边三角形例例2、（2）在图）在图2中，若中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸满足什么关系，才能在矩形纸片片ABCD上剪出符合（上剪出符合（1）中结论的三角形纸片）中结论的三角形纸片BMP ？图图1图图2pab（3）设矩形）设矩形ABCD的边的边AB2，BC4，并建立如图，并建立如图3所示的所示的直角坐标系直角坐标系.设直线设直线BM
5、/为为y=kx，当，当M/BC60时，求时，求k的值的值.此时，将此时，将ABM沿沿BM折叠，点折叠，点A是否落在是否落在EF上（上（E、F分别为分别为AB、CD中点）？为什中点）？为什么？么？例例2、第一步：第一步：对折矩形纸片对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展，把纸片展开（如图开（如图1）；）；第二步：第二步：再一次折叠纸片，使点再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如图（如图2）图图1图图2图图3A/H2例例3.如图，先把一矩形如图，先把一矩形ABC
6、D纸片对折，设折痕为纸片对折，设折痕为MN，再把，再把B点叠在折痕线上，得到点叠在折痕线上，得到ABE.过过B点折纸片点折纸片使使D点叠在直线点叠在直线AD上，得折痕上，得折痕PQ.(1)求证：求证：PBEQAB；(2)你认为你认为PBE和和BAE相似吗？如果相似给出证相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；明，如不相似请说明理由；(3)如果沿直线如果沿直线EB折叠纸片，点折叠纸片，点A是否能叠在直线是否能叠在直线EC上？为什么？上？为什么？例例4.如如图，长方形方形ABCD沿沿AE折叠，使折叠，使D落落在在边BC上的上的F点点处，如果，如果BAF=60，则DAE= A BCD FE根据
7、折叠的根据折叠的规律：可律：可证ADEAFE,从而从而DAE=FAE =(90-60)2 = 1515601515ABCDFE透过现象看本质透过现象看本质: :折折叠叠轴轴对对称称实质实质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：由折叠可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂线线例例5.如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边AD，点，点D落在落在BC边的边的点点
8、F处，已知处，已知AB=8cm,BC=10cm,求求EC的长的长分析：分析：设EC=x,则EF=DE=8-x .在在RtABF中，中，AF=AD=10，AB=8，所以所以BF=6，FC=4RtPOERtBPA解得解得EC=3(cm) A BCD FE81010643例例6.如如图1，把一，把一张标准准纸一次又一次一次又一次对开，得到开，得到“2开开”纸、“4开开”纸、“8开开”纸、“16开开”纸已知已知标准准纸的短的短边长为a .（1）如图）如图2，把这张标准纸对开得到的，把这张标准纸对开得到的“16开开”张纸按如下步骤折叠：张纸按如下步骤折叠：第一步第一步将矩形的短边将矩形的短边AB与长边与
9、长边AD对齐折叠，点对齐折叠，点B落在落在AD上的点上的点B处，铺平处，铺平后得折痕后得折痕AE；第二步第二步 将长边将长边AD与折痕与折痕AE对齐折叠，点对齐折叠，点D正好与点正好与点E重合，铺平后得折痕重合，铺平后得折痕AF则则AD:AB的值是的值是，AD,AB的长分别是的长分别是，ABCDFEB4开开2开开8开开16开开图图1图图2a（2）“2开开”纸、纸、“4开开”纸、纸、“8开开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值相等，比值为相等，比值为例例7.（2007
10、年台州市）如图，四边形年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点直角坐标系中的矩形纸片，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，将边轴上，将边BC折叠，使点折叠，使点B落在边落在边OA的点的点D处已知折痕处已知折痕，且，且(1)判断判断OCD与与ADE是否相似？请说明理由；是否相似？请说明理由；(2)求直线求直线CE与与x轴交点轴交点P的坐标；的坐标；P6X8X3X4X10X5X5X关键是找出对称点，并画出来。例8 已知：在矩形已知：在矩形AOBC中，中，OB=4,OA=3分别以分别以OB,OA所在直线为所在直线为x轴轴和和y轴，建立如图所示的平面直角
11、坐标系轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边是边BC上的一个动点（不与上的一个动点（不与B,C重合），过重合），过F点的反比例函数点的反比例函数的图象与的图象与AC边交于点边交于点E请探索：是否存在这样的点请探索：是否存在这样的点F，使得将，使得将CEF沿沿EF对折后，对折后，C点恰好落在点恰好落在OB上？若存在，求出点上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由（ ,3）(4, )3例例9.在平面直角坐标系中，正方形在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为的边长为6，两边，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点分别落在坐标轴上，点E在射线在射线BC上，且上，且B
12、E=2CE，将，将ABE沿直线沿直线AE翻转，点翻转，点B落在点落在点B1处。处。（1）请在图中作出点）请在图中作出点B1及翻转后图形及翻转后图形.0CBAyx0CBAyEB1（2）对于图）对于图1，若，若E在在BC上，求点上，求点B1的坐标。的坐标。两种情况两种情况F利用相似，列出方程求解利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x图图1图图264a6-a46例例10.（07湖北湖北荆门）如如图1，在平面直角坐在平面直角坐标系中，有一系中，有一张矩矩形形纸片片OABC，已知，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点，点P是是OA边上上的的动点点(与点与点O、A不重合不重合)现将将PAB沿
13、沿PB翻折，得到翻折，得到PDB；再；再在在OC边上上选取适当的点取适当的点E，将，将POE沿沿PE翻折，得到翻折，得到PFE，并，并使直使直线PD、PF重合重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求，求y关关于于x的函数关系式，并求的函数关系式，并求y的最大的最大值；图图1解：解：(1)由已知由已知PB平分平分APD，PE平分平分OPF，且，且PD、PF重合，则重合，则BPE=90OPEAPB=90又又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPAy=(0x4)即即xy4-x3 (2)如如图2，若翻折后点，若翻折后点D落在落在BC边上，求上，求过点点P、B、E的抛的抛物物线的函数关系
14、式；的函数关系式；图图2(2)由已知，由已知，PAB、POE均为等腰直角三角均为等腰直角三角形，可得形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)故该抛物线上存在两点故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件满足条件则则y=例例11.直直线分别与分别与x轴、轴、y轴交于轴交于B、A两点两点.把把AOB以直线以直线AB为轴翻折，点为轴翻折，点O落在平面上的点落在平面上的点C处，再把处，再把BOC以直线以直线BC为轴翻折得为轴翻折得BCE，求点，求点E的坐标的坐标.由（由（1）知）知OA1，OB，OBA30.ABC和和ABO关于关于AB成轴对称，成轴对称，BCBO，CBA=OBA30.
15、CBO60.过点过点C作作CMx轴于轴于M，如图，则在，如图，则在RtBCM中，中，.图形翻折实际上是轴对称变换，图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。变换前后的对应线段相等、对应角相等。常常与角平分线、中线、线段中垂线、等常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。形运动过程中的不变量。 ABCD例例12.（0808山东东营）山东东营）：将
16、一正方形纸片按下列顺序将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（三角形将纸片展开，得到的图形是（ ）C例例13将正方形将正方形纸片两次片两次对折，并剪出一个菱折，并剪出一个菱形小洞后展开形小洞后展开铺平，得到的平，得到的图形是（形是（ ）C例例14.如图如图,有一矩形纸片有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片将纸片折叠，使折叠，使AD边落在边落在AB边上，折痕为边上，折痕为AE，再将，再将AED以以DE为折痕向右折叠，为折痕向右折叠，AE与与BC交于点交于点F，则，则CEF的面积为
17、（）的面积为（）EDCBADCBAFEDCBAA4 B6C8D10C图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：的讨论中可以得到以下几点经验：1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；变，是全等形；2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；成轴对称；3解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关解决折叠问题时
18、，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而系，从而进一步发现其中的数量关系；进一步发现其中的数量关系；4充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。常用的方法之一。一一.题目来源题目来源九年级下，九年级下，P17页第页第6题题如图，在一张长方形纸片如图，在一张长方形纸片ABCD中，中，AD=25cm，AB=20cm，点，点E,F分别是分别是CD和和AB的中点。现将这张纸片的中点。现将这张纸片按图示方式折叠，求按图示方式折叠，求DAH的大小及的大
19、小及EG的长（精确到的长（精确到0.1cm）。）。轴对称轴对称变变式式变式一变式一变式二变式二变式三变式三变式四变式四变式五变式五变式六变式六在长为在长为4宽为宽为3的矩形纸片的矩形纸片ABCD中，先沿对中，先沿对角线角线BD对折，点对折，点C落在落在C位置，位置，BC交交AD于于G(如图如图5-(1).再折一次，使点再折一次，使点D与点与点A重重合，得折痕合，得折痕EN(如图如图5-(2)，EN交交AD于于M.求折痕求折痕EN的长的长.已知矩形纸片已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，将纸片折叠，使顶点使顶点A与边与边CD上的点上的点E重合重合.(1)如果折痕如果折痕FG分分
20、别与别与AD、AB交与点交与点F、G(如图如图1)，求，求DE的长；的长；(2)如果折痕如果折痕FG分别与分别与CD、AB交与点交与点F、G(如如图图2)，AED的外接圆与直线的外接圆与直线BC相切，求折痕相切，求折痕FG的长的长在矩形纸片在矩形纸片ABCD中，中，AB=3，BC=6，沿沿EF折叠后，点折叠后，点C落在落在AB边上的点边上的点P处，处， 点点D落在点落在点Q处，处，AD与与PQ相交于点相交于点H，BPE=30（1）求）求BE、QF的长；的长；（2）求四边形）求四边形PEFH的面积的面积(取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：
21、先把矩形第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为对折，折痕为MN(如图如图3-(1)；第二步：再把第二步：再把B点叠在折痕线点叠在折痕线MN上，折痕为上，折痕为AE，点，点B在在MN上的对应点为上的对应点为B，得，得RtABE(如图如图3-(2)；第三步：沿第三步：沿EB线折叠得折痕线折叠得折痕EF(如图如图3-(3).利用展开图利用展开图3-(4)探究：探究：(1)AEF是什么三角形是什么三角形?证明你的结论；证明你的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由请说明理由. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠
22、，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10。（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图 1，求EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图 2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长。 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处。(1)求证：BE=BF;(2)设AE=a,AB=b,BF=c试猜想a,b,c之间有何等量关系，并给予证明。xyxyxyxyxyxyxyOABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点为原点，点A在在x轴轴上，点上，点C在在y轴上，轴上，OA10，O
23、C6.(1)如图如图4-(1)，在，在OA上选取一点上选取一点G，将，将COG沿沿CG翻折，使点翻折，使点O落在落在BC边上，记为边上，记为E，求折痕，求折痕CG所在直线的解析式所在直线的解析式.(2)如图如图4-(2)，在，在OC上选取一点上选取一点D，将，将AOD沿沿AD翻折，使点翻折，使点O落在落在BC边上，记为边上，记为E.求折痕求折痕AD所在直线的解析式；所在直线的解析式；再作再作EFAB，交，交AD于点于点F，若抛物线，若抛物线y=-x2+h过点过点F，求此抛物线的，求此抛物线的解析式，并判断它与直线解析式，并判断它与直线AD的交点的个数的交点的个数.(3)如图如图4-(3)，一般地，在，一般地，在OC、OA上选取适当的点上选取适当的点D、G，使纸片沿，使纸片沿DG翻折后，点翻折后，点O落在落在BC边上，记边上，记E.请你猜想：折痕请你猜想：折痕DG所在直线所在直线与与中的抛物线会有什么关系中的抛物线会有什么关系?用用(1)中的情形验证你的猜想中的情形验证你的猜想.
