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1、温故夯基温故夯基1设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab _ ab_.2所所谓直直线的的方方向向向向量量，就就是是指指和和这条条直直线所所对应的的向向量量_的的向向量量，一一条条直直线的的方方向向向量有向量有_个个平行平行(或共或共线)无数无数aba1b1，a2b2，a3b3(R)ab0a1b1a2b2a3b30A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. 给定一点给定一点
2、A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有l 已已知知ABC的的三三个个顶点点的的坐坐标分分别为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求求出出平平面面ABC的的一个法向量一个法向量例例例例1 1【思路点思路点拨】练习：aaaaaa二、平行关系：二、平行关系： 已已知
3、知正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长为2，E、F分分别是是BB1、DD1的中点，求的中点，求证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.例例例例2 2【思思路路点点拨】先先建建立立空空间直直角角坐坐标系系，求求出出直直线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量，再再利利用用直直线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量间的的关关系系证明明线面面平平行行和和面面平行面面平行 已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长为2，E、F分分别是是BB1、DD1的中点，求的中点，求证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平
4、面B1C1F.例例例例2 2三、垂直关系：三、垂直关系：例例例例3 3 在在正正棱棱锥PABC中中，三三条条侧棱棱两两两两垂垂直直，G是是PAB的的重重心心，E、F分分别为BC、PB上上的的点点，且且BEECPFFB12.(1)求求证：平面：平面EFG平面平面PBC；(2)求求证：EGBC，PGEG.【思思路路点点拨】面面面面垂垂直直可可转化化为线面面垂垂直直或或两两平面的法向量相互垂直来平面的法向量相互垂直来证明明【证明明】(1) ：如如图，以以三三棱棱锥的的顶点点P为原原点点，以以PA、PB、PC所所在在直直线分分别作作为x轴、y轴、z轴建建立立空空间直直角角坐坐标系系令令PAPBPC3，
5、则 A(3,0,0)、 B(0,3,0)、 C(0,0,3)、 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)【名名师点点评】证明明面面面面垂垂直直通通常常有有两两种种方方法法，一一是是利利用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理,转化化为线面面垂垂直直、线线垂垂直直去去证明明；二二是是证明明两两个个平平面面的的法法向向量量互互相垂直相垂直变式式训练:在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，E，F分分别是是棱棱AB，BC的的中中点点，试在在棱棱BB1上上找找一一点点M,使得使得D1M平面平面EFB1.巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的
6、方向向量,根据根据下下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的的法向量法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交巩固性训练31、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量的法向量为为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若若 则则 k= 。2、已知已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向
7、量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .巩固练习巩固练习41、相交于同一点的三直线、相交于同一点的三直线a，b，c的方向向量分别是的方向向量分别是 ， ， ，若，若 ，则（，则（ ）C3、已知、已知A（1，1，1），），B（1，0，0），），C（0，1，-1）（1）写出直线）写出直线BC的一个方向向量；的一个方向向量；（2）设平面）设平面 经过点经过点A，且，且 是是 的法向量，的法向量，M（x,y,z） 是平面是平面 内任意一点，试写出内任意一点，试写出x,y,z满足的关系式。满足的关系式。2、已知、已知 是平面是平面 的一个法向量，直线的一个法向量，直线 , 则直线则直线
8、的一个方向向量是（）的一个方向向量是（） A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)D求平面的法向量的坐标的步骤第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 一、直线的方向向量定义一、直线的方向向量定义:二、平面的法向量定义二、平面的法向量定义如果如果 ，那么向量那么向量 叫做叫做平面平面 的法向量的法向量.如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向则称这个向量垂直于平面量垂直于平面 ,记作记作 （1）可设法向量的坐标）可设法向量的坐标（说明：设法向量时可令说明：设法向量时可令x或或y或或z其中一个为其中一个为1）（2）用它与平面内不共线向量分别求数量积结果为）用它与平面内不共线向量分别求数量积结果为0；（3）解方程组求得。）解方程组求得。直线直线L上的向量上的向量 以及与向量以及与向量 共线的向量共线的向量.三、2、求法：、求法：互互动探探究究:在在本本例例2条条件件下下，若若O1为B1D1的的中中点点,求求证：BO1平面平面ACD1.
