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1、互为反函数的函数图像之间的互为反函数的函数图像之间的 关关 系系 及及 应应 用用授课教师：高翠授课教师：高翠1.1.叙述反函数的定义：叙述反函数的定义： 一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y)字母x、y互换，得 y=f-1(x)一、复习提问：一、复习提问：求反函数的基本步骤
2、：.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y); .将x，y互换得到y = f1(x);.指出反函数的定义域（即原函数的值域).反解 互换写出定义域 2、求反函数有哪些基本步骤？、求反函数有哪些基本步骤？解：函数解：函数y=2xy=2x2 2-3(xR)-3(xR)没有反函数；没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数；因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写为当把定义域改写为0,+)0,+)或或(-,0(-,0时时它才有反函数它才有反函数. 4、函数y=2x2-3(xR)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P
3、的坐标为 .（b, a）（即横坐标与纵坐标对换位置）例例1 、求函数、求函数y=3x-2(x R)的反函数，并且画出的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。原来的函数和它的反函数的图象。解：解： y=3x-2 函数函数y=3x-2(x R)的反函数为的反函数为y= x 0 y -2 0 x -2 0 y 0 x=1-2-11-1-2xyy=3x-2二、讲授新课二、讲授新课首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系（x R) 互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称对称关系? 它们的两个函数图象是以直线直线y=x为对称轴的对称对称图形。给出定理：给出定理： 函数函数 y = f (
4、 x ) 的图象与它的的图象与它的反函数反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直的图象关于直线线 y = x 对称。对称。问题：问题：回答：回答：注注：1 1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。严格证明，为不增加难度，现在不作证明。2 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x x轴）与纵轴轴）与纵轴（y y轴）长度单位轴）长度单位一致一致的情况下得出的。的情况下得出的。3 3）函数）函数y=f(xy=f(x) )与函数与函数y=fy=f1 1(x)(x)互为互为
5、反函数，反函数，图像图像关于直线关于直线y = xy = x对称；对称； 函数函数y=f(xy=f(x) )与函数与函数x=fx=f1 1(y)(y)互为互为反函数，反函数，图像图像相同。相同。4 4）如果两个函数的图象）如果两个函数的图象关于关于y = x y = x 对称对称，那么，那么这两个函数互为这两个函数互为反函数反函数；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-2 函数函数y=fy=f-1-1(x)(x)与函数与函数x=fx=f-1-1(y)(y)是是同一函数同一函数，图像图像关于直线关于直线y=xy=x对称对称例例2 、求函数、求函数y=x3(x R)的反函数，并画的反函数，并
6、画出原来的函数和它的反函数的图象出原来的函数和它的反函数的图象.xy由函数(x R)，得所以函数(x R)的反函数是：解：解：3xy = 注注：当已知函数当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，的图象时，利用所学定理，作出它关于直线作出它关于直线y=x对称的对称的图象，就是反函数图象，就是反函数y=f1（x）的图象。）的图象。练习练习1 1： 画出函数画出函数y=xy=x2 2(x0,+)(x0,+)的图象，再的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象利用对称性画出它的反函数的图象. .9410y3210x3210y9410xxy例例3、若点、若点P（1，2）在函数）在函数 的图象的图象上
7、，又在它的反函数的图象上，求上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。解：由题意知，P（1，2）在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 的图象上。因此，得解得，a=3，b=7 然后我们利用互为反函数的函数图像间然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题的关系来解决相应问题例例4 4、求证：函数、求证：函数 的图的图象关于直线象关于直线y=xy=x对称对称. .证明：yx-y=x(y-1)x=y函数的反函数为即：函数 的反函数是该函数自身函数 的图象关于直线y=x对称111Ox y1 注：注：如果一个函数的反函如果
8、一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数就是它本身，那么这个函数的图象关于数的图象关于y = x y = x 对称；对称；反之，反之，如果一个函数的图象如果一个函数的图象关于关于y = x y = x 对称，那么这个对称，那么这个函数的反函数就是它本身。函数的反函数就是它本身。例例5 5、已知函数、已知函数 f ( x ) = f ( x ) = 1 1）求）求 f ( x ) f ( x ) 的反函数；的反函数；2 2）若这个函数图象关于）若这个函数图象关于 y = x y = x 对称，求对称，求 a a 值。值。 32）由题）由题 函数图象关于函数图象关于 y = x 对称对称可知可知
9、f f（x x）的反函数是它本身即）的反函数是它本身即 f （x） = f -1 （x） a = a = 3 3解：解：练习练习2 2：如果：如果y=fy=f（x x）的图象过点（）的图象过点（1 1，2 2），那么），那么y=fy=f-1-1(x)(x)1 1的图象过点的图象过点_ _ 分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f-1(x)的图像过点（2，1），而y=f-1(x)1的图像是由y=f-1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)1的图象过点（2,0)(2,0)(2,0)练习练习3 3：如果一次函数：如果一次函数y=ax+2y=ax+2与与y=3x-by=3x-
10、b的图象关于的图象关于直线直线y=xy=x对称，求对称，求a,ba,b的值的值解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数， y=3x-b的反函数为：比较系数得：练习练习4 4：已知函数：已知函数 的图像经过点的图像经过点（1 1，3 3），且它的反函数），且它的反函数f f-1-1(x)(x)的图像过点的图像过点（2 2，0 0），求），求f(xf(x).).解： f(x)的图像过点（1，3）a+b=3 由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），可知f(x)的图像过点（0，2）1+b=2 由得b=1,将b=1代入中得a=2解法一：由 得反函数 由 令 x=0得 m=-1解法二
11、：令x=0 则(0, )在f(x)的图象上 由已知f(x)的反函数是自身 ( , 0)在f(x)的图象上， -5=0 m=-1练习练习5 5：已知函数：已知函数的图象关于直线y=x对称，求m的值.三、课堂小结1 1、函数、函数 y = f ( x ) y = f ( x ) 的图象与它的反函数的图象与它的反函数 y = f y = f 1 1 ( x ) ( x ) 的图的图象关于直线象关于直线 y = x y = x 对称。对称。2 2、函数、函数y=f(xy=f(x) )与函数与函数y=f y=f -1 -1(x)(x)互为反函数，图像关于直线互为反函数，图像关于直线y = xy = x对
12、称；对称；函数函数y=f(xy=f(x) )与函数与函数x=f x=f -1 -1(y)(y)为互为反函数，图为互为反函数，图像相同。函数像相同。函数y=f y=f -1 -1(x)(x)与函数与函数x=f x=f -1 -1(y)(y)是同一函数，图像关是同一函数，图像关于直线于直线y=xy=x对称对称4 4、如果两个函数的图象关于、如果两个函数的图象关于y = x y = x 对称，那么这两个函数对称，那么这两个函数互为反函数；互为反函数；5 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于图象关于y = x y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于对称；反之，如果一个函数的图象关于y y = x = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。对称，那么这个函数的反函数就是它本身。3 3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象四、布置作业：四、布置作业：课本：习题课本：习题2.4 3,4,52.4 3,4,5
