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1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数傅氏级数傅氏级数常数项级数的 基本概念和性质 二二 、收敛级数的性质、收敛级数的性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 第十一章第十一章 第一节引例引例1 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 引例引例引例引例2 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形边形, 这个和逼近于这个和逼近于圆的面积圆的面积 ：设设 a0 表示表示ak 表示边数表示边数则圆内接正则圆内接正引例引例3
2、内接正三角形面积内接正三角形面积, 增加时增加的面积增加时增加的面积, , 一般项一般项：级数的级数的和和2. 定义定义给定数列给定数列无穷级数无穷级数:部分和部分和：无穷级数无穷级数收敛：收敛：记作记作级数的级数的余项余项：无穷级数无穷级数发散发散 ：级数收敛时级数收敛时，例例1 (几何级数几何级数) 1) 若若知知故级数收敛故级数收敛 ,知知则部分和则部分和故级数发散故级数发散 .其和为其和为证明等比级数证明等比级数当当 时收敛时收敛, 当当 时发散时发散 .证证2) 若若级数发散级数发散 ;n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数结论：结论：时收敛时收敛,时发散时发散 .则则级数为级数为不存在不
3、存在 , 等比级数等比级数等比等比级数级数 因此级数发散因此级数发散.拆项相消拆项相消解解 所以级数发散所以级数发散.例例2 判别级数判别级数 的敛散的敛散性性.部分和部分和证证(方法方法1)例例3发散发散.1 2n n+1un(方法方法2)xyo(方法方法3)(方法方法4) 见后面见后面.二、收敛级数的性质二、收敛级数的性质 性质性质1 若若收敛收敛 ,证证 令令则则收敛收敛 , 其和为其和为 c S . 推论推论1 其和为其和为 c S.收敛，则收敛，则故故敛散性相同敛散性相同 . .性质性质2 设收敛级数设收敛级数则则也收敛也收敛, 其和为其和为注注 的敛散性规律：的敛散性规律：收收为收
4、，收收为收， 收发为发，收发为发， 发发发发不一定不一定发发.例如例如, 1 收敛级数可逐项相加收敛级数可逐项相加( 减减 ).2 性质性质3级数前面加上级数前面加上 不影响级数的敛散性不影响级数的敛散性.证证 去掉前去掉前 k 项项,的部分的部分数敛散性相同数敛散性相同. 收敛时收敛时, 其和其和故新旧级故新旧级新级数新级数同敛散，同敛散，有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性（去掉、或修改）（去掉、或修改）有限项有限项, 和为和为性质性质4 收敛级数收敛级数加括弧加括弧后后原级数的和原级数的和.证证 设设收敛，任意加括弧收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于所成的级数仍收敛于推论推
5、论2 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 但但例如例如， 则原级数必发散则原级数必发散.用反证法用反证法注注？收敛级数去括弧后所成的级数收敛级数去括弧后所成的级数不一定不一定收敛收敛. . 收敛收敛 发散发散例例3的敛散性的敛散性.解解(方法方法4)例例4 判断级数的敛散性判断级数的敛散性解解 加括号级数为加括号级数为故故加括号加括号级数发散级数发散,从而原级数发散从而原级数发散.性质性质5（级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件） 设设收敛，则收敛，则证证 注注非级数收敛的充分条件非级数收敛的充分条件. .例如例如, , 调和级数调和级数发散，发散，故所给级数发散故所给级数发散. .
6、则级数则级数 必发散必发散 .推论推论3 若若例例5 (1)解解 (1)故原级数发散故原级数发散. .小结小结:收敛收敛发散发散例例6 判断敛散性判断敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解 令令则则故级数发散故级数发散. .例例7 判断级数的敛散性：判断级数的敛散性：解解 原级数收敛原级数收敛, 其和为其和为 3 .内容小结内容小结1. 无穷无穷级数概念级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项级数收敛、发散，部分和，余项2. 两个常见级数的敛散性：两个常见级数的敛散性：(1) 等比级数等比级数(2) 调和级数调和级数3. 级数级数性质：性质：(1)敛散性相同敛散性相同 (2) 收敛级数可以逐项相加，收敛级数可以逐项相加，(3) 级数级数加加 不影响其敛散性不影响其敛散性.（去或改）（去或改）有限项有限项, (4) 收敛级数收敛级数加括弧加括弧后后仍收敛于原级数的和仍收敛于原级数的和.(5) 级数收敛的级数收敛的必要条件必要条件: 一般项的极限为零一般项的极限为零
