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1、 必修四必修四 平面向量平面向量知识点梳理知识点梳理知知识识网网络络平面向量加法、减法加法、减法 数乘向量数乘向量坐标表示坐标表示两向量数量积两向量数量积零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量共线向量、相等向量向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量基本定理平面向量基本定理两向量的夹角公式两向量的夹角公式向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件两点的距离公式两点的距离公式向量的概念向量的概念解决解决图形图形的平的平行和行和比例比例问题问题解决解决图形图形的垂的垂直和直和角度角度,长度长度问题问题向量的初步应用向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫
2、向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量： 长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念几何表示几何表示 : 有向线段有向线段向向量量的的表表示示字母表示字母表示 坐标表示坐标表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B
3、(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念一、平面向量概念向量的模（长度）向量的模（长度）1. 设设 a = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则一、平面向量概念一、平面向量概念1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a + b =重要结论：重要结论：AB+BC+CA= 0设设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1
4、+ x2 , y1 + y2 )AC OC一、平面向量概念一、平面向量概念2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OAB2）坐标运算）坐标运算:若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则则a b= 3 3.加加法减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =一、平面向量概念一、平面向量概念练习120oADBCO120oADBCOreturn4.实数实数与向量与向量 a 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的
5、伸长或缩短！ a a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度 | | a a| =| =| |a|；它的它的它的它的方向方向方向方向若若a a = (x , y), 则则 a a = (x , y)= ( x , y)(2) (2) 当当当当 0 0时时时时, , a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反. .(1) (1) 当当当当00时时时时, , a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；一、平面向量概念一、平面向量概念则则存在唯一实数存在唯一实数 ，使得，使得结论结论: 设表示与非零向
6、量同向的单位向量设表示与非零向量同向的单位向量.定理定理1:两个非零向量两个非零向量平行平行 (方向相同或相反方向相同或相反)一、平面向量概念一、平面向量概念向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式:二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等坐标相等. 即即: 那么那么 三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有有且只有一
7、对实数一对实数 使使1、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：OABB1(四四) 数量积数量积4、运算律、运算律:3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：、数量积的主要性质及其坐标表示：OBA综上所述：原命题成立综上所述：原命题成立CNDBMOA解解: CNDBMOA例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2bO
8、A B P另解另解:可以试着将可以试着将 说明：说明：(1) 本题是个重要题型：设本题是个重要题型：设O为为平面上任一点，则：平面上任一点，则：A、P、B三点共线三点共线 或令或令 = 1 t， = t，则，则 A、P、B三点共线三点共线 (其中其中 + = 1) (2) 当当t = 时，时， 常称常称为为OAB的中线公式的中线公式(向量式向量式)例例5.设设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。 分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(
9、a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三点共线三点共线AB BD且且AB与与BD有公共点有公共点B例例6.设非零向量设非零向量 不共线，不共线， 若若 试求试求 k. 解：解： 由向量共线的充要条件得：由向量共线的充要条件得： 即即 又又 不共线不共线 由平面向量的基本定理由平面向量的基本定理 解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y） 例例8 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐的坐标分别为（标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标例例9. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中点点M和三等分
10、点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标 .解：解：(1) 求中点求中点M的坐标，由中点公式可知的坐标，由中点公式可知 M( ，2)(2) 因为因为 =(1，3)(2，1) =(3，2)例例10.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足(1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围.解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 例例1111（1 1）已知）已知 =
11、 =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . .例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+
12、5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- )（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC22例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC例例14.14.已已知知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a
13、 a在在b b上上的的投投影影为为（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，| |a a|cos|cos= C解：解：解：解： 同理可得同理可得 =120 解解 答案答案 CABCABCP 解析解析 【例例2323】已知向量已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b|
14、|，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. .解解 0 0|a a+ +b b|=2cos |=2cos x x. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1=2(cos =2(cos x x- )- )2 2- .- .x x ， cos cos x x11，当当cos cos x x= = 时，时，f f( (x x) )取得最小值为取得最小值为- - ；当当cos cos x x=1=1时，时，f f( (x x) )取得最大值为取得最大值为-1. -1. 反馈练习：反馈练习：1.判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确： （1）（3）（5）若）若 ，则对于任一非零，则对于任一非零 有有（4）（2）（6）若）若 ，则，则 至少有一个为至少有一个为（7）对于任意向量）对于任意向量 都有都有（8） 是两个单位向量，则是两个单位向量，则（9）若）若 ，则，则-6(A) (-3,6) (B) (3,-6) (C) (6,-3) (D) (-6,3) (A) (-3,6) (B) (3,-6) (C) (6,-3) (D) (-6,3) ( )( )A A-1-1
