集合的概念和表示法

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1、8/30/20241首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法一一 集合的概念集合的概念二二 集合的表示法集合的表示法 三三 元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系四四 集合间的包含关系集合间的包含关系五五 特殊集合特殊集合六六 小结小结8/30/20242首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法一、集合的基本概念一、集合的基本概念1、集合的定义、集合的定义具有某种具有某种共同属性共同属性的事物的全体的事物的全体称为称为例如：例如：集合集合。计算机网络是计算机之间以信息传输为主要计算机网络是计算机之间以信息传输为主要目的而连接起来的计算机系统的集合。目的而连

2、接起来的计算机系统的集合。如今流行的如今流行的WWW(World Wide Web)环球网。环球网。计算机内存的全体单元构成一集合。计算机内存的全体单元构成一集合。8/30/20243首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法一、集合的基本概念一、集合的基本概念2、集合的元素、集合的元素1、集合的元素表示的事物可以是、集合的元素表示的事物可以是具体具体的，的，注：注：也可也可以是以是抽象抽象的。的。2、集合的元素是任意的，、集合的元素是任意的， 但必须是确定的但必须是确定的和可和可以区分的。以区分的。集合里含有的对象或客体集合里含有的对象或客体称为集合的称为集合的元素元素。8/

3、30/20244首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法一、集合的基本概念一、集合的基本概念3、集合的分类、集合的分类1) 有限有限集合集合集合的元素个数是集合的元素个数是有限有限的。的。2) 无限无限集合集合集合的元素个数是集合的元素个数是无限无限的。的。8/30/20245首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法1、符号表示法、符号表示法通常用大写字母通常用大写字母A, B, C, 代表集合代表集合;用小写字母用小写字母a, b, c, 代表元素。代表元素。 1)如果如果a是是集合集合A的一个元素的一个元素, 则记为则记为

4、 aA,读做读做“a属于属于A”, 或或 “a在集合在集合A中中”。2)如果如果a不是不是集合集合A的一个元素的一个元素, 则记为则记为读做读做“a不属于不属于A”, 或或 “a不在不在集合集合A中中”。aA,任一元素任一元素, 对某一集合而言对某一集合而言, 或属于该集合或属于该集合, 或不属于该集合或不属于该集合, 二者必居其一二者必居其一, 且只居其一。且只居其一。注：注：8/30/20246首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法1、符号表示法、符号表示法绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。注

5、：注：离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述，离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述，不清晰的对象构成的集合不清晰的对象构成的集合属于模糊论的研究范畴。属于模糊论的研究范畴。著名著名理发师问题理发师问题就属于模糊论的研究范畴。就属于模糊论的研究范畴。8/30/20247首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 1) 列举法列举法 a、全部列举法、全部列举法：以任意顺序写出集合的以任意顺序写出集合的所有所有元素元素,隔开，隔开，元素间用元素间用逗号逗号并将其放在花括号内并将其放在花括号内。例如

6、例如“所有小于所有小于5的正整数的正整数”， 这个集合的元素为这个集合的元素为1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。再没有别的元素了。如果把这个集合命名为如果把这个集合命名为A, A=1, 2, 3, 4就可记为就可记为8/30/20248首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 1) 列举法列举法 b、部分列举法、部分列举法：列举集合的列举集合的部分部分元素，元素，素素其他元素可从列举的元其他元素可从列举的元用省略号代替。用省略号代替。例如例如A表示表示“全体小写英文字母全体小写英文字母”的集

7、合，的集合，A=a, b, , y, z则则归纳出来归纳出来 ，列举法仅适用于描述元素个数有限的集合列举法仅适用于描述元素个数有限的集合注：注：或或元素具有明显排列规律的集合。元素具有明显排列规律的集合。8/30/20249首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法2、描述集合中元素的方法、描述集合中元素的方法 2) 描述法描述法 把集合元素的共同属性描述出来。把集合元素的共同属性描述出来。集合中元素的属性。集合中元素的属性。P(x)表示任何谓词，表示任何谓词， 则则A= x | P(x) 即用谓词概括即用谓词概括表示所有使谓词表示所有使谓词P(

8、x)成立的元素成立的元素x所组成的集合。所组成的集合。例：例：x | x2-3x+2=0、x | x=2n-1 nN如果如果P(a)为真，为真， 则则aA， 否则否则 aA,(谓词表示法谓词表示法)集合的元集合的元素素集合的元素集合的元素必须满足的必须满足的条件条件8/30/202410首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法二、集合的表示法二、集合的表示法1、有些集合可以用两种方法表示，、有些集合可以用两种方法表示，注：注：但是有些但是有些集合不可以用列元素法表示，集合不可以用列元素法表示， 如实数集合。如实数集合。2、集合的元素是彼此不同的，、集合的元素是彼此不同的， 如

9、果同一个元如果同一个元素在集合中多次出现素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。应该认为是一个元素。如如:3,4,4,4,5、 3,4,5、 5,4,3是同一个集合。是同一个集合。3、集合的元素是无序的。、集合的元素是无序的。4、集合的元素可以是一个集合，、集合的元素可以是一个集合， 但不允许以但不允许以集合自身为其元素。集合自身为其元素。如如:S=a,b,S=a,b,S,aS， bS,8/30/202411首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法A，三、元素和集合之间的关系三、元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系, ,是是隶属隶属关系，关系， 即属于

10、即属于或不属于，或不属于， 属于记作属于记作， 不属于记作不属于记作 。例如：例如：A=1，1，2，3，311，23A，A，3A，23 A， A。可以用一种树形图表示可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。集合与元素的隶属关系。A11,233123321，2，8/30/202412首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法AB ( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系1、子集、子集如果集合如果集合A中每个元素中每个元素都是集合都是集合B中的元素，中的元素，则称则称A是是B的的或或A包含于包含于B，子集，子集，或者或者B包含包含A，记作记作AB如果如果A不是不是B的子集，

11、的子集，或或 BA。AB ( x) x Ax B则在则在A中至少有一个元素中至少有一个元素不属于不属于B时，时， 称称B不包含不包含A， 记作记作或或 BA。注：注：1) AA，2) AB，BC，则则AC。8/30/202413首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法B( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系2、集合相等、集合相等1)定义定义两个集合相等两个集合相等当且仅当当且仅当 它们有它们有相同相同的元素。的元素。若若A和和B相等，相等，记作记作 A=B ( x) x Ax (外延性原理外延性原理) A=B。两个集合不相等，两个集合不相等， 记作记作A B。8/30

12、/202414首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法 x ( )( )( )( )( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系2、集合相等、集合相等2)判断判断A与与B互为互为子集。子集。定理定理 若若A和和B相相等等当且仅当当且仅当 AB 且且 BA。即即证明：证明：BA=B ( x) x Ax ( x) x ABx ( )x BAx ( x) ABx ( x) x BAx ABBA证毕。证毕。8/30/202415首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法A( ) ( )四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系3、真子集、真子集如果集合如果集合A中每个

13、元素中每个元素都属于集合都属于集合B， 但但B中中不不属于属于A， 则称则称A是是B的的记作记作A B 或或 BA。AB ( x) x Ax B至少有一个至少有一个元素元素真子集。真子集。 ( x) x Bx ABA B例例 A=a，bB=a，b不是不是的的 子集。子集。（真）（真）8/30/202416首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系3、真子集、真子集可以用文氏图了表示集合间的包含关系。可以用文氏图了表示集合间的包含关系。 文氏文氏(Venn) 图是一种利用平面上的点构成的图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方

14、法。图形来形象展示集合的一种方法。 集合用矩形、园面集合用矩形、园面如果如果AB， 或一封闭曲线来表示。或一封闭曲线来表示。则表示则表示A的圆面的圆面一般完全落在一般完全落在表示表示B的圆面内。的圆面内。 ABBAAB8/30/202417首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法四、集合间的包含关系四、集合间的包含关系4、隶属和包含关系的区别、隶属和包含关系的区别例例 A=a，a，B=aBA，B A，B是是A的元素，的元素，B的元素的元素a 是是A的元素，的元素， B是是A的子集。的子集。隶属是隶属是 元素元素 和和 集合集合 的关系，的关系，包含是包含是 集合集合 和和 集

15、合集合 的关系，的关系，某些集合可以同时成立这两种关系。某些集合可以同时成立这两种关系。是个体与整体的关系，是个体与整体的关系，是部分与整体的关系。是部分与整体的关系。8/30/202418首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 定义定义不含任何元素的集合不含任何元素的集合空集，空集，称为称为记作记作 。例例 两条平行线交点的集合两条平行线交点的集合为为。例例 x| x 0 x 0 x R =。注：注： 1) 与与 的区别。的区别。是集合，没有元素是集合，没有元素有有1个元素的集合个元素的集合2) ， 8/30/202419首页上页返回

16、下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 定理定理空集空集是任一集合是任一集合A的子集，的子集， 即即 A。设设x是论述域中任意元素是论述域中任意元素, 则则 x 永永假假，x x A 永永真真， ( x) (x xA) 为为T， A。下列命题是否为真。下列命题是否为真。 1); 2) ; 3) ; 4) 。证明：证明：8/30/202420首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 推理推理空集空集是唯一的。是唯一的。设设1，2是两个空集是两个空集, 则则1 2， 且且2 1，得得1= 2，所以

17、空集是唯一的。所以空集是唯一的。证明：证明：证明唯一性证明唯一性一般采用反一般采用反证法证法(绝对唯一绝对唯一)证毕。证毕。8/30/202421首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合1、空集、空集 2)证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性，证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性，常采用反证方法，常采用反证方法， 即假设该集合不是空集，即假设该集合不是空集， 或不唯一，或不唯一，导致与已知条件的矛盾或导致唯一。导致与已知条件的矛盾或导致唯一。 注：注： 1)任何非空集合任何非空集合A， 至少至少有有 子集：子集：两个两个、 和和A。 只只有有 子集

18、子集一个一个。8/30/202422首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合2、全集、全集 定义定义在一定范围内，如果在一定范围内，如果所有所有集合集合都都是是某一集某一集合合的子集，的子集， 则称此集合为则称此集合为全集全集,记作记作 E。注：注：1) 全集是相对的，不同的问题有不同的全集，全集是相对的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。即使是同一个问题也可以取不同的全集。2) 一般地说，全集取得小一些，问题的描述和一般地说，全集取得小一些，问题的描述和 处理会简单些。处理会简单些。3) 全集全集E 用一个矩形的内部表示，用

19、一个矩形的内部表示， E8/30/202423首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合3、幂集、幂集 定义定义 由集合由集合A的的所有子集所有子集为元素所组成的集合为元素所组成的集合称为称为A的的幂集幂集, 记作记作注：注：1) 幂集的元素都是幂集的元素都是集合。集合。或或P(A)或或2 A。2) 任一集合的幂集任一集合的幂集 都非空。都非空。3) 在在 A 的所有子集中，的所有子集中， A 和和又叫平凡子集。又叫平凡子集。 (A)8/30/202424首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法 、 a 五、特殊集合五、特殊集合3、幂集

20、、幂集例例 的的幂集：幂集： =A=a的的幂集：幂集：= 、 、 、 a A=a，b的的幂集：幂集：=ba、b有有 个元素个元素1有有 个元素个元素2有有 个元素个元素4202122(A)8/30/202425首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合3、幂集、幂集 一般地，一般地， 集合集合A=a1、 a2、 an，则则有有 个元素。个元素。2n它的它的m (0 m n)元子集有元子集有 个，个，不同的子集共有不同的子集共有+ + +=(1+1)n=2n个。个。8/30/202426首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法 、 a、

21、b、c 、 、 、 、 、 、五、特殊集合五、特殊集合3、幂集、幂集 例例 S=a、 b、c，其幂集为其幂集为 a=ba、b a、c b、c c引进一种编码，用来唯一的表示有限集的幂集的元素。引进一种编码，用来唯一的表示有限集的幂集的元素。a =S100b =S010c =S001a、b=S110a、c=S101b、c=S011a、b、c=S111 =S000=S000, S001, S010, S011, S100, S101, S110, S1118/30/202427首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法五、特殊集合五、特殊集合3、幂集、幂集例例 A=，B=(A) ，

22、下列命题是否成立。，下列命题是否成立。a) B, ,Bb) B, Bc) B, B解解()=, ,=, , , 显然所有命题均成立。显然所有命题均成立。B=(A)8/30/202428首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法六、小结六、小结1、集合、集合 具有某种共同属性的事物的全体。具有某种共同属性的事物的全体。2、集合的元素、集合的元素 集合里含有的对象或客体。集合里含有的对象或客体。3、集合的表示法、集合的表示法 1) 符号表示法符号表示法 2) 描述集合中元素的方法描述集合中元素的方法 a、列举法、列举法 b、描述法、描述法8/30/202429首页上页返回下页结束铃

23、离散数学 3.1 集合的概念及表示法六、小结六、小结4、集合和元素间的关系、集合和元素间的关系 是隶属关系是隶属关系5、集合和集合间的关系、集合和集合间的关系 子集、真子集、相等子集、真子集、相等6、特殊集合、特殊集合 空集、全集、幂集空集、全集、幂集8/30/202430首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法A= x| ，理发师问题理发师问题 在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？不刮脸的人刮脸

24、。那么，谁给这位理发师刮脸？解：解：设设不给自己刮脸的人不给自己刮脸的人x 是是b是这位理发师。是这位理发师。1) 若若bA， 则则b是不给自己刮脸的人，是不给自己刮脸的人，而由题意，而由题意， b只给集合只给集合A中的人刮脸。中的人刮脸。 b 要给要给b 刮脸，刮脸， 即即b A。8/30/202431首页上页返回下页结束铃离散数学 3.1 集合的概念及表示法2) 若若b A，理发师问题理发师问题 在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？解：解：则则b是要给自己刮脸的人，是要给自己刮脸的人，而由题意，而由题意， 理发师只给自己不刮脸的人刮脸。理发师只给自己不刮脸的人刮脸。 b 是不给自己是不给自己 刮脸的人，刮脸的人，即即bA。无论无论1) 和和2) ， 都有都有 bA 及及b A 同时成立。同时成立。这种情况称为罗索悖论，这种情况称为罗索悖论， 是模糊论的范畴。是模糊论的范畴。返回返回