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1、Ch5、对称矩阵与二次型二次型及其标准形二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵返回返回上一页上一页下一页下一页1、二次型及其标准形 定义定义1：二次齐次函数 称为二次型。 令 ，则返回返回上一页上一页下一页下一页 记 ，则 ，故“二次型与一个对称矩阵一一对应”。 例如，二次型 的矩阵 。返回返回上一页上一页下一页下一页 定义定义2： 称为二次型的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负) 系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。例例5.1 将二次型 写成矩阵表示形式。解：f的系数矩阵为 返回返回上一页上一页下一页下一页故f的矩阵形式表示式为返回返回上一页上一页下一页下一
2、页 问题：问题：如何求可逆线性变换将二次型化为标准形。返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解：令则线性变换记为 。 ，显然，当 为对角形时，f 即为标准形。故问题可转化为“对对称阵，求一可逆阵C，使为对角形”。 将Ch44中定理11“若A对称，则必有正交阵P，使 即 为对角阵”应用于二次型，则有如下定理：返回返回上一页上一页下一页下一页 定理定理1：对于二次型 ，总有正交变换x=Py，将f 化为标准形 ，其中 为A的特征值。参考题参考题1、求正交变换x=Py，将 化为标准形。 解：解：f 的矩阵为返回返回上一页上一页下一页下一页 时， ， 令 ，则 ， ， 。 时，返回返回上一页上一页下一页
3、下一页 , 令 , 则 ， ， 。 时， ， , 令 , 则 ， ， ，故所求正交变换为x=Py， 标准形为 。 返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.2 已知二次型的秩为2，求参数 。解：二次型f的矩阵为由于f的秩为2，即 ，故 ，即解得 。显然，A中左上角的二阶子式非零，故 时， 。返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.3 求一个正交变换，将二次型 化为标准形，并指出 表示何种二次曲面 。解：二次型f的矩阵由于返回返回上一页上一页下一页下一页故矩阵A的特征值为 ，各特征值对应的线性无关的特征向量分别为由于A的三个特征值互异，故 两两正交，将其单位化，得返回返回上一页上一页下一页下一页故
4、返回返回上一页上一页下一页下一页为正交矩阵，且作正交变换 ，即返回返回上一页上一页下一页下一页原二次型可化为由于方程在 在三维空间中表示椭圆柱面，二正交变换不会改变几何特征，故 也表示椭圆柱面。例例5.4 求一个正交变换，将二次型 化为标准形。返回返回上一页上一页下一页下一页解：二次型f的矩阵为由于返回返回上一页上一页下一页下一页故矩阵A的特征值为 。 当 时，解方程组 ，即 因为得到同解的线性方程组为返回返回上一页上一页下一页下一页基础解系为故特征值 对应的线性无关的特征向量为将 正交化，得返回返回上一页上一页下一页下一页再单位化，得返回返回上一页上一页下一页下一页当 时，解方程组 ，即由于
5、同解的方程组为返回返回上一页上一页下一页下一页基础解系为故特征值 对应的线性无关的特征向量为将单位化，得 ，故返回返回上一页上一页下一页下一页为正交矩阵，且返回返回上一页上一页下一页下一页作正交变换 即故原二次型可化为 。返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.5 求可逆变换化二次型 为标准形，并写出所作的变换矩阵。解：由于f含x1的平方项，将含x1的项归并进行配方，得返回返回上一页上一页下一页下一页令 即则二次型化为 。所用变换矩阵为显然P可逆 ，但P不是正交矩阵。返回返回上一页上一页下一页下一页2、正定二次型与正定矩阵 定义定义3：若对任何 ，都有 ，则称 f 为正定(负定)二次型，并称矩
6、阵A为正定(负定)的，记为A0(A2时，f 正定。 定理定理4: 若A,B正定，则 均正定。 定理定理5：若A正定(负定)，则其对角元 全大于(小于)零。 返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.7 若 为正定二次型，则t应满足什么条件？解：二次型f的矩阵为由于当二次型f正定时，必有 ，故 。返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.8 判别二次型 的正定性。解：二次型f的矩阵为由于故二次型f是负定二次型。返回返回上一页上一页下一页下一页例例5.9 设A是三阶实对称矩阵，E为三阶单位矩阵，满足A2+2A=0，已知r(A)=2，问当k取何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。解：设为矩阵A的特征值，对应的特征向量为 ，则于是有由条件A2+2A=0 ，且特征向量 ，故 ，解得 。因此矩阵A的特征值必取值0与2。返回返回上一页上一页下一页下一页由于实对称矩阵A满足r(A)=2 ，则矩阵A可对角化，且矩阵A只有两个非零特征值，所以矩阵A的全部特征值为 ，而矩阵A+kE的全部特征值为 。矩阵A+kE为正定矩阵的充分必要条件是其特征值全大于零。所以当k2时，矩阵A+kE为正定矩阵。
