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1、 6-6 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法一、一、 基本概念基本概念 超静定梁超静定梁“多余多余”约束约束单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁全部支反力的梁 , 称为称为超静定梁超静定梁 多于维持其静力平衡所多于维持其静力平衡所必需的必需的约束约束ABCPPAB 超静定梁的超静定梁的“多余多余”约束约束的的数目就等于其超静定次数。数目就等于其超静定次数。与与“多余多余”相应的支座反力相应的支座反力超静定次数超静定次数“多余多余”反力反力ABCPPABABq(a)图图 6 -11 二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤以图以图 6 -11 a 所示抗弯刚度所示
2、抗弯刚度 为为 EI 的一次超静定梁说明的一次超静定梁说明超静定梁的解法。超静定梁的解法。解出多余约束，代之以解出多余约束，代之以约束反力。得到原超静约束反力。得到原超静定梁的定梁的 基本静定系基本静定系基本静定系基本静定系。如图如图6 -11中，将中，将B处的约束处的约束当作多余约束。解出后用反力当作多余约束。解出后用反力代替。代替。图（图（b）为为 基本静定系。基本静定系。基本静定系。基本静定系。qAB(b)ABq(a)图图 6 -11 qAB(b)超静定梁在多余约束处超静定梁在多余约束处 的约束条件，就是原超的约束条件，就是原超静定梁的变形相容条件。静定梁的变形相容条件。图（图（b）中悬
3、臂梁在中悬臂梁在 B点的点的挠度等于零，就是超静定梁挠度等于零，就是超静定梁（a）的变形相容条件。的变形相容条件。根据变形相容条件得根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程 qABqAB（c）BA（d）变形几何方程为变形几何方程为将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入变形几何方程，得补充变形几何方程，得补充方程。方程。 qABqAB（c）BA（d）由附录由附录 1V 查得查得补充方程为补充方程为由该式解得由该式解得 qABqAB（c）BA（d）按悬臂梁的静力平衡方按悬臂梁的静力平衡方程求出该梁固定端的程求出该梁固定端的两个支反力（图两个支反力（图6 -11b）为为方法二方法二取支座取支座A
4、处阻止梁转动的约处阻止梁转动的约束为多余约束。束为多余约束。代以与其相应的多余反力代以与其相应的多余反力偶偶（图（图6 -12）得基本静定系得基本静定系变形相容条件为变形相容条件为请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成 ！ABq(a)图图 611ABq(a)ABq图图 6 -12例题例题 6-9 梁梁 A C 如图所示如图所示, 梁的梁的 A 端用一钢杆端用一钢杆 AD 与梁与梁 AC 铰接铰接, 在梁受荷载作用前在梁受荷载作用前, 杆杆 AD 内没有内力内没有内力, 已知梁和杆用已知梁和杆用同样的钢材制成同样的钢材制成, 材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E, 钢梁
5、横截面的惯性矩钢梁横截面的惯性矩为为 I, 拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图其余尺寸见图 a, 试求钢杆试求钢杆 AD 内内的拉力的拉力 N。a2aABCq2qD例题例题 6 -9图图(a)解：这是一次超静定问题。将解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁杆与梁 AC 之间的连结绞之间的连结绞 看作多于约束。拉力看作多于约束。拉力N为多余反力。基本静定系如图为多余反力。基本静定系如图 b 。 A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即点。即(b)ADNBCq2qNBCq2qNBCq2qCBN A在例题在例题 6-6 中
6、已中已求得求得根据习题根据习题 6-5的答的答案推知案推知拉杆拉杆 AD 的伸长的伸长BCq2qN(b)ADN补充方程为补充方程为由此解得由此解得例题例题 6 -10 求图求图 a 所示梁的支反力，并绘梁的剪力图所示梁的支反力，并绘梁的剪力图 和弯矩图。已知和弯矩图。已知4m3m2mABDC30KN例题例题 6 -10 图图4m3m2mABDC30KN解：这是一次超解：这是一次超静定问题静定问题取支座取支座 B 截面上截面上的相对转动约束的相对转动约束为多余约束。为多余约束。基本静定系为在基本静定系为在B 支座截面上安支座截面上安置绞的静定梁，置绞的静定梁，DCAB30KN多余反力为分别多余反
7、力为分别作用于简支梁作用于简支梁AB 和和 BC 的的 B 端处的一对弯矩端处的一对弯矩 。变形相容条件变形相容条件为，简支梁为，简支梁 AB的的 B 截面转角截面转角和和 BC 梁梁 B 截截面的转角相等。面的转角相等。4m3m2mABDC30KNDCAB30KN由附录由附录1V表中表中查得查得4m3m2mABDC30KNDCAB30KN将将和和代入代入得补充方程得补充方程解得解得负号表示负号表示 B 截面截面弯矩与假设相反。弯矩与假设相反。4m3m2mABDC30KNDCAB30KN由基本静定系的平由基本静定系的平衡方程可求得其余衡方程可求得其余反力反力在基本静定系上绘在基本静定系上绘出剪力图（图出剪力图（图C）和和弯矩图（图弯矩图（图d）。）。+-32.0547.9518.4011.64(c)+-25.6831.8023.281.603m(d)DCAB30KN 弯曲超静定例题弯曲超静定例题1 弯曲超静定例题弯曲超静定例题2
