材料力学-刘鸿文-第4版(二)

材料力学（二）材料力学（二） 张为民张为民 编著编著 教材：刘鸿文主编（第四版）教材：刘鸿文主编（第四版） 2008. 5. 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力§4-1§4-1工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题Bending problems in engineering 受弯之杆曰梁. 例：大梁、车辆轴、镗刀杆等. P112. 研究步骤：外力  内力  应力.暂时限于：1. 梁有一个对称面或横截面有一个对称轴.2. 所有外力都作用于对称面内.n平面弯曲平面弯曲 Planar bending所有外力都作用于同一平面内, 梁弯曲后的轴线为平面曲线, 且该平面曲线所在的平面与外力所在的平面重合. §4-2 梁的计算简图梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷3. 支座简化支座简化①固定铰支座 2个约束，1个自由度。

如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等②可动铰支座 1个约束，2个自由度如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等③固定端 3个约束，0个自由度如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等XAYAMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式①简支梁M —集中力偶集中力偶q(x)— 分布力分布力②悬臂梁③外伸梁— 集中力集中力Pq— 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力§4-3§4-3 剪力与弯矩剪力与弯矩 shearing force and bending moment 依截面法和平衡原理，直接由外力求出内力.大小：大小： S Y = 0: 剪力剪力 Q = 截面一侧所有外力在 y 轴投影的代数和. S mo = 0: 弯矩弯矩 M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和. 符号：符号： (P117) QMQMo§4-3 §4-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 Shearing and bending moment diagram例例4-1. 简支梁受集中力，求作简支梁受集中力，求作 QM 图图解解: (1)(1)求支反力求支反力校核： 结果正确.(2)(2)求内力求内力: : 第一段: 第二段：(3)危险截面在 Q 及 M 绝对值最大处. (4)标出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置. 截面 A 及 C 处 突变规则突变规则 突变的来源: 集中力的抽象.n突变规则突变规则(一一) 有集中力P处, Q 图必有突变, 其值为P. 无集中力处, Q 图必无突变.n突变规则突变规则(二二) 有集中力偶m处, M 图必有突变, 其值为M. 无集中力偶处, M 图必无突变. 例例4-2. 简支梁受集中力偶，求作简支梁受集中力偶，求作 QM 图图解解: (1)求支反力求支反力 S mB = 0 RA = m / l. S mA = 0 RB = m / l.校核：S Y = 0: RA + RB = 0. 结果正确.(2)求内力求内力: : 第一段: 第二段：(3) 危险截面在 Q 及 M 绝对值最大处. (4)标出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置. 截面 C 处 例例4-3. 悬臂梁受均布载荷，求作悬臂梁受均布载荷，求作 QM 图图解解: (1)求支反力求支反力 S mA = 0 MA = ql2 / 2. SY = 0 RA = ql.(2)求内力求内力: : (3)危险截面在 Q 及 M 绝对值最大处. (4)标出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置.截面 A 处 Qmax = ql, |M|max = ql2 / 2.例题的启示: 微分关系§4-5 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 Relations between q, Q and M n微分规则：微分规则： 由微分规则可见，当 x 轴选择向右时：1. q > 0, Q 走上坡路; q < 0, Q 走下坡路; q  0, Q 走平路; q = 0处, Q 有极值2. Q > 0, M走上坡路; Q < 0, M走下坡路. Q  0, M 走平路; Q = 0处, M有极值3. q > 0, M 为极小值; q < 0, M 为极大值.利用平衡关系, 结合截面法, 可以很快地画出 QM 图. 例例4-9 (P128) 求作 QM 图叠加法叠加法: : 小变形情况下, 内力与外力成线性关系, 内力图可以叠加.刚架：刚架：图画在受压一侧P123中间铰链：中间铰链：该处 M 为零.第四章作业第四章作业 P129 ：：4-4 b, d, f, h , j , l , n , p；；4.6；；4.7 a , c；；4.21§4–6 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。

特点：特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N2. 内力图规定：内力图规定： 弯矩图：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号 剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号例例 试作图示刚架的内力图P1P2alABC–N 图P2+Q 图P1+P1P1aM 图P1aP1a+ P2 l二、曲杆：二、曲杆：轴线为曲线的杆件 内力情况及绘制方法与平面刚架相同例例 已知：如图所示，P及R 试绘制Q、M、N 图OPRmmx解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，表示截面m–m的位置ABOPRmmxABABOM图OO+Q图N图2PRPP–+第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 Bending stresses 困难性：有Q和M 就有 和 , 两者同时存在时, 研究困难. 办法：纯剪梁不存在, 只好从纯弯梁(只有M,)开始研究. §5-2 §5-2 纯弯梁的正应力纯弯梁的正应力 (1)实验观察实验观察 1)平面曲线仍为平面曲线.2)纵线变为平行弧线, aa缩短, bb伸长. 中性层存在. 中性层与横截面的交线 称为中性轴 neutral axis . 直角仍为直角.3)横截面上变宽, 下变窄.(2)推理假设：推理假设：平面假设和单向受力假设 assumption of plane-section, assumption of uniaxial stress state. (3) 分析计算分析计算 1) 平衡方程平衡方程 equilibrium equation选坐标轴：y轴为对称轴；z轴为中性轴，其位置暂未知；x轴为过原点且平行于轴线. (a) 2) 变形谐调条件变形谐调条件 compatibility condition 横截面上只有正应力. 依平面假设, 有 (b) 3) 物理关系物理关系 constitutive relation依单向受力假设, 有 (c) 以(c)代入(a),得 即中性轴 z 过形心. 即外力作用于主惯性平面. 式中 称为横截面积对z轴的静矩static moment, 横截面积的惯性积product of inertia和横截面积的惯性矩 moment of inertia. 以(5-1)代入(c), 得 可见应力沿截面高度按直线变化.(4) 实验证明实验证明: : 圣维难原理 St. Venant's Principle ：：在远离（一个特性常数）加力处的应力分布, 只与加力的合力有关，而与加力方式无关. §5.3 纯弯应力公式的应用纯弯应力公式的应用 Application of the stress formula in pure bending (1) 对于无对称面的梁无对称面的梁, 只要外力作用于主惯性平面内, 上述结论仍成立.(2) 对于非纯弯横力弯曲非纯弯横力弯曲的情形, 平面假设不再成立. 单向受力假设也不成立. 但是, 进一步分析证明, 对于细长梁仍按公式(8.8)计算正应力误差不大. 此时，强度条件中应该用危险截面上的弯矩.总之，梁的正应力公式的应用条件除了必须是直梁直梁，材料必须是线弹性线弹性的以外, 还必须满足：由， 中性轴中性轴neutral axis必须过形心必须过形心. 依此确定z轴位置。

由， 外力必须作用在主惯性平面外力必须作用在主惯性平面principal plane内内, 以保证发生平面弯曲.由， 外力必须过剪心外力必须过剪心shear center, 以保证只弯不扭. 不满足上述条件，就成为组合变形.弯曲强度计算弯曲强度计算 Calculation of the bending strength 一般细长和实心截面梁(包括轧制型钢), 主要进行最大正应力校核. 先依M图及截面, 材料等变化情况, 找到危险截面, 然后对危险点进行校核:最大正应力最大正应力 抗弯截面系数抗弯截面系数 矩形截面矩形截面 圆形截面圆形截面 轧制型钢轧制型钢的 I 与 W 可以从型钢表中查出.只有一根对称轴的截面, 最大拉应力和最大压应力不相等, 它们都要校核: 例例5-1 P144. 例例5-2 P145. 例例5-3 P146.附录附录I I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质1 形心形心, , 静矩静矩 Centroid and static moment of the Area 面积面积为零次矩 静矩静矩为一次矩 惯性积惯性积为二次矩 形心形心： 当时, z 轴过形心.组合图形形心组合图形形心的求法： 2 惯性矩惯性矩, ,平行移轴定理平行移轴定理 Moment of inertia, parallel-axis theorem 一. 惯性矩矩形矩形P150：：空心圆：空心圆：惯性积：惯性积： 当Iyz = 0时, y 及 z 这一一对对轴轴称为主主惯惯性性轴轴 Principal axes. 对称轴及与之垂直的轴均为主轴。

主惯性轴的例子：主惯性轴的例子： 二. 平行移轴定理 Parallel-axis theorem 例例5-2 P153三. 主惯性轴概念Conception of principal axes of the area当 时称 y0, z0为主惯性轴主惯性轴. §5.4 §5.4 矩形截面梁的弯曲剪应力简介 Shearing stresses in beams of rectangular cross-section 横力弯曲的梁, 有弯矩就有正应力(已知). 有剪力就有剪应力(待求). 方法: 考虑平衡条件.假设：1. 剪应力方向平行于横截面侧边. 2. 剪应力大小沿宽度平均分布. 1 矩形截面矩形截面 2 工字形截面工字形截面的剪力主要由腹板承担式(8.9)中的Iz / S*zmax的数值可以从型钢表中查到.3 圆形截面圆形截面 弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件：中性轴处为纯剪切， §5-6 §5-6 提高梁抗弯能力的措施 Measurements for improving the bending strength因为 . 可用下述措施降低最大弯矩，提高抗弯截面模量来提高弯曲强度。

1 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况（1）支座安排：降低最大弯矩2）载荷安排：降低最大弯矩.2 梁的合理截面：提高梁的合理截面：提高Wz /A. 2 采用等强度梁采用等强度梁使例如矩形截面简支梁中点受集中力, 若 h = 常数. b = b(x).bmin由剪应力强度条件确定.应用：钢板弹簧.若 b = 常数. h = h(x).应用：阶梯轴和鱼腹梁. 第五章习题第五章习题 P165 ：：5-2；5.6；5.10；5.12；5.19；5.27第六章第六章 梁的变形梁的变形 静不定梁静不定梁 Deflection of beams, statically indeterminate beams§6-1 引言引言 Introduction n齿轮轴，吊车梁（出现爬坡）相反要求：钢板弹簧，测力扳手n寻找求变形的基本方法.n梁刚度计算、静不定问题和振动计算中都要求计算变形 1 挠度挠度, ,转角及其相互关系转角及其相互关系Deflection, angle and their relationship 线位移线位移小变形情况下C点沿 x 方向的位移u 可以忽略. 沿 y 方向的位移 v = y. 挠度挠度 y deflection ：与 y 轴同向为正。

转角转角  slope of the deflection curve ： 从 x 轴按最小角度转向 y 轴的方向为正n关键在于确定梁的挠度方程 y = y(x). (6-1)§6-2 §6-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 Differential equation of the deflection curve 问题归结为求挠曲线 y = f(x). 推导公式时，不计Q的影响，所有的量均选为正纯弯时有曲率 curvature 公式：曲率的数学公式： 依弯矩及曲率符号的规定，正弯矩对应正曲率，故取正号这就是精确挠曲线微分方程精确挠曲线微分方程注意，若坐标轴方向改变，将改变上述公式的符号近似微分方程近似微分方程： 其作用是使方程线性化§6-3§6-3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 Finding the deflection of a beam by direct integration 积分常数积分常数 constants of integration 由下述条件确定边界条件边界条件 boundary conditions ：（1）固定端：y = 0, y’ = 0.（2）铰支端：y = 0.连续条件连续条件 conditions of continuity ：（ 即各段的边界条件）对于连续梁的各截面只有唯一的挠度和转角。

例例6-1 悬臂梁受集中力P193, 例例6-2 简支梁受均部载荷, 例例6-3 简支梁, 两段. 积分法积分法的优点是可以求出挠度和转角的方程当只需求特定截面的挠度和转角时，可以用叠加法叠加法.§6-4 §6-4 用用叠加法求梁的变形 Finding the deflection by method of superposition 在材料服从虎克定律和小变形情况下，挠曲线微分方程是线性的线性方程的解可以用叠加法线性方程的解可以用叠加法求得：n简单载荷作用下梁的变形见表表6-1. P188.n例例 6-4 P203§6-5 §6-5 静不定梁静不定梁 Statically indeterminate beams解法：变形比较法为一度静不定问题4-3 = 1.（1） 列平衡方程，判断静不定次数2） 选静定基本系统（不唯一） 去掉多余约束，代以多余约束反力3）依变形谐调条件列补充方程平衡方程：谐调条件：求出RB后，就可从平衡方程求出其他未知数，从而画出M图§6-5 §6-5 梁的刚度条件 Stiffness condition, 最大挠度和最大转角不超过规定值： §6-5提高梁的刚度的主要措施 Measurements for raising the bending rigidity 因为 可以用下述措施降低弯矩 M，提高梁的刚度EJ, 减少其变形.1 改善结构形式以降低 M。

2选择合理截面形状以提高 I 第六章作业：第六章作业：P197. 6.3a, c, 6.4a，，d；；6.5a；；6.10a；；6.21；；6.22；；6.39；；6.421、问题的提出问题的提出请看下面几段动画请看下面几段动画：：：： 低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验  低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 Analysis of Stress State and Strength Theories 低碳钢低碳钢韧性材料拉伸时为什么会出现韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？滑移线？铸铸 铁铁  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿45º45º螺螺旋面断开？旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述拉拉 中中 有有 切切根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述切切 中中 有有 拉拉根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述重要结论重要结论 不不仅仅横横截截面面上上存存在在应应力力，，斜斜截截面面上上也也存存在在应应力力；；不不仅仅要要研研究究横横截截面面上上的的应应力力，，而而且且也也要要研研究究斜斜截面上的应力。

截面上的应力  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述2 2、应力的三个重要概念、应力的三个重要概念 应力的点的概念应力的点的概念; ; 应力的面的概念应力的面的概念; ; 应力状态的概念应力状态的概念. .  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 横横截截面面上上正正应应力力分分析析和和切切应应力力分分析析的的结结果果表表明明：：同同一一面面上上不不同同点点的的应应力力各各不不相相 同同 ，， 此此 即即应应 力力 的的 点点 的的 概概 念念F FNNxxF F  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 微元平衡分析结果表明：即使同一微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即的，此即应力的面的概念应力的面的概念  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 过一点不同方向面上应力的集合，过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的应力状态应力状态（（State of the Stresses of a Given Point）。

应应 力力哪一个面上哪一个面上？？ 哪一点哪一点？？ 哪一点哪一点？？哪个方向面哪个方向面？？指明指明  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述3 3、一点应力状态的描述、一点应力状态的描述 微微 元元（（Element））各边边长各边边长,,dxdydz 微元及其各面上的应力微元及其各面上的应力  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述FF构件中单元体的选取及应力状态的描述A点xxA点1, 拉伸矩形杆xA点A点xxmmm2, 扭转问题小结：应力状态的概念小结：应力状态的概念一点的应力状态：一点的应力状态：过一点各个面上的应力情况拉压和纯弯曲：单向应力状态扭转：纯剪切应力状态本章分析一点的应力状态, 建立复杂受力情况下的强度条件. 描述法：描述法：用单元体单元体 element 上互相垂直面上的应力来描述.主平面主平面 principal plane ：剪应力为零的平面. 主应力主应力 principal stress ：主平面上的正应力. 主应力的方向为主方向.过一点总可以找到三个互相垂直的主平面, 其上的主应力按代数值排号. 单向应力状态单向应力状态 uniaxial stress state ：只有一个主应力不为零.二向应力状态二向应力状态 plane stress state ：两个主应力不为零.三向应力状态三向应力状态 three-dimensional stress state ：三个主应力都不为零. 已知三个互相垂直面上的应力已知三个互相垂直面上的应力, , 则一点的应力状态确定则一点的应力状态确定. . 即, 任意面上的应力可以求得. 每个面上有三个应力分量, 共九个应力分量。

如下图： 这九个应力分量的总体, 是一个二阶张量, 称为应力张量应力张量. ( Three-Dimensional State of Stresses )三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态yxz  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 ( Plane State of Stresses )平面（二向）平面（二向）应力状态应力状态xy  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述xyxy单向应力状态单向应力状态( One Dimensional State of ( One Dimensional State of Stresses )Stresses )纯剪应力状态纯剪应力状态( Shearing State of Stresses )( Shearing State of Stresses )  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述三三向向应应力力状状态态平平面面应应力力状状态态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例特例特例  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述例题一例题一FPl/2l/2S平面平面  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述123  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述S S平面平面平面平面例题一例题一5 5 5 55 54 44 43 33 32 22 21 1 1 11 1例题二例题二FPlaS  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述xzy4321S平面平面例题二例题二  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述yxzMzFQyMx4321143  应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 问题：填写弯曲问题各点的应力状态图示梁的A、B、C、D四点中，单向应力状态的点是________，平面应力状态的点是________，纯剪应力状态的点是________，在任何截面上的应力均为零的点是_________。

已知 x, y, xy, 求 1, 2 及 1 之方向  .符号规定： ： 拉为正.  ：对单元体内任一点取矩时, 按右手螺旋法则旋进方向为正.  ：从 x 轴按最小角度转向 y轴的方向为正.联解得： (7-1) (7-2)  二向应力状态分析二向应力状态分析 解析法解析法2 主应力主应力, , 主平面与最大剪应力主平面与最大剪应力Principal stresses, principal plane and maximum shearing stress 1) 主应力与主方向的确定主应力与主方向的确定 求 的极值: (a) (7-5)应力的极值max和min均为主应力主应力以 0 的两个值代入式(a)得 (7-6)2) 最大剪应力及其作用面 的极值： (7-7)可见最大与最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45。

以 1 的两个值代入式(11.1)得 (7-8)例 7-3 P219 求主应力.例 7-4 P220 分析铸铁受扭时的破坏现象. 利用三角恒等式，可以将前面所得的关利用三角恒等式，可以将前面所得的关于于 s sx ´ 和和 t tx´ ´y ´ ´ 的方程写成的方程写成  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法ROc  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法点面对应点面对应c caA  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法c caDn dxA2  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法二倍角对应二倍角对应————半径转过的角度是方向半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍面法线旋转角度的两倍转向对应转向对应————半径旋转方向与方向面法半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；线旋转方向一致；点面对应点面对应————应力圆上某一点的坐标值应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；应力；  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法b(y ,yx)Oca(x ,xy)ABABAB  应力圆的绘制应力圆的绘制b(y ,yx)Oca(x ,xy)ABABAB  应力圆的绘制应力圆的绘制s sxs sxx'y'x'o2×45º2×45ºBEADadcbeE EB B45º45º  应力圆的绘制应力圆的绘制cx'y'x'o2×45º2×45ºadbes sxs sxEBEBs sxs sx  二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法 轴向拉伸时轴向拉伸时45º方向面上既方向面上既有正应力又有切应力，但正应有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。

力不是最大值，切应力却最大 应应 力力 圆圆EBs sxs sxox'y'x'2×45º2×45ºy'＝x'＝－BE 应应 力力 圆圆DAd(0,- )Ca (0, )eb 应应 力力 圆圆y'＝x'＝－BEDAy'＝x'＝－BE 纯剪应力状态下，纯剪应力状态下，45º45º方向方向面上只有正应力没有切应力，面上只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值而且正应力为最大值 应应 力力 圆圆DAy'＝x'＝－BE主平面与主方向主平面与主方向t txys sxs syt tyxx'y'x'oadAD主平面主平面（Principal Plane）：：t = 0, ,与应力圆上和横轴交点对应的面与应力圆上和横轴交点对应的面  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力cbePBPE2 pxyyxADxy  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力PEPBx'y'x'oadcbe2 p主应力主应力（（Principal Stresses）：）：主平面上的正应力主平面上的正应力  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力x'y'x'oadcbe2 padcbe2 padcbe2 p主应力主应力（（Principal Stresses）：）：主平面上的正应力主平面上的正应力  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力x'yxoadcbe2 p 主应力主应力：：主平主平面上的正应力面上的正应力 有几个主应有几个主应力力？？x'y'x'oadcbe2 px'y'x'oadcbe2 p  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力主应力表达式主应力表达式 主应力排序主应力排序 s s1 1   s s2 2   s s3 32 px'y'x'ocbead 主方向主方向主方向主方向（（Direction of Principal StressesDirection of Principal Stresses) ) 负号表示顺时转向负号表示顺时转向  主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力 对应应力圆上的最高对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，点的面上切应力最大，称为称为“ “ 面内最大切应面内最大切应力力” ” （Maximum Shearing Stress in Plane） 。

 主应力、主方向、最大切应力主应力、主方向、最大切应力x'y'x'oc 三向应力状态三向应力状态——三个主应力都不为零的三个主应力都不为零的应力状态；应力状态； 特例特例 ——三个主应力中至少有一个是已知三个主应力中至少有一个是已知的的( (包括大小和方向包括大小和方向) )据此，平面应力状态据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例即为三向应力状态的特例 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析xyxyyx至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知yxyyxxz三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析z 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 1 1 2 2 3 3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析xyx由由2 、 3可作出应力圆可作出应力圆 I32I 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析I1平行于平行于1 的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与1无关无关23由由由由 1 1 、、  3 3可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆IIIIIIIIII1 3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析III23xyxO2平行于平行于平行于平行于 2 2的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与 2 2无关无关无关无关. .31IIIxyxO3由由由由s s s s1 1 、、、、 s s s s2 2可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆 III IIIIII21 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析III21平行于平行于平行于平行于 3 3 的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与的方向面－其上之应力与 3 3 无关无关无关无关3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析III3III21Oxyx 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 面内最大切应力与最大切应力面内最大切应力与最大切应力 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Oxyxzpypxp213 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析ⅠOxyx32 zpypxp23 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Ⅱzpypxp131Oxyx32Ⅰ   三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Ⅲzpypxp211Ⅱ1Oxyx32Ⅰ    三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析zpypxp213Oxyx132    三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Oxyx   在三组特殊方向面中都有各自的面在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力内最大切应力, ,即：即：Oxyx   一点处应力状态中的最大切应力只一点处应力状态中的最大切应力只是是、、 中最大者，即中最大者，即: : 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 平面应力状态作为平面应力状态作为 三向应力状态的特例三向应力状态的特例求：平面应力状态的主应力求：平面应力状态的主应力1 1、、2 2 、、 3 3和最大切应力和最大切应力maxomax 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析20030050(MPa)O 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析2005030050(MPa)max求：平面应力状态的主应力求：平面应力状态的主应力1 1、、2 2 、、 3 3和最大切应力和最大切应力maxO300 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析100(MPa)求：平面应力状态的主应力求：平面应力状态的主应力1 1、、2 2 、、 3 3和最大切应力和最大切应力maxmax作为三向应力状态的特例作为三向应力状态的特例平面应力状态特点平面应力状态特点 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析可以证明三向应力状态下，过一点斜截面上的应力的极值如下： (7-7)第七章习题P253 : 7-3c, 7-5bc, （二向应力状态）  广义胡克定律，广义胡克定律， 应变能密度应变能密度 各向同性材料的各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 应变能密度应变能密度 各向同性材料的各向同性材料的 广义胡克定律广义胡克定律  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度1 1、横向变形与泊松比、横向变形与泊松比--------泊松比泊松比泊松比泊松比  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度yx2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法－叠加法  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度yyzzxx  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度3 3、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 应变能密度应变能密度  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度1、微元应变能、微元应变能(Strain Energy)d dy yd dx xd dz z  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度d dW W = =  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度2 2、应变能密度、应变能密度(Strain-Energy Density)(Strain-Energy Density)  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度3 3、体积改变能密度与形状改变能密度、体积改变能密度与形状改变能密度+  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度: Strain-Energy Density Corresponding : Strain-Energy Density Corresponding to the Distortionto the Distortion: Strain-Energy Density Corresponding : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volumeto the Change of Volume  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度  广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律，应变能密度 重要应用实例重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态承受内压薄壁容器任意点的应力状态l 重要应用实例重要应用实例Ｄpts sms ss sm = ?s st = ?mm 重要应用实例重要应用实例Ｄpmm 重要应用实例重要应用实例Ｄpttt (2  l )ppDl 重要应用实例重要应用实例lts sms s 结论与讨论结论与讨论1 1、、关于应力和应力状态的几关于应力和应力状态的几点重要结论点重要结论 应力的点的概念应力的点的概念; ; 应力的面的概念应力的面的概念; ; 应力状态的概念应力状态的概念. .变形体力学变形体力学基基 础础 结论与讨论结论与讨论  怎样证明怎样证明A－－A截截面上各点的应力状态面上各点的应力状态不会完全相同。

不会完全相同2 2、平衡方法是分析一点处应力状态、平衡方法是分析一点处应力状态 最重要、最基本的方法最重要、最基本的方法AA  论证论证A－－A截面上截面上必然存在切应力，而必然存在切应力，而且是非均匀分布的；且是非均匀分布的； 结论与讨论结论与讨论AA 结论与讨论结论与讨论关于关于A点的应力状态有多种答案、请用点的应力状态有多种答案、请用 平衡的概念分析哪一种是正确的平衡的概念分析哪一种是正确的3 3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要 手段，求解较为复杂的应力状态问题手段，求解较为复杂的应力状态问题ＣAB怎样确定怎样确定C点处的主应力点处的主应力 结论与讨论结论与讨论2 2s2 2s4 4、一点处的应力状态有不同的、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最表示方法，而用主应力表示最为重要为重要请分析图示请分析图示 4 种应力状态中，哪几种是等种应力状态中，哪几种是等价的价的045ｏ 结论与讨论结论与讨论0 0 0 0 45ｏ0 0 5 5、注意区分面内最大切应力与所、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力－一点处有方向面中的最大切应力－一点处的最大切应力的最大切应力 结论与讨论结论与讨论6 6、正确应用广义胡克定律－某一方向的正、正确应用广义胡克定律－某一方向的正 应变不仅与这一方向的正应力有关应变不仅与这一方向的正应力有关 承受内压的容器，怎样从表面一点处承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚或间接测试其壁厚. . 结论与讨论结论与讨论ε45例例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：t txyA13材料的破坏形式材料的破坏形式n不同材料在不同应力状态下，可能出现不同的破坏现象n金属材料同时具有两种极限抵抗能力：抵抗脆性断裂的极限抗力用b表示抵抗塑性屈服的极限抗力用s表示1. 材料破坏的基本形式：材料破坏的基本形式：脆性材料（如铸铁）通常发生脆性断裂脆性断裂塑性材料（如低碳钢）通常发生塑性屈服塑性屈服2. 应力状态对破坏形式的影响：应力状态对破坏形式的影响：脆性材料在三向压缩时也可能因屈服而破坏塑性材料在三向拉伸时也可能因而脆性断裂而破坏§7-10 强度理论强度理论 Strength theories 1. 强度理论的概念强度理论的概念强度理论强度理论是关于材料在复杂应力状态下强度失效原因的理论失效失效 Failure : 屈服屈服Yielding.　　 断裂断裂 Fracture.n简单应力状态的强度条件是直接以实验为基础的 单向应力状态： 纯剪切：问题：图示单元体能否用上述判据来校核呢？n复杂应力状态下，不可能在各种复杂应力状态进行无穷多组实验只有借助于理论，用简单实验的结果去建立复杂应力状态的强度。

强度理论回答：强度理论回答：（1）什么因素促使材料强度失效？ （2）强度条件是什么？假说实验证实就成为理论目前还没有万能理论强度理论依它所解释的失效是断裂还是屈服分为两大类关于断裂的理论有第一、第二强度理论关于屈服有第三、第四强度理论还有基于实验的莫尔理论2 . 常用强度理论常用强度理论 Usual strength theories (1)第一强度理论－最大拉应力理论第一强度理论－最大拉应力理论 Maximum tensile stress theory 意大利G. Galilo (1564-1642) 就做过简单的强度实验通常认为该理论主要归功于著名的英国教育家 W. J. M. Rankine (1820-72)，称为Rankine’s Theoryn认为引起材料断裂的原因认为引起材料断裂的原因是max = 1三向应力状态时当1达到某极限值 Critical Value时就断裂该值可由任何应力状态下实验求得特别，可在简单拉伸实验下求得n强度条件：强度条件：实验证明：实验证明：铸铁等材料在单向拉伸时于横截面断裂；扭转时于45面上断裂等均与实验符合。

后修正为最大拉应力理论缺点：缺点：未计及2，3 的影响无拉应力时无法应用 (2)第二强度理论－最大线应变理论第二强度理论－最大线应变理论Maximum strain theory最早由著名物理学家 Mariotto (1682) 提出该理论常认为由法国著名弹性理论专家 B. de Saint Venant (1797-1886)所创立称为St.Venant’s Theory圣维南是针对屈服失效提出的，后人用于断裂并修正为最大伸长应变理论n认为引起材料强度失效的原因认为引起材料强度失效的原因是 max = 1三向应力状态时，当 1 达到某极限时就失效n强度条件：强度条件：实验证明：实验证明：作为屈服失效理论是错误的长期被使用是由于St. Venant 的名气作为断裂失效理论：可解释单向和拉－压（较大）二向应力的某些实验结果缺点：缺点：不能解释许多实验结果该理论实际上已经不用 (3) 第三强度理论－最大剪应力理论第三强度理论－最大剪应力理论 Maximum shearing stress theory最初由C. A. Coulumb 1773年提出，后来，1868年H. Tresca 在法国科学院发表了他的论文：“金属在高压下的流动”。

现在该理论常用他的名字，称为 Tresca 屈服条件n认为引起材料屈服的原因认为引起材料屈服的原因是max 当max 达到某极限时材料就发生屈服n强度条件：强度条件：实验证明：实验证明：较好地解释了屈服现象，与塑性材料二向应力实验符合较好，且偏于安全缺点：缺点：未计及2 (4)第四强度理论－最大形状改变比能理论第四强度理论－最大形状改变比能理论 Maximum distortion energy theory 意大利 E. Beltrami 1885年提出最大应变能理论它不能解释三向等压情况下的实验波兰学者 M.T. Huber 1904 年将其修正为最大形状改变比能理论 ；后来进一步由德国R. von Mises (1913)和美国 H. Hencky (1925) 所发展和解释这个广泛应用的理论常称为 Huber-Hencky-Mises 屈服条件或简称为 von Mises 屈服条件屈服条件其实早在1865年，J. C. Maxwell在写信给W. Thomson 时就已经提出最大形状改变比能理论的思想在他的信件被发表后才为人们所知道n认为引起材料屈服的原因是认为引起材料屈服的原因是uf 。

当 uf 达到某极限时材料就会因屈服而失效n强度条件：强度条件：实验证明：实验证明：很好地解释了屈服现象，与塑性材料二向应力实验符合很好强度理论的应用强度理论的应用 Application of strength theoriesn应用强度理论时要注意的问题应用强度理论时要注意的问题 四种强度理论与实验结果的比较：见图强度理论的应用：强度理论的应用：一般情况下1. 铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料 可以用第一或莫尔理论2. 碳钢、铝、铜等塑性材料可以用第三、 第四强度理论n材料的划分是有条件的（常温、静载、单向受力）即使同一材料，在不同应力状态下，也可能发生不同形式的失效特殊情况：3. 塑性材料接近三向等拉时，可以因为拉断而失效剪应力很小，不可能 屈服宜用第一强度理论如螺纹根部4. 脆性材料接近三向等压时，可以因为屈服而失效无拉应力不可能拉断宜用第三或第四强度理论如滚珠轴承 n应用举例应用举例: P247 例例 7.11 P248例例 7.12 第七章习题第七章习题P264：：7.32，，7.36, 7.37（强度理论）（强度理论） 第八章第八章 组合变形杆件的强度组合变形杆件的强度 Compound Stresses§8-1 引言引言 叠加原理叠加原理 Principle of superpositionn两种以上 基本变形的组合情况 称为组合变形组合变形。

关键关键（1）基本变形公式的应用范围 （2）叠加原理将组合变形情况分解为几种基本变形，然后叠加各基本变形的内力、应力、位移和应变，即可以求得组合变形的相应解答n基本变形的应用范围：基本变形的应用范围：拉压：外力过截面形心，且平行于轴线，截面形状任意扭转：外扭矩的作用面垂直于轴线截面为圆形弯曲：（1）中性轴过形心 （2）外力作用于主惯性平面，且垂直于轴线 （3）外力过剪心 拉压、扭转、弯曲等重要公式拉压、扭转、弯曲等重要公式(空心横截面) 叠加原理前提：（1）材料服从虎克定律属于物理线性2）小变形情况，初始尺寸原理成立属于几何线性在上述前提下内力、应力、变形、位移与外力是线性关系其控制方程是线性（代数、微分、积分）方程其解可以叠加 §8-2 拉弯组合拉弯组合 Compound stresses caused by an axial force and bending moments对于矩形截面和短粗杆P268，有 (８-1) 例 8-1 P264.压弯组合。

例 8-2 P266.拉弯组合 §8.4 §8.4 弯扭组合弯扭组合 Compound stresses caused by a torque and a bending moment图示轴同时受弯曲和扭转，危险截面在A处危险点在a 点，单元体上的应力为代入(7-4), 得代入第三或第四强度理论公式得：(a)以(a)代入上式得：例例, 已知传递功率K (kW), 转速n (r/min) 及 a, l, R, r, []等, 校核轴是否安全.解解：(1)计算简图、外力 (2)内力、内力图、找危险截面.危险截面在C处： (3)应力图、危险点、强度条件.例 8-5 P274, 齿轮轴.第八章习题第八章习题P283：：8.6；8.12 ； 8.13 ； 8.16 ； 8.17 ； 8.24第九章第九章　　压杆的稳定压杆的稳定 Stability of Columns 稳定性问题稳定性问题 来自工程实践破坏的突然性：破坏的突然性：加拿大奎贝克桥1907、1916两次失事瑞士孟汉希太因桥1896之破坏，200人丧生 当人们采用各种方法节约材料时, 会遇到细长或薄壁构件. 在一定载荷作用下, 将出现另一种失效形式：失去平衡的稳定性.主要矛盾转化：主要矛盾转化：从强度失效到稳定失效. 一定条件下，将出现各种形式的失稳现象.受压之杆：由细变长. 受剪之板：由厚变薄。

受扭圆筒：由厚变薄. 受压圆筒：J由小变大. 受弯之梁：J由小变大. 甚至受拉之轴：由细变长.本章讨论本章讨论: 压杆稳定性概念; 压杆临界力的计算方法;压杆的安全校核. §9-1　　稳定性的概念稳定性的概念 Conception of stability构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳定平衡和临界平衡判断平衡是否稳定，必须加干扰干扰稳定平衡：稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形状下的平衡不稳平衡：不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形状下的平衡临界平衡：临界平衡：临界情况以细长压杆为例，若为理想直杆中心受压即假设：(1)杆是绝对直杆，无初曲率2)外力P绝对通过轴线，无偏心3)材料绝对均匀则在外力 P 的作用下, P 无论有多大, 也没有理由往旁边弯曲 设杆受到干扰而弯曲, 则任意横截面上, 有两种弯矩在抗衡： MW = -Py使杆继续弯曲. M = EIy”使杆回弹.若 MW < M , 则杆在原来形状下的平衡是稳定的平衡是稳定的.若 MW > M , 杆将继续弯曲, 杆在原来形状下的平衡平衡 是不稳定的是不稳定的. (当压力为P’时)若 MW = M, 或 EIy”= -Pcry 时, 杆件处临界平衡状态临界平衡状态. 当 P < Pcr, 杆件只存在一种可能的平衡形式, 即直线的平衡形式.当 P = P’ > Pcr, 杆件存在两种可能的平衡形式, 即直线的(E点)和曲线的(F点)平衡形式, 但是直线的平衡形式是不稳定的. 在外界干扰下, 将转变到F点而达到曲线形式的平衡. 这种现象称为“平衡形式的分叉”, 在P – f 图上由直线段和曲线段所表征. 压杆从直线平衡形式到曲线平衡形式的转变称为“失稳失稳”或“屈曲屈曲”.稳定的直线平衡形式和不稳定的平衡形式之间的分界点(P–f图中的B点), 称为临界临界点点. 因为在临界点之后发生平衡形式的分叉, 又称为分叉点分叉点.由此得到 Euler 方程. 利用它可以求出临界压力 Pcr.稳定条件：稳定条件： P < Pcr/ ncr.或工作安全系数应该大于或等于规定的稳定安全系数稳定安全系数n = Pcr / P  ncr.§9-2 细长杆的临界力，细长杆的临界力，Euler公式公式 Euler's formula 临界平衡时： EIy”=  Pcry通解：边界条件：边界条件：齐次代数方程有非零解齐次代数方程有非零解的充分必要条件充分必要条件为：n = 1时，使Pcr为最小值。

这就是有名的 Euler 公式n从物理上看：从物理上看：已知曲线形状的平衡，反求 Pcr， 这属于大位移问题n从数学上看：从数学上看：为特征值问题 characteristic value problems即求齐次微分方程在齐次边界条件下k =? 时有非零解例如，求振动的固有频率、求稳定问题的临界值、求主应力、主应变和主惯性轴等等，都是特征值问题n应用范围：应用范围：（1）  p （2）小变形否则 .进一步分析指出，有偏心时，上述临界值仍然正确§9.3 其他常见支座形式下细长压杆的临界压力其他常见支座形式下细长压杆的临界压力 Critical values for columns with other end restraints 各种支座情况下的临界压力为： l为相当长度 effective length.  为长度系数 effective length factor. 见表9-1 例例 9-2 P297.表９表９-1 压杆的约束条件长度系数两端铰支 = 1一端固定，一端自由 = 2两端固定 =1/2一端固定一端铰支 = 0.7§9-4 临界应力与柔度临界应力与柔度Critical stress and slenderness ratio, three kinds of columns Euler公式的适用范围是：  p大柔度杆大柔度杆,   p, 用Euler公式： 临界应力总图临界应力总图 中柔度杆中柔度杆, s    p, 用经验公式：小柔度杆小柔度杆,   s, 按强度校核.A3钢的 p 近似为100.§9-5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 Design of columns 工作安全系数不小于规定的安全系数例例 9-4. P303, 例例 9-5. P304. §9-5 提高压杆承载能力的措施提高压杆承载能力的措施 Measurements for raising the carrying capacity of columns （1）选择合理截面形状：加大J和i。

使各个方向  相等2）改变杆的约束条件：加中间支座、改为固定端3）合理选择材料：大柔度杆临界压力与材料无关中柔度杆临界压力与材料有关采用优质钢可以提高临界压力 第九章习题第九章习题 P310：：9.3；； 9.4；；9.9；；9.10；；9.15 第十一章第十一章 交变应力交变应力§11.1 交变应力与疲劳失效交变应力与疲劳失效 fatigue limit1. 交变应力的类型交变应力的类型最大应力 max, 最小应力 min.应力幅度Stress Range: 平均应力average stress: 循环特征（应力比） cyclic characteristic：：1. 对称循环: symmetrical cycle: r = –1, 火车轴2. 脉动循环: impulse cycle: r = 0，齿轮根部3. 静载荷: static load: r = +14. 非对称循环: asymmetrical cycle: r，振动梁 §11.2 §11.2 疲劳破坏的特点，疲劳极限疲劳破坏的特点，疲劳极限交变应力：交变应力：随时间作周期性变化的应力。

疲劳失效的特点疲劳失效的特点 fatigue failure:（1）交变应力下，应力小于屈服极限塑性材料也可能出现突然性的脆性断裂2）当时不坏，过后坏即经过一定循环次数之后才破坏破坏具有延迟性3）断口分为光滑区和粗糙区过去错误解释：过去错误解释：交变应力下，材料发生疲劳蜕化 crystallization ，由纤维状组织蜕化为颗粒状组织现代解释：现代解释：只有扬弃均匀、连续假设，才能正确解释尽管基于该假设计算出的应力小于屈服极限，但是个别晶粒却可能超过破坏是由于裂纹的发生、扩展最后断裂裂纹的发生是由于个别晶粒强化使其应力增加；个别晶粒松动使其强度降低n交变应力下，局部强度上升为主要矛盾一切提高局部强度的措施都将提高持久极限薄弱环节决定了构件的强度正因为个性太强，疲劳问题的计算目前仍主要依赖于实验 §11.3试件的疲劳极限 Fatigue limit n光滑小试件：d = 7~10 mm. 每组10根. n疲劳极限疲劳极限 fatigue limit: 试件可以经受无限次循环而不发生疲劳破坏的max 的最高限.n循环基数循环基数: : N0 = 107.n有色金属无明显水平渐近线, 常取N0 = 108对应的max 作为名义疲劳极限名义疲劳极限. §11.4影响疲劳极限的主要因素影响疲劳极限的主要因素 factors affecting the fatigue limit 影响疲劳极限的因素影响疲劳极限的因素: : 任何影响局部强度的因素都将影响疲劳极限。

1）应力集中系数 有效应力集中系数 effective stress concentration factor: k  1, k  1.（2）尺寸系数 size factor:   1,   1.（3）表面质量系数 surface finish factor:   1.表面处理可以提高持久极限.对称循环下构件的疲劳计算对称循环下构件的疲劳计算 Fatigue limit of members subjected to symmetrical cyclic stresses §11.10 提高构件疲劳强度的措施提高构件疲劳强度的措施 Measurements for raising fatigue strength关键在于加强薄弱环节的强度, 降低薄弱环节的应力集中.（1）减缓应力集中：减缓应力集中：加大圆角半径, 降低刚度差.（2）降低表面粗糙度：降低表面粗糙度：加强薄弱环节. 高强度钢对表面质量更敏感. 任何刻痕均为应力集中的根源.（3）增加表层强度增加表层强度: 高频淬火, 渗碳, 渗氮, 表面滚压, 喷丸.§11.11 断裂韧度断裂韧度* Fracture toughnessn部分扬弃连续性假设，就出来一门新学科－断裂力学。

断裂力学低应力脆性断裂事故的原因在于裂纹的发生和扩展裂纹尖端的应力具有奇异性：应力强度因子应力强度因子 Stress Intensity Factor KI断裂准则：断裂准则：一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法第十二章第十二章 能量法能量法§12–1 §12–1 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式2.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计QMNMTAAPNBj jT例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移解：用能量法（外力功等于应变能）①①求内力APR③③外力功等于应变能②②变形能：例例2 用能量法求C点的挠度。

梁为等截面直梁解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf§12–2 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)求任意点A的位移f A 一、定理的证明：一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P =1q(x)fA图b A=1P0 莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) )二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项：④④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立⑤⑤莫尔积分必须遍及整个结构②② M0——去掉主动力，在所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力①① M(x)：结构在原载荷下的内力③③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角梁为等截面直梁解：①①画单位载荷图②②求内力BAaaCqBAaaC0P =1x③③变形BAaaC0P =1BAaaCqx④④求转角，重建坐标系（如图） qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()( )()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。

解：①①画单位载荷图②②求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P0③③变形§12–3 卡氏定理卡氏定理给Pn 以增量 dPn ，则：1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn ，则：一、定理证明一、定理证明 d dn再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则： d dnn= =nPU¶ ¶¶ ¶d d第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 1847～1884)二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：①①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能②② Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数③③  n n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形④④ 当无与  n n对应的 Pn 时，先加一沿  n n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零d dn三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。

③③变形①①求内力解：求挠度，建坐标系②②将内力对PA求偏导ALPEIxO 求转角  A①①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之负号”说明 A与所加广义力MA反向②②将内力对MA求偏导后，令M A=0③③求变形（ 注意：M A=0）LxO APMA例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x）①①求内力②②将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之PALxBPx CfxOx1③③变形（ 注意：Px=0）例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度②②求内力解：1.依 求多余反力，③③将内力对RC求偏导①①取静定基如图PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC④④变形2.求②②将内力对P求偏导①①求内力③③变形③③变形解：①①画单位载荷图②②求内力例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离PPAB11。