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1、概率的概念概率的概念古典概型古典概型几何概型几何概型概率的公理化定义概率的公理化定义第二章第二章 事件的概率事件的概率频率频率：设设A A为随机试验为随机试验E E的任一事件，相同的条件下的任一事件，相同的条件下重复重复n n次，用次，用nAnA表示事件表示事件A A在在n n次试验中出现的次数，次试验中出现的次数，称比值称比值fn(A)=nA/nfn(A)=nA/n为为A A在在n n次试验中出现次试验中出现的的频率频率2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率实 验者次数n正面向上(m)频率(f =m/n)蒲 丰404020480.5070皮尔逊1200060190.5016皮尔逊
2、24000120120.5005概率概率: : 随机试验中随机试验中, ,事件事件A A出现的可能性大小出现的可能性大小, ,记为记为P(A).P(A).例如例如: :反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率 频率在一定程度上反映了事件发生的可频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小能性大小. . 尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n n次）试验，次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要所得到的频率可以各不相同，但只要 n n相当相当大，频率与概率是会非常接近的
3、大，频率与概率是会非常接近的. . 因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的, , 频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似. .1.1.非负性非负性 0P(A) 10P(A) 12.2.规范性规范性 P(P()=1)=13.3.有限可加性有限可加性 若若A A1 1， A A2 2 ，A A3 3 ，A An n互互斥，则斥，则 即有限个互不相容的事件的和事件即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和的概率等于这些事件的概率之和2.1 2.1 概率的概念概率的概念二二 概率的性质概率的性质公理代定义可以直接推出的性质1)证：令由概率的可加性（3.1
4、）得而实数2)证：令由条件（iii）3)证:因4)5)若若随机实验若随机实验E E有如下特征：有如下特征：1.1.有限性有限性：试验的可能结果只有有限个：试验的可能结果只有有限个 样本空间样本空间 1 1, , 2 2 , , , , n n ; ;2.2.等可能性等可能性: :各个可能结果出现是等可能的各个可能结果出现是等可能的 P(P(1 1)=P()=P(2 2)=)=P(=P(n n). ). 则称这种实验为则称这种实验为古典概型古典概型2.2 2.2 古典概型古典概型一一 古典概型古典概型 设有一个古典型试验设有一个古典型试验, ,其样本空间为其样本空间为, , 1 1, , 2 2
5、 , , , , n n 而事件而事件A A是由是由中的中的k(kn)k(kn)个个( (也称为有利也称为有利于于A A的样本点的样本点) )不同的基本事件所组成不同的基本事件所组成, ,则则A A的的概率为概率为: : 2.2 2.2 古典概型古典概型二二 古典概型概率的计算公式古典概型概率的计算公式2.2 2.2 古典概型古典概型三三 古典概型概率的性质古典概型概率的性质(1)非负性非负性: :对任意事件对任意事件A,A,有有 0 0 P(A)P(A) 1 1；(2)(2)规范性规范性: :必然事件概率等于必然事件概率等于1,1,不可能事件的不可能事件的 概率等于概率等于0 0 P( P(
6、 ) )1 1； P(P( )=0)=0(3)(3)可加性可加性: :如果事件如果事件A A与与B B互不相容互不相容, ,即即ABAB ， P(AP(A B)B)P(A)P(A)P(B)P(B)非负性与规范性非负性与规范性 对任意事件对任意事件A,A,有有0 0 P(A)P(A) 1 1；证证: :对任意事件对任意事件A,A,以以k kA A表示它所包含的基本事件数，表示它所包含的基本事件数，n n表示基本事件总数，则对于任意事件表示基本事件总数，则对于任意事件A A，有，有 0k0kA An n 或或 0k0kA A/n 1/n 1故故 0P(A)=k0P(A)=kA A/n n/n =
7、1/n n/n = 1即即 0P(A)10P(A)1特别地：特别地： P(P()= n/n =1)= n/n =1， P P( ( )= 0/n =0)= 0/n =0可加性可加性 如果事件如果事件A A与与B B互不相容互不相容, ,即即ABAB ， P(AP(A B)B)P(A)P(A)P(B)P(B)证证: : 设设 A A含含k k1 1个基本事件：个基本事件：1 1(1)(1), , 2 2(1)(1), , k1k1(1)(1) B B含含k k2 2个基本事件：个基本事件：1 1(2)(2), , 2 2(2)(2), , k2k2(2)(2) 即即 A=A=1 1(1)(1),
8、 , 2 2(1)(1), , k2k2(1)(1) B= B=1 1(2)(2), , 2 2(2)(2), , k2k2(2)(2) 由定义由定义 P(A)= P(A)= k k1 1/n, /n, P(B)= P(B)= k k2 2/n/n 又由于又由于A AB B AB=AB=1 1(1)(1), , 2 2(1)(1), , k2k2(1) (1) , , 1 1(2)(2), , 2 2(2)(2), , k2k2(2)(2) AB AB 中含有中含有k k1 1 +k+k2 2个基本事件个基本事件 p(AB)=(kp(AB)=(k1 1 +k+k2 2)/n= k)/n= k1
9、 1/n+k/n+k2 2/n=/n=P(A)P(A)P(B)P(B)解解: :设设A-A-至少有一个男孩至少有一个男孩, ,以以H H表示某个孩子是男孩表示某个孩子是男孩例例: :有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,设每个孩子是男是女的概率设每个孩子是男是女的概率相等相等, ,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少? ?N(N()=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,T
10、TH,THT2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算(1) 1) 判断试验为古典试验判断试验为古典试验, , 即即基本事件总数为有限基本事件总数为有限个个, , 且且各基本事件出现的可能性相同。各基本事件出现的可能性相同。(2) (2) 计算样本空间中样本点的个数计算样本空间中样本点的个数n n ; ;(3) (3) 计算事件计算事件A A 包含样本点的个数包含样本点的个数m m ; ;(4) (4) 由由P P( (A A)=)=m m/ /n n 计算事件计算事件A A 的概率的概率。古典概型的概率计算步骤古典概型的概率计算步骤：基本记数原理基本记数原理 设有设有
11、m m个试验，第个试验，第1 1个试验有个试验有n n种可能结果，种可能结果， 对于第对于第i(2i n)i(2i n)次试验，前次试验，前i-1i-1个试验的个试验的每一种可能结果，都使第每一种可能结果，都使第i i个试验有个试验有n ni i种可种可能的结果，则能的结果，则m m个试验共有个试验共有 n n1 1n n2 2n nm m 种可能的结果种可能的结果排列与组合排列与组合2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算加法公式：加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途设完成一件事可有两种途径，
12、第一种途径有径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方法，则完成这种方法，则完成这件事共有件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。则从甲城市到乙城市一共有：则从甲城市到乙城市一共有：24= 6 条线路条线路 ：2 ：4城市甲城市甲城市乙城市乙复习：排列与组合的基本概念复习：排列与组合的基本概念2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算乘法公式：乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步设完成一件事需分两步，第一步有有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件种方法，则完成这件事共有事共有n n1 1n n2
13、2种方法种方法n1n2 ：2 ：4 ：3城市甲城市甲城市乙城市乙乡村丙乡村丙 2 3从甲城市到丙乡村的线路从甲城市到丙乡村的线路一共有：一共有：(2+4+3) (2+3) 条。条。2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算有重复排列有重复排列：从含有：从含有n n个元素的集合中随机抽个元素的集合中随机抽取取k k次，每次取一个，记录其结果后放回，将次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，记录结果排成一列，共有共有n nk k种排列方式种排列方式. .n n n n n nn n2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算无重复排列无重
14、复排列：从含有：从含有n n个元素的集合中随机抽个元素的集合中随机抽取取k k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，素排成一列，共有共有P Pn nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. .n n n-1n-1n-2n-2n-k+1n-k+12.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算组合：组合：从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，个，共有共有种取法种取法.例例1:1:在盒子中在盒子中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从中任个红球，现从中任抽
15、抽2 2个个球，求球，求:(1):(1)取到两个球都是白的概率；取到两个球都是白的概率；(2)(2)取到一红一白的概率。取到一红一白的概率。解解: :设设 A=A=取到两个球都是白的取到两个球都是白的 B= B=取到两球一白一红取到两球一白一红 基本事件总数为基本事件总数为 A A的有利事件数为的有利事件数为B B的有利事件数为的有利事件数为2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽球问题例例2 2：设有批量为设有批量为100100的同型号产品，其中次品有的同型号产品，其中次品有3030件，件，现按以下两种方式随机抽取现按以下两种方式随机
16、抽取2 2件产品件产品. . (a) (a)有放回抽取；有放回抽取；(b)(b)无放回抽取无放回抽取. .求求(1)(1)两件都是次品两件都是次品的概率；的概率；(2)(2)第第1 1件是次品，第件是次品，第2 2件是正品的概率件是正品的概率. .解：解：设设 A=A=两件都是次品两件都是次品 B= B=第第1 1件是次品，第件是次品，第2 2件是正品件是正品 (a) (a) 样本点总数为样本点总数为 n=100n=100100100 有利于有利于A A的样本点数的样本点数 k kA A=30=303030 p(A)=k p(A)=kA A/n=0.09/n=0.09 有利于有利于B B的样本
17、点数的样本点数 k kB B=30=307070 p(B)=k p(B)=kB B/n=0.21/n=0.212.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽球问题(b)(b) 样本点总数为样本点总数为 n=100n=1009999 有利于有利于A A的样本点数的样本点数 k kA A=30=302929 p(A)=k p(A)=kA A/n=0.088/n=0.088 有利于有利于B B的样本点数的样本点数 k kB B=30=307070 p(A)=k p(A)=kB B/n=0.21/n=0.212.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典
18、概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽球问题2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽球问题 盒中有盒中有N N个球，其中有个球，其中有M M个白球，现从中任个白球，现从中任抽抽n n个个球，则这球，则这n n个个球中恰有球中恰有k k个白球的概率是个白球的概率是注：在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农注：在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际
19、背景。更加突出，而不必过多的交代实际背景。例例3 3：某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为：某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为6 6或或8.8.求求(1)(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的六位随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率数的概率;(2);(2)随机抽取的电话号码末位数是随机抽取的电话号码末位数是8 8的概率的概率. .解解: :记记 A=A=随机抽取的一个电话号码为不重复的六位随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率数的概率 B= B=随机抽取的电话号码末位数是随机抽取的电话号码末位数是8 8的概率的概率 样本点总数为样本点总数为 n=2n=210105 5
20、有利于有利于A A的样本点数的样本点数 k kA A=2=29 98 87 76 65 5 p(A)=k p(A)=kA A/n=0.1512/n=0.1512 有利于有利于B B的样本点数的样本点数 k kB B=2=210104 41 1 p(B)=k p(B)=kB B/n=0.1/n=0.12.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题2 2随机取数随机取数2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题2 2随机取数随机取数例例4:4:从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个,
21、 , (1) (1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率整除的概率 (2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率 (3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:N(:N()=200,)=200, N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为: 33/200,1/8,1/2533/200,1/8,1/25例例5:5:一位常饮牛奶加
22、茶的女士称：她能从一杯一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯充好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，充好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在并且她在1010次试验中都能正确地辨别出来，次试验中都能正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？问该女士的说法是否可信？解：样本空间为解：样本空间为 n=2n=21010 A=10 A=10次试验中都能正确地辨别次试验中都能正确地辨别 P(A)=1/n=0.0009766 P(A)=1/n=0.00097662.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题3 3品茶问题品茶问题例例6:6:设某超市有奖销售，投放设某超市有
23、奖销售，投放n n张奖券只有张奖券只有1 1张有奖，每张有奖，每位顾客可抽位顾客可抽1 1张，求第张，求第K K位顾客中奖的概率（位顾客中奖的概率（1 k 1 k n n）解：记解：记A=A=第第K K位顾客中奖位顾客中奖 到第到第K K个顾客为止试验的样本点数为个顾客为止试验的样本点数为 n n(n-1) (n-1) (n-k+1)(n-k+1) 有利于有利于A A的样本点数为的样本点数为 (n-1) (n-1) (n-k+1) (n-k+1) 1 12.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题4 4抽奖问题抽奖问题 例例 7 7 （分球入盒）（分球入盒
24、） 将将 n n 只球随机的放入只球随机的放入 N N ( (N N n n) ) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率( (设设盒子的容量不限）。盒子的容量不限）。解：解： 将将 n n 只球放入只球放入 N N 个盒子中去个盒子中去, , 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题有趣的数学模型：假设每人的生日在一年的365天中的任一天的概率是等可能的，即都等于
25、1/365，那么随机选取n(365)个人，他们的生日各不相同的概率为因而，n个人中至少有两个人生日相同的概率为P=1-经计算可得下述结果：在仅有50人的班级里，“至少两个人生日相同”这件事的概率与1相差无几n202330405064100P0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.999997几何概型：几何概型：1.试验的可能结果可以为无限个2.各个可能结果出现是等可能的几何概型的计算公式几何概型的计算公式2.3 2.3 几何概型几何概型一一 几何概型几何概型例例3.3.某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起，每隔时起，每隔15min15min来一来一
26、趟车，一乘客在趟车，一乘客在7 7：0000到到7 7：3030之间随机到达该之间随机到达该车站，求车站，求 （1 1）该乘客等候不到）该乘客等候不到5min5min乘上车的乘上车的概率；（概率；（2 2）该乘客等候时间超过）该乘客等候时间超过10min10min才乘上才乘上车的概率车的概率. .解：解：=7=7：0000T T 7:30,7:30, S SA A=7:10 =7:10 T T 7:157:15或或7 7：2525T T 7:307:30， S SB B=7:00 =7:00 T T 7:057:05或或7 7：1515T T 7:20. 7:20. 如将如将T T的单位化为分
27、钟，则有的单位化为分钟，则有l ll=30,lSl=30,l=30,lSl=30, 因此因此 P(A)= P(B)=1/30.333P(A)= P(B)=1/30.3332.3 2.3 几何概型几何概型一一 几何概型几何概型2.3 2.3 几何概型几何概型一一 几何概型几何概型例例4 4 桌面上划有一族等距的平行线，每相邻两条线之间的桌面上划有一族等距的平行线，每相邻两条线之间的距离为距离为d d，今将一根长为，今将一根长为l(l(d)d)的针随机地投向该桌面，的针随机地投向该桌面，求针与其中一条平行线相交的概率求针与其中一条平行线相交的概率pMxdosQxOSAd/2解：设解：设o o表示针
28、的中点表示针的中点,x,x表示针的中点表示针的中点与最近一条平行线的距离，与最近一条平行线的距离，表示针与表示针与直线直线OMOM的交角，有的交角，有 0xd/2, 0 0xd/2, 0 /2/2可以确定，可以确定，x, x, 平面上的一个矩形平面上的一个矩形=(x, =(x, )l 0xd/2,0 )l 0xd/2,0 /2/2为了使针与平行线相交，其条件为为了使针与平行线相交，其条件为由等可能性知由等可能性知 设设E E是随机试验是随机试验, , 是样本空间是样本空间, ,对对E E的每一个随的每一个随机事件机事件A,A,定义一个实值函数定义一个实值函数P(A),P(A),若若P(A)P(
29、A)满足满足下列条件下列条件, , 公理公理1 1（非负性）（非负性）0 P(A) 10 P(A) 1 公理公理2 2（规范性）（规范性）P(P()=1)=1 公理公理3 3（完全可加性）（完全可加性）对任意一例两两互斥事对任意一例两两互斥事件件A A1 1,A,A2 2, , , 有有 则称则称P(A) P(A) 为为事件事件A A的概率的概率2.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义一一 定义定义性质性质1 1 P( P( )=0)=0性质性质2 2 P( P()=1- P()=1- P(A A) ) 证：因为证：因为 A A= = 且且 A A= = 由定义中的规范性知由定义中的规
30、范性知 P(AP(A)=P()=P()=1)=1 又由完全可加性知又由完全可加性知 P(AP(A)= P()= P()+P()+P(A A)=1)=1 所以所以 P(P()=1- P()=1- P(A A) )2.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义二二 性质性质性质性质3 3 若若A A B B，则，则P(B-A)=P(B)-P(A)P(B-A)=P(B)-P(A)且且P(A)P(A)P(B)P(B) 证：当证：当A A B B时，有时，有 B=AB=A(B-A)(B-A) 且且 A(B-A)=A(B-A)= 由完全可加性知由完全可加性知 P(B)=PP(B)=PA A(B-A)(B
31、-A)=P(A)+P=P(A)+P(B-A)(B-A) 即即 P(B-A)=P(B)-P(A)P(B-A)=P(B)-P(A) 又又 P(B-A)P(B-A)0 0 于是于是 P(B)P(B)P(A)P(A)2.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义二二 性质性质P(B-A)= P(B-AB)=P(B)-P(AB)性质性质4 4 P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB) 证：因证：因 A AB=AB=A(B-AB)(B-AB) 且且 A A(B-AB)= (B-AB)= 因而因而 P(AP(AB)=P(AB)=P(A(B-AB)=P(A)+P(
32、B-AB)(B-AB)=P(A)+P(B-AB) 又因为又因为 ABAB B B P(B-AB)= P(B)-P(AB) P(B-AB)= P(B)-P(AB) 故故 P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB)注：注： 一般情况有下一般情况有下 P(AP(AB)B)P(A)+P(B)P(A)+P(B) 2.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义二二 性质性质例例5 5 已知已知P(A)=0.9, P(B)=0.8,P(A)=0.9, P(B)=0.8, 试证试证P(AB) P(AB) 0.70.7证：由证：由 P(AP(AB)=P(A)+P(B)
33、-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB) 知知 P(AB)= P(A)+P(B)- P(AP(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)B) P(A)+P(B)-1P(A)+P(B)-1 =0.9+0.8-1 =0.9+0.8-1 =0.7 =0.72.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义例例6 6（生日问题）设一年有（生日问题）设一年有365365天，求下述天，求下述事件事件A A，B B的概率：的概率： A=nA=n个人中没有个人中没有2 2个人生日相同个人生日相同 B=n B=n个人至少有个人至少有2 2人生日在同一天人生日在同一天 解：解： 样本空间点数为样本空间点数为
34、 365365n n 有利于有利于A A的样本点数为的样本点数为 P Pn n365365 p(A)=P p(A)=Pn n365365/365/365n n B B为为 A A 的补事件的补事件 B=B= P(B)=P( P(B)=P()=1-P(A)=1-P(A) 2.4 2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义例例7 7 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率；整除的概率；（2 2）取到的数既不能被）取到的数既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率；整除的概率；（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解: :设设 A A取到的数能被取到的数能被2 2整除整除; ; B- B-取到的数能被取到的数能被3 3整除整除故故第二章第二章 课后作业课后作业习题二习题二 2，4，6，8，9，10，11
