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1、18.7 18.7 StokesStokes公式公式 环量与旋度环量与旋度一、斯托克斯一、斯托克斯( (stokes)stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则证明证明如图如图思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分121根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2空间有向曲线空间有向曲线同理可证同理可证故有结论成立故有结论成立.StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.
2、 .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形二、简单的应用二、简单的应用解解1 按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有解解2又按斯托克斯公式又按斯托克斯公式, , 有有解解则则即即应用Stokes公式：可将型空间曲线积分化为二种情况计算（）化为型曲面积分（P232例4.7.1) （）化为型曲面积分（P233例4.7.2)应用步骤： （）选定（被 所围的部分）并由 的方向指明 的侧向（）利用Stokes公式时，可将型空间曲线积分化为化为两种曲面积分，一般以计算较简便的为宜。定理：设空间开区域定理：设空间开区域G是单连通域，是单连通域，P、Q、R在在G内内具有一阶连续偏导数，则以
3、下四个命题彼此等价具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价1 在在G内与路径无关内与路径无关1.2沿沿G内任意闭曲线内任意闭曲线L的线积分的线积分2.3在在G内恒成立下列条件内恒成立下列条件 三三 空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件4被积表达式是某三元函数被积表达式是某三元函数u的全微分，即的全微分，即其中其中 , 通通常取折线路径求常取折线路径求u用下列公式计算用下列公式计算这时原函数这时原函数u u可用下列公式求出可用下列公式求出例例3 3 证明下列曲线积分与路径无关证明下列曲线积分与路径无关, ,并求积分值并求积分值解解故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.下
4、面求原函数下面求原函数u(x,y,z)所以所以三、物理意义三、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式其中其中Stokes公式的物理解释公式的物理解释:例例3 3 求下列向量场的旋度求下列向量场的旋度解解解解解解由力学知道点由力学知道点 的线速度为的线速度为观察旋度观察旋度由此可看出旋由此可看出旋度与旋转角速度与旋转角速度的关系度的关系.四、小结四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式斯托克斯公式
