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1、垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.推论：平分弦推论：平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
2、并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。三个命题三个命题命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，命题二
3、：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。求证：求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB。求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）。）。求证：求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：线来说，如果具备： 那
4、么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。三个结论。注意要点注意要点 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧1. 1. 平分已知弧平分已知弧 AB .AB .你会四等分弧你会四等分弧ABAB吗吗? ?AB 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）米，拱高（弧的中点到弦的距离）为为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半
5、径吗？问问题题？OAB 例例1 1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问问题题？OABDCr例例2 2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是是弧弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的上的一点一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,E
6、F=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径. .n解解: :连接连接OC.OC.OCDEF(1)(1)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的长的长. .OAOCABM(2)(2)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相平分互相平分, ,交点为交点为 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的长的长. .630EB（3 3）. .如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为如图，有一圆弧形桥拱
7、，拱形的半径为1010米，桥米，桥拱的跨度拱的跨度AB=16AB=16米，则拱高为米，则拱高为 米。米。ABCD4O船能过船能过拱桥吗拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水拱顶高出水面面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的米的货船要经过这里货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心
8、为O,O,半径为半径为RmRm, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是
9、2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么O O的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或964Cm练习：练习：5.在在 中
10、，、中，、AC为为互相垂直且相等互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，于，于，于于求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形1.1.在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. .若油面宽若油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度求油的最大深度. . ED 600CD在直径为在直径为650650mmmm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600AB = 600mmmm，求油的最大深度求油的最大深度. . BAO600 650DCED 600CDE小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO
