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1、专题七 概率与统计第一讲 计数原理、二项式定理一、主干知识一、主干知识1.1.两个计数原理两个计数原理: :(1)(1)分类计数原理：完成一件事有几类不同的方案，各类方案分类计数原理：完成一件事有几类不同的方案，各类方案_，每类方案中又有多种不同的方法，则完成这件事，每类方案中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法数的和的不同方法数是各类不同方法数的和. .(2)(2)分步计数原理：完成一件事需要分成几个步骤，每一步的分步计数原理：完成一件事需要分成几个步骤，每一步的完成又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是每一完成又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是每一
2、步中各种不同的方法数的步中各种不同的方法数的_._.相互独立相互独立乘积乘积2.2.排列与组合：排列与组合：排成排成组成组成二、重要公式二、重要公式( (性质性质) )1.1.排列数公式排列数公式: _: _ _(_(这里，这里，m m，nNnN* *，且，且mnmn).).2.2.组合数公式：组合数公式：(1) _(1) _=_ (=_ (这里，这里，m m，nNnN* *，且，且mnmn).).n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m+1)3.3.组合数的性质：组合数的性质： _._. _ +_. _ +_.4.4.二项式定理：二项式定理：(1)(a+b)(1)(
3、a+b)n n=_.=_.(2)(2)通项公式：通项公式：T Tr+1r+1=_.=_.1.(20131.(2013常州模拟常州模拟) )从集合从集合-1-1，1 1，2 2，33中随机选取一个数中随机选取一个数记作记作m,m,从集合从集合-1,1,2-1,1,2中随机选取一个数记作中随机选取一个数记作n n，问使方程，问使方程 表示双曲线的情况有表示双曲线的情况有_种种. .【解析解析】 表示双曲线，需表示双曲线，需m,nm,n异号，所以异号，所以m=-1m=-1时，时，n=1n=1或或n=2;m=1n=2;m=1时，时，n=-1;m=2n=-1;m=2时时,n=-1;m=3,n=-1;m=
4、3时，时，n=-1n=-1，共，共5 5种种. .故使方程故使方程 表示双曲线的情况共表示双曲线的情况共5 5种种. .答案：答案：5 52.(20122.(2012浙江高考改编浙江高考改编) )若从若从1 1，2 2，3 3，9 9这这9 9个整数中同个整数中同时取时取4 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有多少种个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有多少种? ?【解析解析】均为奇数时，有均为奇数时，有 ( (种种););均为偶数时，有均为偶数时，有 ( (种种) )；两奇两偶时，有；两奇两偶时，有 ( (种种) )，共有，共有6666种种. .3.(20133.(2013昆明模拟昆
5、明模拟) )求求 展开式中的常数项展开式中的常数项. .【解析解析】展开式的通项为展开式的通项为由由12-4k=012-4k=0，得，得k=3k=3，所以常数项为，所以常数项为所以所以 展开式中常数项为展开式中常数项为-4.-4.4.(20134.(2013安徽高考改编安徽高考改编) )若若 的展开式中的展开式中x x4 4的系数为的系数为7 7，求实数，求实数a a的值的值. .【解析解析】因为因为T Tr+1r+1= = 令令 则则r=3r=3，所以由，所以由热点考向热点考向 1 1 应用两个计数原理及排列、组合计数应用两个计数原理及排列、组合计数【典典例例1 1】(1)(1)从从5 5名
6、名志志愿愿者者中中选选派派4 4人人在在星星期期五五、星星期期六六、星星期期日日参参加加公公益益活活动动，每每人人一一天天，要要求求星星期期五五有有一一人人参参加加，星星期期六六有有两两人人参参加加，星星期期日日有有一一人人参参加加，则则不不同同的的选选派派方方法法共共有有多多少少种种? ?(2)(2013(2)(2013杭州模拟杭州模拟) )两人进行乒乓球比赛，先赢两人进行乒乓球比赛，先赢3 3局者获胜，局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形决出胜负为止，则所有可能出现的情形( (各人输赢局次的不同各人输赢局次的不同视为不同情形视为不同情形) )共有多少种共有多少种? ?(3)(201
7、3(3)(2013济南模拟济南模拟) )从从1 1，3 3，5 5，7 7，9 9中任取中任取2 2个数，从个数，从0 0，2 2，4 4，6 6中任取中任取2 2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是位是5 5的四位数从小到大排成一列，则第的四位数从小到大排成一列，则第100100个数是多少？个数是多少？【解题探究解题探究】(1)(1)本题是排列还是组合问题？需分类还是分步？本题是排列还是组合问题？需分类还是分步？提示：提示：本题是组合问题，需分步完成本题是组合问题，需分步完成. .(2)(2)所有可能出现的情形有几类情况？所有可能出现的情形有几
8、类情况？提示：提示：有三种情况，分别为：恰好打三局；恰好打四局；恰好有三种情况，分别为：恰好打三局；恰好打四局；恰好打五局打五局. .(3)(3)满足条件的四位数如何分类探求？满足条件的四位数如何分类探求？提示：提示：按形如按形如“1 15 5”“”“2 25 5”分类计数去探究分类计数去探究. .【解析解析】(1)(1)从从5 5人中选人中选4 4人有人有 种方法，星期五有一人参加有种方法，星期五有一人参加有 种方法，星期六有两人参加有种方法，星期六有两人参加有 种方法，共有种方法，共有 种方法种方法. .(2)(2)分三种情况：恰好打分三种情况：恰好打3 3局，有局，有2 2种情形；恰好打
9、种情形；恰好打4 4局局( (一人前一人前3 3局中赢局中赢2 2局，输局，输1 1局，第局，第4 4局赢局赢) )，共有，共有2 =62 =6种情形；恰好打种情形；恰好打5 5局局( (一人前一人前4 4局中赢局中赢2 2局，输局，输2 2局，第局，第5 5局赢局赢) )，共有，共有2 =122 =12种情形种情形. .所有可能出现的情形共有所有可能出现的情形共有2+6+12=202+6+12=20种种. .(3)(3)形如形如“1 15 5”，中间所缺的两数只能从，中间所缺的两数只能从0 0，2 2，4 4，6 6中中选取，有选取，有 个个. .形如形如“2 25 5”，中间所缺的两数是奇
10、偶各一个，有，中间所缺的两数是奇偶各一个，有 个个. .形如形如“3 35 5”，同，同有有 个个. .形如形如“4 45 5”，同，同，也有，也有 个个. .形如形如“6 65 5”，也有，也有 个，个，以上以上5 5类小于类小于7 0007 000的数共有的数共有9696个个. .故第故第9797个数是个数是7 0257 025，第，第9898个数是个数是7 0457 045，第，第9999个数是个数是7 0657 065，第第100100个数是个数是7 205.7 205.【互动探究互动探究】题题(3)(3)中组成的没有重复数字的四位数中能被中组成的没有重复数字的四位数中能被5 5整整除
11、的有多少个？除的有多少个？【解析解析】分两类分两类. .一类形如一类形如“0 0”, ,有有 ( (个个).).二类形如二类形如“5 5”, ,其中其中0 0当选有当选有 个个. .0 0不当选的有不当选的有 个个. .由分类计数原理有由分类计数原理有180+48+72=300180+48+72=300个个. .【方法总结方法总结】1.1.求解排列、组合问题的思路求解排列、组合问题的思路排排组组分分清清，加加乘乘明明确确；有有序序排排列列，无无序序组组合合；分分类类相相加加，分分步步相乘相乘. .2.2.排列、组合应用问题的常见解法排列、组合应用问题的常见解法(1)(1)特殊元素特殊元素( (
12、特殊位置特殊位置) )优先安排法优先安排法. .(2)(2)合理分类与准确分步法合理分类与准确分步法. .(3)(3)排列与组合混合问题先选后排法排列与组合混合问题先选后排法. .(4)(4)相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法. .(5)(5)不相邻问题插空法不相邻问题插空法. .(6)(6)定序问题缩倍法定序问题缩倍法. .(7)(7)多排问题一排法多排问题一排法. .(8)(8)“小集团小集团”问题先整体后局部法问题先整体后局部法. .(9)(9)构造模型法构造模型法. .(10)(10)正难则反，等价转化法正难则反，等价转化法. .【变式备选变式备选】(2013(2013四川高考改编四川高考改
13、编) )从从1,3,5,7,91,3,5,7,9这五个数中，这五个数中，每次取出两个不同的数分别为每次取出两个不同的数分别为a,ba,b，共可得到，共可得到lglg a- a-lglg b b的的不同值有几个？不同值有几个？【解析解析】由于由于lglg a alglg b= b= 从从1,3,5,7,91,3,5,7,9中取出两个不同中取出两个不同的数分别赋值给的数分别赋值给a a和和b b共有共有 种，而得到相同值的是种，而得到相同值的是1,31,3与与3,93,9以及以及3,13,1与与9,39,3两组，所以满足题意的共有两组，所以满足题意的共有1818组组. .热点考向热点考向 2 2
14、二项式定理的应用二项式定理的应用 【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013肇庆模拟肇庆模拟) ) 的展开式中含的展开式中含x x的的正整数指数幂的项数有几项？正整数指数幂的项数有几项？(2)(2013(2)(2013北京模拟北京模拟) )若若 的展开式的常数项为的展开式的常数项为8484，求求a a的值的值. .(3)(3)若若(1-2x)(1-2x)2 2 014014=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a2 2 014014x x2 2 014014(xR),(xR),求求 的值的值. .【解题探究解题探究】(1)(1)展开式中含展开式中含x x的
15、正整数指数幂的项，需具备什么条件？的正整数指数幂的项，需具备什么条件？提示：提示：x x的幂指数属于正整数的幂指数属于正整数. .(2)(2)使使T Tr+1r+1为常数项的为常数项的r r值为值为_. .(3)(3)令令x=x=_, ,则则a a0 0= =_; ;令令x=x=_，则则 _. .6 60 01 10 0【解析解析】(1)(1)展开式通项为展开式通项为T Tr+1r+1= =若展开式中含若展开式中含x x的正整数指数幂，即的正整数指数幂，即 N N* *, ,且且0r10,0r10,rNrN, ,所以所以r=0,2.r=0,2.故有两项故有两项. .(2)T(2)Tr+1r+1
16、= = 令令r=6r=6，得其常数项为，得其常数项为 即即84a84a3 3=84,=84,解得解得a=1.a=1.(3)(3)令令x=0x=0得得a a0 0=1.=1.令令x= x= 得得所以所以【方法总结方法总结】解答关于二项式定理问题的解答关于二项式定理问题的“五种五种”方法方法(1)(1)特定项或其系数等常规问题通项分析法特定项或其系数等常规问题通项分析法. .(2)(2)系数和差型赋值法系数和差型赋值法. .(3)(3)近似问题截项法近似问题截项法. .(4)(4)整除整除( (或余数或余数) )问题展开法问题展开法. .(5)(5)最值问题不等式法最值问题不等式法. .【变变式式
17、训训练练】(2013(2013虹虹口口模模拟拟) )数数列列aan n 的的前前n n项项和和记记为为S Sn n，且且满足满足S Sn n=2a=2an n-1.-1.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)求和求和【解析解析】(1)(1)由由S Sn n=2a=2an n-1-1得得S Sn+1n+1=2a=2an+1n+1-1-1，相减得，相减得a an+1n+1=2a=2an+1n+1- -2a2an n，即，即a an+1n+1=2a=2an n. .又又S S1 1=2a=2a1 1-1,-1,得得a a1 1=10,=10,所以数列所以数列aan
18、 n 是以是以1 1为首项为首项2 2为公比的等比数列为公比的等比数列, ,所以所以a an n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知S Sn n=2=2n n-1,-1,所以所以=2(1+2)=2(1+2)n n-2-2n n=2=23 3n n-2-2n n. .分类讨论思想分类讨论思想解决排列、组合应用题解决排列、组合应用题【思想诠释思想诠释】1.1.主主要要类类型型：(1)(1)利利用用分分类类加加法法计计数数原原理理将将较较复复杂杂的的计计数数问问题题分分类类去去计计.(2).(2)含含有有特特殊殊元元素素( (位位置置) )的的可可进进行行分分类类讨讨论论.(3
19、).(3)解解答答有有限限制制条条件件的的计计数数问问题题按按限限制制条条件件进进行行分分类类讨讨论论.(4).(4)与与几几何何图图形有关的计数，可根据图形的形状，位置的变化分类讨论形有关的计数，可根据图形的形状，位置的变化分类讨论. .2.2.解解题题思思路路：常常常常根根据据特特殊殊元元素素( (位位置置) )当当选选( (由由谁谁来来占占) )的的情情况况进行分类进行分类. .3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)分类应在同一标准下进行，确保分类应在同一标准下进行，确保“不漏不漏”“不重不重”.(2).(2)最后要将各类情况准确求和最后要将各类情况准确求和. .【典例典例】(10(1
20、0分分)(2013)(2013沈阳模拟沈阳模拟) )如图所示，在排成如图所示，在排成4 44 4方阵的方阵的1616个点个点中，中心位置中，中心位置4 4个点在某圆内，其余个点在某圆内，其余1212个点在圆外个点在圆外. .从从1616个点中个点中任选任选3 3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有多少个？三角形共有多少个？【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点：按从圆内四点中取点的个数分类求解切入点：按从圆内四点中取点的个数分类求解. .(2)(2)关注点：关注点：“至少有一个顶点在圆内至少有一个
21、顶点在圆内”，需对选取情况分类，需对选取情况分类. .【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成按从圆内四点任取按从圆内四点任取3 3点，点，2 2点，点，1 1点分三类点分三类：第一类：从圆内取第一类：从圆内取3 3点，有点，有 种；种；3 3分分第二类：从圆内取第二类：从圆内取2 2点，圆外点，圆外1212点中取点中取1 1点有点有 种；种；第三类：从圆内取第三类：从圆内取1 1点，圆外点，圆外1212点中取点中取2 2点，有点，有 种种. .8 8分分由分类计数原理知，所求的三角形共有由分类计数原理知，所求的三角形共有 个个. .1010分分【点题点题】规避误区，失分警示规避误区，
22、失分警示失分点一失分点一题中题中处容易在确定分类标准时出错处容易在确定分类标准时出错失分点二失分点二题中题中处易忽视三点共线情况误为处易忽视三点共线情况误为 而致而致错错失分点三失分点三题中题中处易忽视三点共线情况误为处易忽视三点共线情况误为 而致而致错错【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移1.1.已知集合已知集合A=1A=1，2 2，3 3，44，函数，函数f(xf(x) )的定义域、值域都是的定义域、值域都是A A，且对于任意，且对于任意iA,f(i)iiA,f(i)i, ,设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4是是1 1，2 2，3 3，4 4的任的任意一
23、个排列，定义数表意一个排列，定义数表若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有多少个？的数表，那么满足条件的不同的数表共有多少个？【解析解析】首先排列首先排列a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4是是1 1，2 2，3 3，4 4的任意一个排列，的任意一个排列，共有共有 种结果，种结果，再排列再排列a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4对应的函数值，对应的函数值，因为因为f(i)if(i)i, ,所以第一个函数值有所以第一个函数值有3 3种结果，后面几个函数值依
24、次有种结果，后面几个函数值依次有3 3，1 1，1 1种结果，共有种结果，共有3 33 31 11=91=9种结果，种结果，根据分步计数原理知共有根据分步计数原理知共有24249=2169=216种结果种结果. .即共有即共有216216个个. .2.(20132.(2013成都模拟成都模拟) )平面内有平面内有8 8个点，其中个点，其中4 4个点在一条直线个点在一条直线上，其他再没有三点共线，那么经过这上，其他再没有三点共线，那么经过这8 8个点可以连成不同的个点可以连成不同的三角形个数是多少？三角形个数是多少？【解析解析】从共线的从共线的4 4点中取点中取1 1点，不共线的点，不共线的4
25、4点中取点中取2 2点，有点，有个三角形；从共线的个三角形；从共线的4 4点中取点中取2 2点，不共线的点，不共线的4 4点中取点中取1 1点，有点，有个三角形；从不共线的个三角形；从不共线的4 4点中取点中取3 3点，有点，有 个三角形个三角形. .共有共有 个三角形个三角形. .3.(20133.(2013南南昌昌模模拟拟) )从从5 5位位男男生生和和4 4位位女女生生中中选选取取3 3人人担担任任年年级级学学生生会会干干部部中中的的三三个个不不同同职职务务，其其中中一一个个职职务务必必须须由由女女生生担担任任，则不同的可能情形种数是多少？则不同的可能情形种数是多少？【解析解析】分三类情
26、况：分三类情况：(1)1(1)1位女生位女生: :(2)2(2)2位女生：位女生：(3)3(3)3位女生：位女生：所以不同情形共有所以不同情形共有80+120+24=22480+120+24=224种种. .4.4.用用6 6种种不不同同的的颜颜色色给给图图中中的的“笑笑脸脸”涂涂色色，要要求求“眼眼睛睛”( (即即图图中中A A，B B所所示示区区域域) )必必须须用用相相同同颜颜色色，则则不不同同的的涂涂法法共共有有多多少少种？种？( (用数字作答用数字作答).).【解析解析】由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，可以分为三种情况讨论，一共用了一共用了3 3种颜色，共有种颜色，共有 种结果，种结果，一共用了一共用了2 2种颜色，共有种颜色，共有 种结果，种结果，一共用了一共用了1 1种颜色，共有种颜色，共有6 6种结果，种结果，所以根据分类计数原理知，共有所以根据分类计数原理知，共有120+90+6=216120+90+6=216种种. .
