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1、用一阶导数的单调性来判断用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性曲线的凹凸性 一般高等数学教材都是二阶导一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。数的符号来判断曲线的凹凸性。 但是，我们也可以用一阶导数但是，我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性，这的单调性来判断曲线的凹凸性，这种方法有很直观的几何解释，其证种方法有很直观的几何解释，其证明也更简单。明也更简单。凹弧的定义：凹弧的定义：凸弧的定义：凸弧的定义：如何判断曲线的凹凸？如何判断曲线的凹凸？设曲线弧设曲线弧上凹上凹单增单增Concave upward下凸下凸设曲线弧设曲线弧上凸上凸单减单减Concave downward
2、下凹下凹反之，能否由反之，能否由一阶导数的单调性一阶导数的单调性或或二阶导数的符号二阶导数的符号来来判断曲线的凹凸？判断曲线的凹凸？答案是肯定的。答案是肯定的。 先证明一个先证明一个引理引理。引理引理 （利用利用一阶导数的单调性判断凹凸性一阶导数的单调性判断凹凸性）设函数设函数 f(x) 在在 a, b 上连续，在上连续，在 (a, b) 内可导，内可导，那么那么(1) 若在若在 (a, b) 内内 f (x) 单调增加单调增加， 则曲线则曲线 y = f(x)在在 a, b 上是上是凹的。凹的。(2) 若在若在 (a, b) 内内 f (x) 单调减少单调减少， 则曲线则曲线 y = f(x
3、)在在 a, b 上是上是凸的。凸的。设设欲证：欲证：区间区间 (x1, x2) 的中点的中点或或或或欲证：欲证：由由Lagrange中值定理中值定理（1）不等式不等式（1）成立。成立。欲证：欲证：（1）不等式不等式（1）成立。成立。同理同理可证可证定理定理 2 (曲线凹凸性的判定定理曲线凹凸性的判定定理）设函数设函数 f(x) 在在 a, b 上连续，在上连续，在 (a, b) 内二内二阶可导，那么阶可导，那么(1) 若在若在 (a, b) 内内 f (x) 0， 则曲线则曲线 y = f(x)在在 a, b 上是上是凹的凹的。(2) 若在若在 (a, b) 内内 f (x) 0， 则曲线则曲线 y = f(x)在在 a, b 上是上是凸的凸的。因为因为由以上由以上引理引理得到以下得到以下华阳 南湖 18MAR12
