《马宾《过程控制与自动化仪表》第4章被控过程的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《马宾《过程控制与自动化仪表》第4章被控过程的数学模型（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第第4 4章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型本章要点本章要点1 1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤；掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 2 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 3 3）熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式；达式； 4 4）重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理；方法和数据处理； 5 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会用用MATLAB语言编写算法程序。语言编写
2、算法程序。 6 6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程序。 第一节第一节过程建模的基本概念过程建模的基本概念一、一、 被控过程的数学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述其中：其中：过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道控制通道干扰作用至输出变量的信号联系称
3、为干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道干扰通道过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 过过程程的的数数学学模模型型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型 过程输出实际上是多个过程输出实际上是多个输入的函数，每个输入对被输入的函数，每个输入对被控量的影响都是不一样的，控量的影响都是不一样的，通常选用一个通常选用一个可控性良好可控性良好的的输入作为控制量，而其他输输入作为控制量，而其他输入被统称为外部扰动。入被统称为外部扰动。二、被控过程的特性二、被控过程的特性依据过程特性的不同分为依据过程特性的不同分为自衡特性自衡特性与与无自衡特性无自衡特
4、性、单容特单容特性与多容特性性与多容特性、振荡与非振荡特性等振荡与非振荡特性等 1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量时，其输出量在无人或无控制装置的干预在无人或无控制装置的干预下下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。则被认为无自衡特性。 无自衡过程及其阶跃响应曲线无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：自平衡特性其传递函数的典型形式有：一阶惯性环节一阶惯性环
5、节 二阶惯性环节二阶惯性环节 二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后环节纯滞后环节 具有自衡特性的过程及其响应曲线具有自衡特性的过程及其响应曲线 无平衡特性其传递函数的典型形式有：无平衡特性其传递函数的典型形式有：一阶环节一阶环节 二阶环节二阶环节 二阶二阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶一阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 3 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性在阶跃输入作用下，输出会在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，出现多种形式。图中，a)a)、b)b)和和c)c)为振荡过程，为振荡过程，d)d)和和e)e)为非振荡过程。为非振荡过程。 4
6、 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程的输出先对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则称其为具有反向特性的降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。被控过程。4 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程锅炉汽包水位的变化过程即为锅炉汽包水位的变化过程即为典型的具有反向特性的过程。典型的具有反向特性的过程。 冷水量冷水量 蒸发率蒸发率水位水位进水量大进水量大 汽泡溃灭汽泡溃灭 水位水位三、过程建模方法三、过程建模方法1 1机理演绎法机理演绎法 （解析法）（
7、解析法） 根据被控过程的内部机理，运用已知的根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系静态或动态平衡关系，用数学解，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。析的方法求取被控过程的数学模型。2 2试验辨识法试验辨识法 先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入输出试验数据确定其模型得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞后时间等）与模型的参数。的结构（包括模型形式、阶次与纯滞后时间等）与模型的参数。 3. 3.
8、混合法混合法 机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法的一种方法第二节第二节 解析法建立过程的数学模型解析法建立过程的数学模型一、解析法建模的一般步骤一、解析法建模的一般步骤1 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；2 2）以物料或能量平衡方程为基本依据以物料或能量平衡方程为基本依据, ,列写列写基本平衡方程基本平衡方程；3 3）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始 条件），得到增量方程；条件），得到增量方程；4 4） 整理得到以增量为变量的微分
9、方程标准形式。整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。二、单容过程的解析法建模二、单容过程的解析法建模例例1 1：某单容液位过程，如右图。：某单容液位过程，如右图。贮贮罐中液位高度罐中液位高度h为被控参数为被控参数, ,流入贮罐流入贮罐的体积流量的体积流量q1q1为为过程的输入量过程的输入量并可通并可通过阀门过阀门1 1的开度来改变；流出贮罐的的开度来改变；流出贮罐的体积流量体积流量q2q2为过程的干扰为过程的干扰，其大小可，其大小可以通过阀门以通过阀门2 2的开度来改变。试确定的开度来改变。试确定q1q1与与h h之间的数学关系之间的数学关系? ?解解 根据动态物料平衡关系，即在根据动态物料
10、平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位单位时间内贮罐的液体流入量与单位时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率则有：则有：写为增量形式为写为增量形式为其中其中分别为偏离某平衡状态的增量。分别为偏离某平衡状态的增量。A A为贮罐的截面积为贮罐的截面积假定假定近似成正比而与阀门近似成正比而与阀门2 2的液阻的液阻成反比成反比与与则有则有 , ,带入增量式中可得带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式单容液位过程的微分方程增量式 进行拉普拉斯变换，进行拉普拉斯变换，并写成传递函数形式并写成传递函数形式 其中：其中：为
11、被控过程的时间常数为被控过程的时间常数 为被控过程的放大系数为被控过程的放大系数 为被控过程的为被控过程的容量系数容量系数，或称，或称 过程容量，这里过程容量，这里一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：ttx0y( )yxv放大倍数放大倍数K的物理意义的物理意义K表表明明了了稳稳态态时时，输输出出对输入的放大倍数对输入的放大倍数 。求法：。求法： K = y( ) / x0vK 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。越大，表示对象的输入对输出的影响越大。阶跃响应函数：阶跃响应函数：v时间常数时间常数T的物理意义的物理意义对对象象受受到到阶阶跃跃输输入入
12、后后，输输出出达达到到新新的的稳稳态态值值的的63.2所需的时间，就是时间常数所需的时间，就是时间常数T。或或对对象象受受到到阶阶跃跃输输入入后后，输输出出若若保保持持初初始始速速度度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。tT0.632y)求法：求法：在在相相同同的的阶阶跃跃输输入入作作用用下下，对对象象的的时时间间常常数数不不同同时时，被被控控变变量量的的响响应应曲曲线线如如图图所所示示 。 vT反映了对象输出对输入的响应速度反映了对象输出对输入的响应速度T越越大大，响响应应越越慢慢。如如水水槽槽对对象象中中 T=AR ，说说明水槽面积越大，水位变化越慢
13、。明水槽面积越大，水位变化越慢。vT也反映了过渡过程时间也反映了过渡过程时间被被控控变变量量变变化化到到新新的的稳稳态态值值所所需需要要的的时时间间理理论论上上需需要要无无限长。限长。当当t时，才有时，才有yKx0 ，但是当但是当t =3T 时，便有时，便有： 即即：经经过过3T时时间间，输输出出已已经经变变化化了了满满幅幅值值的的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。tTy)3T例例2积分时间常数恒量泵恒量泵输入输出特性： 我们把这种平衡被打破没有能力自动达到新我们把这种平衡被打破没有能力自动达到新平衡位置的系统称为：平衡位置的系统称为： “无自衡
14、能力过程无自衡能力过程”。例例3 求求T1 和和Q1的关系的关系R热阻； C热容例例4单容过程模型总结单容过程模型总结 总结以上几个例子可以发现每个被控过程中都有一总结以上几个例子可以发现每个被控过程中都有一个储存个储存“能量能量”的环节。的环节。液容液容 液位控制系统中水箱的储水量 系数为水箱截面积A热容热容 温度控制系统中热水所含的热量 系数为热水质量与比热的乘积Gcp电容电容 电压控制系统系统中的电容 系数为电容量C 所谓单容过程指的是只有一个所谓单容过程指的是只有一个储能环节储能环节的过程。的过程。 有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡
15、特性的是一个积分环节。性的是一个积分环节。三、多容过程的解析法建模三、多容过程的解析法建模以以自衡特性的双容过程自衡特性的双容过程为例，为例，如图如图设设q1q1为为过程输入量过程输入量，第二，第二个液位槽的液位个液位槽的液位h2h2为过程输出为过程输出量量，若不计第一个与第二个液，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所形成位槽之间液体输送管道所形成的时间延迟，试求的时间延迟，试求q1与与h2之间之间的数学关系。的数学关系。 解解根据动态平衡关系，根据动态平衡关系，列出以下增量方程列出以下增量方程 进行拉普拉斯变换，整理进行拉普拉斯变换，整理得到传递函数、数学模型得到传递函数、数学模型
16、为槽为槽1 1的时间常数的时间常数为槽为槽2 2的时间常数的时间常数 其中其中四、多容过程的解析法建模四、多容过程的解析法建模二阶自平衡能力过程二阶自平衡能力过程 与自平衡单容过程的与自平衡单容过程的阶跃响应（如曲线阶跃响应（如曲线1）相）相比，双容过程的阶跃响应比，双容过程的阶跃响应（如曲线（如曲线2）一开始变化）一开始变化较慢，其原因是槽与槽之较慢，其原因是槽与槽之间存在液体流通阻力而延间存在液体流通阻力而延缓了被控量的变化。显然，缓了被控量的变化。显然，若串接容器越多，则过程若串接容器越多，则过程容量越大，时间延缓越长。容量越大，时间延缓越长。 二阶无自平衡能力过程二阶无自平衡能力过程例
17、例6输入变量输入变量输出变量输出变量思路：提高阶次并消除中间变量思路：提高阶次并消除中间变量公式一公式一相加得：相加得：将将公式一公式一公式二公式二令：如果过程为多个容器依次连接则传递函数为：如果过程为多个容器依次连接则传递函数为：过程模型中的纯滞后过程模型中的纯滞后第三节第三节 实验法建立过程的数学模型实验法建立过程的数学模型试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最小二乘辨识法最为常用。最
18、为常用。 一、响应曲线法一、响应曲线法 响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过程的输入输线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过程的输入输出之间的数学关系。响应曲线法又分为出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法阶跃响应曲线法和和方波方波响应曲线法响应曲线法 1 1、阶跃响应曲线法、阶跃响应曲线法1 1）试验测试前，被控过程应处于相对）试验测试前，被控过程应处于相对稳定稳定的工作
19、状态的工作状态; ; 一、注意事项一、注意事项2 2）在相同条件下应重复多做几次试验）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响，减少随机干扰的影响; ;3 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的非线性程度）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的非线性程度; ;4 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间 再做第二次试验再做第二次试验; ; 5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响, , 但也不能过小，以防其它干
20、扰影响的比重相对较大而影响试验结果。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。 一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的5%10%之间，多取之间，多取10%。 控制器控制器被控过程被控过程测量变送测量变送+-ryuym调节阀调节阀信号发生器信号发生器记录仪记录仪实验信号的测取框图实验信号的测取框图二、模型结构的确定二、模型结构的确定在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构 对于大多数过程，数学模型和传对于大多数过程，数学模型和传递函数分别为递函数分别为: :一阶
21、惯性一阶惯性一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性 对于某些无自衡特性过程，对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：其对应的传递函数为：注意：注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下，对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应尽可能简单数学模型结构应尽可能简单 三、模型参数的确定三、模型参数的确定（1 1）确定一阶环节的参数）确定一阶环节的参数 该响应曲线可近似为无时延的一阶环节该响应曲线可近似为无时延的一阶环节则其输入与输出的关系为：则其输入与输出的关系为：为过程的放大系数，为过程的放大
22、系数，为时间常数。为时间常数。 其中其中上式中，当上式中，当以上式为斜率在以上式为斜率在t=0t=0处作切线，切线方程为处作切线，切线方程为当当则有：则有：和和时时由以上分析可知由以上分析可知，图解法图解法：根据根据再在阶跃响应曲线的起点再在阶跃响应曲线的起点t=0t=0处作切线，该切线与处作切线，该切线与的交点所对应的时间（上图中阶跃响应曲线上的的交点所对应的时间（上图中阶跃响应曲线上的OBOB段）即为段）即为 先确定先确定的确定还可以使用的确定还可以使用计算法计算法：令令t t分别为分别为时，则有时，则有以及以及在阶跃响应曲线上求得在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间三个状态下的时间t1
23、t1、t2t2、t3t3，不难计算出，不难计算出一般求多个值的平均一般求多个值的平均T（2 2）确定一阶时延环节的参数）确定一阶时延环节的参数 一阶惯性一阶惯性+时延环节的传递函数时延环节的传递函数 需要确定需要确定转化为标幺值转化为标幺值和和的确定步骤是：先将阶跃响应的确定步骤是：先将阶跃响应即：即：相应的阶跃响应表达式为相应的阶跃响应表达式为 选取两个不同时刻选取两个不同时刻t1，t2（两点法两点法），代入），代入两边取自然对数，两边取自然对数，求解化简可得：求解化简可得：求出求出和和补充例题补充例题1 1利用两点法，取利用两点法，取A(20,2.8)和和B(50,5.9)两点进行计算：两
24、点进行计算：解：解：补充例题补充例题1 1可知其参数为：可知其参数为：（3）确定二阶环节的参数）确定二阶环节的参数 传递函数为：传递函数为：三个需要确定的参数三个需要确定的参数的确定与一阶环节确定方法相同的确定与一阶环节确定方法相同 的确定采用的确定采用两点法两点法。二阶无时延环节的输入、输出关系为二阶无时延环节的输入、输出关系为 含两个未知数的函数只要任含两个未知数的函数只要任意求两点就可以解出意求两点就可以解出T1和和T2，经常取稳态值的经常取稳态值的40%和和80 % 两两点来计算。点来计算。求解可得求解可得注意注意：用这种方法确定：用这种方法确定T1和和T2时，应满足时，应满足的条件的
25、条件 因为，因为，说明有一个时间常数远大于另一个，说明有一个时间常数远大于另一个，系统可以用一个一阶环节近似。系统可以用一个一阶环节近似。其中其中其中其中时，应为二阶以上环节。时，应为二阶以上环节。 当当当时当时这时这个函数取得极大值的条件是：这时这个函数取得极大值的条件是：T1=T2 ，则用一个二阶环节近似：则用一个二阶环节近似：对于对于n阶环节传递函数阶环节传递函数可以按可以按近似计算近似计算的大小由下表确定的大小由下表确定其中其中n可以根据可以根据n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高阶过程的
26、高阶过程的n与与的关系的关系h ()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 容量个数越多（阶数容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。越多），阶跃响应曲线上升越慢。 2 非自衡对象非自衡对象高阶非自衡对象的近似高阶非自衡对象的近似作图法作图法作图求解作图求解（4）确定二阶时延环节的参数）确定二阶时延环节的参数 二阶时延环节阶跃响应曲线如右图：二阶时延环节阶跃响应曲线如右图： 传递函数为：传递函数为：需确定参数需确定参数4个个通过拐点通过拐点F作切线作切线 得纯滞后时间得纯滞后时间 ，容量滞后时间，容量滞后时间 以及以及、而总的纯滞后时间而总的纯滞后时间 可以证明：可以证明：与与
27、的关系为的关系为其中其中在在的约束条件下，可以解得的约束条件下，可以解得和和这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法 自学自学图解法图解法有有些些工工艺艺对对象象不不允允许许长长时时间间施施加加较较大大幅幅度度的的扰扰动动，改改为为施施加加脉脉宽宽为为t t的的方方波波脉脉冲冲，得得到到的的响响应应曲曲线线称称为为“方方波波响响应应”。2 2、方波响应曲线法、方波响应曲线法方波响应曲线法方波响应曲线法是在正常输入的基础上，施加一方波输入，并测取相是在正常输入的基础上，施加一方波输入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。应输出的变化
28、曲线，据此估计过程参数。 一个是在一个是在t = 0时加入的正阶跃信号时加入的正阶跃信号x1（t） 另另 一个是在一个是在 t =t 时加入的负阶跃信号时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）其中，其中， x2（t）= - x1（t -t）原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。tttttxxxx0x0x0 根根据据此此式式，方方波波响响应应可可逐逐点点拆拆分分为为阶阶跃跃飞飞升升曲曲线线y1（t）和）和 y2（t）。）。 对应的响应也为两个阶跃对应的响应也为两个阶跃响应之和：响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y
29、1（t）- y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)= x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)如图输出响应由两个时间相差如图输出响应由两个时间相差t0、极、极性相反、形状完全相同的阶跃响应叠性相反、形状完全相同的阶跃响应叠加而成。加而成。 t=0t0 阶跃响应曲线与方波阶跃响应曲线与方波响应曲线重合响应曲线重合 t=2t0 时，时，依次类推，即可由方波响应曲线依次类推，即可由方波响应曲线求出完整的阶跃响应曲线求出完整的阶跃响应曲线 补充例题补充例题2 2解：矩形脉冲可看成两个相反方解：矩形脉冲可看成两个相反方向的阶跃作用的代数和，因此向的阶跃作用的代数和，因此利用两点法，取利用两点法，取A(15,44)和和B(30,80.9)两点进行计算：两点进行计算：可知其参数为：可知其参数为：。小结小结机理法建模机理法建模单容对象单容对象双容对象双容对象测试法建模测试法建模阶跃输入阶跃输入矩形波输入矩形波输入作图法作图法计算法计算法现代方法现代方法一次完成最小二乘算法一次完成最小二乘算法递推最小二乘算法递推最小二乘算法
