概率论5-1-2-习题课

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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律大数定律 5.2 中心极限定理中心极限定理第一节 大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性的，但随着试验次数的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳的增大，频率将会逐渐稳定且趋近于概率。特别，当定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概很大时，频率与概率会非常率会非常“接近接近”的。这个非常的。这个

2、非常“接近接近”是什么是什么意思？意思？这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从理论上讨论这一问题。理论上讨论这一问题。 一、问题的引入一、问题的引入定定理理1 设设随随机机变变量量的的数数学学期期望望EX= ，方方差差DX= 2，则对任意的正数则对任意的正数 ，不等式，不等式 (1)成立。这个不等式称为契贝雪夫成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。不等式。 证证 我们仅就连续型随机变量情形加以证明。我们仅就连续型随机变量情形加以证明。 设设X的概率密度为的概率密度为 f(x)，于是于是 式式(1)表明当表明当DX很小时，概率很

3、小时，概率P|X- -EX| 更小。更小。这就是说在上述条件下，随机变量这就是说在上述条件下，随机变量X落入落入EX的的 邻域邻域之外的可能性很小，也即落入之外的可能性很小，也即落入EX的的 邻域内可能性邻域内可能性很大。由此说明很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较的取值比较集中，也即离散程度较小，这正是方差的意义所在。小，这正是方差的意义所在。 契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。重要的价值。 (1)例例1 已已知知正正常常男男性性成成人人血血液液中中，每每一一毫毫升升血血液液中中白白细细胞胞的的平平均均数数是是7300，

4、均均方方差差是是700。试试估估计计每每毫毫升升血血液中白细胞数在液中白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解解 设每一毫升血液中白细胞数为设每一毫升血液中白细胞数为X ，则由上式有，则由上式有 契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式定理定理2 （伯努利（伯努利(Bernoulli)大数定律）设大数定律）设 是是n次独次独立重复试验中事件立重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试在每次试验中发生的概率，则对任意正数验中发生的概率，则对任意正数 0，有，有 或或 证证 令令 则则X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，且个

5、相互独立的随机变量，且易知易知 于是，于是， 由契贝雪夫不等式得由契贝雪夫不等式得又由又由X1，X2，Xn的独立性可知的独立性可知从而有从而有 上上述述伯伯努努利利大大数数定定律律从从理理论论上上给给出出了了频频率率“接接近近”概概率率这这种种“现现象象”的的更更加加确确切切的的含含意意，它它反反映映了了大大数数次次重重复复试试验验下下随随机机现现象象所所呈呈现现的的统统计计规规律性。律性。 设设Y1，Y2，Yn，是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意的正数是一个常数，若对任意的正数 ，有，有 则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛依概率收敛于于a，记作记作定定

6、理理2 是是n次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则定理定理3（契贝雪夫大数定律）（契贝雪夫大数定律）设设X1，X2，Xn，是是相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即存在常数存在常数c0，使得使得 则对任意的则对任意的 0，有，有 证明（略）证明（略）或或 伯伯努努利利大大数数定定律律是是契契贝贝雪雪夫夫大大数数定定律律的的特特例例, 在在它它们们的的证证明明中中, 都都是是以以契契贝贝雪雪夫夫不不等等式式为为基基础础的的, 所所以以要要求求随随机

7、机变变量量具具有有方方差差。但但进进一一步步的的研研究究表表明明，方方差差存存在在这这个个条条件件并并不不是是必必要要的的。即即有有下下面面的的独独立立同分布的辛钦大数定律。同分布的辛钦大数定律。定定理理4 (辛辛钦钦()大大数数定定律律)设设X1，X2，Xn，是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量序序列列，且且数数学学期期望望存在存在:则对任意的则对任意的 0，有，有证明（略）证明（略） 这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。行的途径。 伯伯努努利利大大数数定定律律说说明明了了当当n很很大大时时，事事件件发发生生的的频频率率会会非非常

8、常“接接近近”概概率率，而而这这里里的的辛辛钦钦大大数数定定律律则则表表明明，当当n很很大大时时，随随机机变变量量X在在n次次观观察察中中的的算算术术平平均均值值 也会也会“接近接近”它的期望值，即它的期望值，即三、典型例题解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？例例2说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.解解由由辛钦定理辛钦定理知知例例3四、小结三个大数定理三个大数定理契比

9、雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理伯努利大数定理辛钦定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性. .第二节 中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、小结三、小结一、问题的引入 在在第第二二章章介介绍绍正正态态分分布布时时曾曾经经特特别别强强调调了了它它在在概概率率论论与与数数理理统统计计中中的的地地位位与与作作用用，为为什什么么会会有有许许多多随随机机变变量量遵遵循循正正态态分分布布？仅仅仅仅是是经经验验猜

10、猜测测还还是是确确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。 实实践践表表明明，客客观观实实际际中中有有很很多多随随机机变变量量，它它们们往往往往是是由由大大量量的的相相互互独独立立的的随随机机因因素素的的综综合合作作用用所所形形成成的的。而而其其中中每每一一个个别别因因素素在在总总的的影影响响中中所所起起的作用是微小的。的作用是微小的。 下下面面将将要要介介绍绍的的中中心心极极限限定定理理从从理理论论上上阐阐明明了了这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。 定理定理5（独立同分布的林德贝尔格（独立同分布的林德贝尔格

11、-勒维勒维(LindebergLevy)中心极限定理）中心极限定理）设设X1，X2，Xn，是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学期望和方差：并具有数学期望和方差： 则对任意的则对任意的x有有证明（略）证明（略）二、基本定理二、基本定理两点说明：两点说明： 1无无论论随随机机变变量量X1，X2，Xn，服服从从同同一一分分布布的的情情况况如如何何，只只要要Xi满满足足定定理理的的条条件件，则则随随机机变变量量序列：序列： 当当n无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。或者说，当或者说，当n充分大时，

12、充分大时，Yn近似服从标准正态分布。根近似服从标准正态分布。根据这一点，在实际应用中，只要据这一点，在实际应用中，只要n充分大，我们便可把充分大，我们便可把n个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量。个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量。 2因为对因为对 中每一被加项中每一被加项 有有故有故有 即即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，中每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。例例1 设设有有100个个电电子子器器件件，它它们们的的使使用用寿寿命命 X1，X2，X100均均服服从从参参数数为为 =0.05(h-1

13、)的的指指数数分分布布，其其使使用用情情况况为为：第第一一个个损损坏坏第第二二个个立立即即使使用用，第第二二个个损损坏坏第第三三个个立立即即使使用用等等等等。令令 表表示示这这100个个电电子子器器件件使使用用的总时间，试求的总时间，试求X超过超过1800h小时的概率。小时的概率。解解 由于由于Xi 服从参数为服从参数为 = 0.05的指数分布。因此的指数分布。因此又由题设知又由题设知 ，因此由定理，因此由定理5得：得： 作为定理作为定理5的推论有的推论有 定定理理6（德德莫莫佛佛拉拉普普拉拉斯斯(De Moivre-Laplace)定定理理）在在n重重贝贝努努里里试试验验中中，事事件件A在在

14、每每次次试试验验中中出出现现的的概概率率为为p，Yn为为n次次试试验验中中事事件件A出出现现的的次次数数，则则对对任任意意的的x，有有 证证 由由5.1的的定定理理2的的证证明明可可知知，Yn可可以以看看成成是是n个个相相互互独独立立，且且服服从从同同一一(0-1)分分布布的的随随机机变变量量X1，X2，Xn之和，即之和，即由定理由定理5得：得： 定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，当当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。 下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近

15、正态分布是二项分布的逼近. 定理定理7（李雅普诺夫（李雅普诺夫Liapunov定理）定理）设随机变量设随机变量 X1，X2，Xn ，相互独立，且相互独立，且 若存在若存在 0，使得，使得 则对任意的则对任意的x，有有证略。证略。 对对于于相相互互独独立立但但不不同同分分布布的的随随机机变变量量和和的的分分布布的极限问题的极限问题, 有李雅普诺夫中心极限定理。有李雅普诺夫中心极限定理。不难看出，当不难看出，当n很大时，很大时， 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0，1)，也即也即 近似服从正态分布：近似服从正态分布： 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受

16、一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉

17、普拉斯定理 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率证证例例4根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，例例5 随机变量随机变量X 表示对概率为表示对概率为p

18、的事件的事件A做做n次重复独次重复独立试验时，立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的及中心极限定理估计满足下式的n： 解：解：记记 由于由于Y B(n，p)，故故EX=np，EY=p， (1)根据契贝雪夫不等式，有根据契贝雪夫不等式，有 (2)以以Xi 表示每次试验时表示每次试验时A出现的次数，则出现的次数，则Xi 服从参数服从参数为为p的的0-1分布，且分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而而 是是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知理知 因此有因此有 例例

19、6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽。医院检验员任意抽查查100个服用此药品的人，如果其中多于个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接，问接受这一断言的概率是多少？受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接，问接受这一断言的概率是多少？受这一断

20、言的概率是多少？ 解：解：(1)以以X表示表示100人中治愈人数，则人中治愈人数，则X B(100，0.8) 所求概率为所求概率为 (2)依题依题X B(100，0.7) 所求概率为所求概率为 三、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布. 第五章 大数定律及中心极限定理习 题 课二、主要内容二、主要内容三、典型

21、例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.大数定律大数定律二、主要内容中心极限定理中心极限定理定定理理2定定理理3定定理理4定理定理2的另一种表示的另一种表示定定理理5定定理理6定定理理7契比雪夫定理的特殊情况定理一的另一种表示伯努利大数定理辛钦定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量德莫佛拉普拉斯定理三、典型例题 解解例例1根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布. .解解例例2根据题意根据题意, 所求概率为所求概率为由由中心极限定理中心极限定理有有:解解例例3由由泊松定理泊松定理知知,