数字滤波器设计

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1、第六章 数字滤波器设计 第六章数字滤波器设计 6.1 引言引言 6.2 IIR滤波器设计方法滤波器设计方法 第六章 数字滤波器设计 6.1 引引 言言 所谓滤波，通常是指通过某种变换或运算，用以改变输入信号中所含频率分量的相对比例，以达到选取或滤除某些频率成分的一种手段。 数字滤波器通常采用有限精度算法，它可以按照某种算法编写软件，在计算机或专用数字信号处理（DSP）芯片上实现，也可以按照算法选用硬件实现。与模拟滤波器相比， 数字滤波器具有精度高、稳定性好、灵活性大、 体积小且没有苛刻的匹配要求等优点。 随着计算机、 超大规模集成电路技术的发展，数字滤波器的应用愈加广泛。 第六章 数字滤波器设

2、计 同样，与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性也有低通、高通、带通和带阻等之分，滤波器的性能指标通常也习惯在频域给出。常用数字滤波器的幅度特性示意图如图6.1所示。与模拟滤波器不同的是，由于序列的傅里叶变换具有以2为周期的周期性，因此，数字滤波器的频率响应也有这种周期性。 低通滤波器的通带处于0或2的整数倍频率附近，高通滤波器的通带则处于的奇数倍频率附近。 第六章 数字滤波器设计 图6.1 各种数字滤波器的幅度特性 第六章 数字滤波器设计 图6.1 各种数字滤波器的幅度特性 第六章 数字滤波器设计 图6.1所示的理想滤波器的幅度特性有理想、陡截止的通带和无穷大衰减的阻带两个范围，这显然是无法

3、实现的，因为它们的单位取样响应均是非因果和无限长的。实践中只能用一种因果可实现的滤波器去与之逼近，使其满足给定的误差容限。一个实际滤波器的幅度特性在通带中允许有一定的波动，阻带衰减则应大于给定的衰减要求，且在通带与阻带之间允许有一定宽度的过渡带。 第六章 数字滤波器设计 图6.2示出了一个实际低通滤波器的幅度特性， 特性曲线中有通带、过渡带和阻带三个区间。通带范围是0p， 在通带内，幅度特性以误差1逼近于1，即 （6-1） p称为通带截止频率。阻带范围是s，在阻带内， 幅度特性以最大误差2逼近于零，即 称为阻带起始频率。ps的区域称为过渡带， 一般要求幅度特性在过渡带内单调下降。 （6-2）

4、第六章 数字滤波器设计 图6.2 实际低通滤波器的幅度特性第六章 数字滤波器设计 通带内衰减（波动）和阻带衰减（波动）通常用分贝表示， 对于图6.2， 我们令 p和s分别称为通带最大衰减和阻带最小衰减。如果 ， 则称c为3dB截止频率。 第六章 数字滤波器设计 滤波器的频率特性除了幅度特性外，还有相位特性()。 一般对()并无过多要求，只要保证滤波器稳定就可以了。 但在有些场合要求()具有一定的性质，如线性相位特性， 即要求()=-（为延时常数）等。数字滤波器可用N阶差分方程 来描述，相应的系统函数为 （6-6） 第六章 数字滤波器设计 数字滤波器按其单位采样响应长度可分为无限冲激响应滤波器（

5、IIR）和有限冲激响应滤波器（FIR）两类。按照滤波器的实现方式则又可以分为递归滤波器和非递归滤波器两类。式(6-5)中若ak=0(k=1,N)， 该滤波器为FIR滤波器；若ak0(k=1, ,N)，该滤波器为IIR滤波器。一般情况下递归滤波器对应于IIR滤波器， 而非递归滤波器对应于FIR滤波器。 第六章 数字滤波器设计 6.2 IIR滤波器设计方法滤波器设计方法 设计IIR数字滤波器一般有以下三种方法： (1) 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便， 因为模拟波滤波器已很成熟，它有很多现成的设计公式，并且设计参数已经表格化， 使用起来既方便又准确。

6、 第六章 数字滤波器设计 (2) 滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。所以，通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点，即可得到符合要求的滤波特性。 这种方法往往需要多次调整零、极点位置，称为零、极点累试法。 第六章 数字滤波器设计 (3) 计算机辅助设计法。 这是一种最优化设计方法。 它先确定一种最优化准则， 例如设计出的实际频率响应的幅度与理想频率响应的幅度的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等， 然后确定满足该最佳准则的滤波器系数ak、bi。 这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式， 而是需要进行大量的迭代运算，需用计算机辅助设计完成。 第六章 数字

7、滤波器设计 6.2.1 根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器目前IIR数字滤波器设计中用得较多的是借助于模拟滤波器的设计方法。借用模拟滤波器设计有一套相当成熟的方法， 可以给数字滤波器的设计带来很大方便。该方法的设计步骤是： （1） 若所需设计的数字滤波器是低通的，按一定规则先将给出的数字低通滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。（2） 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器的传递函数Ha(s)。 第六章 数字滤波器设计 （3） 再按一定规则将Ha(s)转化成H(z)，完成低通滤波器的设计。 (4) 若所设计的是高通、带通或带阻滤波器，那么还需将高通、带通或

8、带阻数字滤波器的技术指标转化为低通模拟滤波器的技术指标，然后按步骤（2）设计低通模拟滤波器 Ha(s)，再将Ha(s)最终转换为所需的H(z)。 第六章 数字滤波器设计 1. 1. 选定模拟低通滤波器原型选定模拟低通滤波器原型由滤波器理论，高通、带通、 带阻滤波器均可以利用变量变换方法，分别由低通滤波器变换得到。 所以要先根据要求选定模拟低通滤波器的设计方法。 模拟低 通 滤 波 器 有 巴 特 沃 兹 （ Butterworth） 、 切 比 雪 夫（Chebyshev）和椭圆（Elliptic）滤波器等。 第六章 数字滤波器设计 2. 由模拟滤波器完成由模拟滤波器完成IIR数字滤波器设计数

9、字滤波器设计利用模拟滤波器来完成数字滤波器的设计， 就是先确定模拟滤波器的Ha(s)进而确定数字滤波器的系统函数H(z)。 它实际上是由S平面到Z平面间的一种映射转换，此时必须满足两种基本要求： （1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即S平面的虚轴必须映射到Z平面的单位圆上。 第六章 数字滤波器设计 （2） 因果稳定的模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，仍是因果稳定的。也就是S平面左半平面（Res0）应该映射到Z平面的单位圆以内（|z|1）。 将系统函数Ha(s)从S平面映射到Z平面可以有多种方法， 工程上常用的是冲激响应不变法（或叫脉冲响应不变法）和双线性变换法，

10、下面我们对这两种方法略作介绍。 第六章 数字滤波器设计 1) 冲激响应不变法冲激响应不变法是使数字滤波器的单位采样响应序列h(n)模仿模拟滤波器冲激响应ha(t)。将模拟滤波器的冲激响应加以等间隔（间隔为T）采样，并使h(n)正好等于ha(t)的采样值， 即满足 （6-27） 因此冲激响应不变法是一种时域上的转换方法。 第六章 数字滤波器设计 下面我们分析采用冲激响应不变法时，S平面和Z平面之间的映射关系。若令Hz(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的变换，则利用已知的序列的变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系， 可得 （6-28） 上式表明，冲激响应不变法相当于将Ha(s)沿虚

11、轴按周期(2)/T延拓后，再按映射关系 （6-29) 第六章 数字滤波器设计 将模拟滤波器的Ha(s)从S平面变换成Z平面的数字滤波器H(z)。 若 令s=+j，z=rej， 代 入 式 （ 6-29)得 到rej=eTejT， 则有 （6-30a） （6-30b） 上式表明，若=0，则r=1，即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；若0，则r1，即S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。因此，冲激响应不变法可以满足将因果、稳定的Ha(s)转换成因果、稳定的H(z)以及H(ej)能模仿Ha(j)的基本要求。 第六章 数字滤波器设计 将式（6-28）示于图6.5，S平面上每一条宽度为2/T的横向条

12、带区都将重叠地映射到整个Z平面上，而第一条横向条带的左半边映射到Z平面单位圆内，右半边映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。当模拟频率从-/T变化到/T 时，数字频率则从-变化到，且由式（6-30b）可知，与之间成线性关系。由于S平面每一横条都要重叠地映射到Z平面上，这也反映了H(z)和Ha(s)的周期延拓之间有z=esT的变换关系，因此冲激响应不变法并不等于从S平面到Z平面间的简单代数映射关系。 第六章 数字滤波器设计 图6.5 冲激响应不变法的映射关系 第六章 数字滤波器设计 由式（6-28）可知，数字滤波器的频率响应H(ej)与模拟滤波器的频率响应Ha(j)的关系为

13、 （6-31） 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。因此正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应带限于二分之一的模拟采样角频率之内时，即 （6-32） 第六章 数字滤波器设计 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真， 即 |/T，则不论如何减小T，c与T总是成同样倍数变化，即总是c/T。 因此在冲激响应不变法设计中， 用减小采样间隔T的方法并不能真正解决混叠问题。 第六章 数字滤波器设计 由于冲激响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)以拉普拉斯反变换得到其冲激响应ha(t)，然后采样得到h(n)=ha(nT)，再取变换得

14、H(z)，因此过程较复杂。对于常用的部分分式表达的模拟系统函数，下面我们来讨论冲激响应不变法所造成的S平面和Z平面的对应关系。 第六章 数字滤波器设计 设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统）。此时可将Ha(s)展开成部分分式表示式， 即有 （6-34） 其拉普拉斯反变换， 即相应的冲激响应 （6-35） 第六章 数字滤波器设计 式中的u(t)是连续时间的单位阶跃函数。在冲激响应不变法中， 要求数字滤波器的单位采样响应等于ha(t)的采样，即 （6-36） 对h(n)求Z变换，即可得数字滤波器的系

15、统函数 （6-37） 第六章 数字滤波器设计 将式（6-34）的Ha(s)和式（6-37）的H(z)作比较，不难看出： （1）S平面的单极点(s=sk)变换到Z平面上就是处的单极点。 （2）Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。（3） 如果模拟滤波器是稳定的，即所有极点sk位于S平面的左半平面，极点的实部Resk0，则， 那么变换后的数字滤波器的全部极点均在单位圆内，因此数字滤波器也是稳定的。 第六章 数字滤波器设计 （4） 虽然S平面的极点按照关系式可映射成Z平面的极点，但是必须认识到，冲激响应不变法并不相当于按照该关系将S平面映射成Z平面。尤其是数字滤波器的零点， 它们是

16、随部分分式展开式中的极点和系数Ak一起变化的。 根据以上分析，对于部分分式表达的模拟系统函数，冲激响应不变法的设计步骤可不再经历Ha(s)ha(t)ha(nT)H(z)的过程，而是直接将Ha(s)写成许多单极点的部分分式之和的形式，然后将各个部分分式用式（6-37）的关系进行替代，从而得到所需的数字滤波器系统函数H(z)。 第六章 数字滤波器设计 在式（6-33）中，数字滤波器频率响应H(ej)的幅度特性与采样间隔T成反比，当T较小时，H(ej)就会有很高的增益。 为避免这一现象，常作以下修正，即令h(n)=Tha(nT)，于是它的幅度特性将不再与T成反比。此时的 |（6-38） 第六章 数字

17、滤波器设计 冲激响应不变法使得数字滤波器的单位采样响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系，即=T。因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 但是，因为此时有频率响应混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，高高通通和和带带阻阻滤滤波波器器则则不不宜宜采采用用冲冲激激响响应应不不变变法法。 对于带通和低通滤波器， 需充分限带， 阻带衰减越大， 混叠效应就越小。 第六章 数字滤波器设计 2) 双线性变换法由于从S平面到Z平面的映射关系z=esT是多值映射，会使冲激响应不变法产生频谱混叠。为了克服多值映射这一

18、缺点， 我们首先把整个S平面压缩变换到一个中介的S1平面中的 横向带条内，其次再通过变换关系式将该横带变换到整个Z平面，这样就使得S平面与Z平面之间具有一一对应的关系，避免了多值映射。该过程如图6.7所示。 第六章 数字滤波器设计 图6.7 双线性变换法的映射关系 第六章 数字滤波器设计 将S平 面 整 个 j虚 轴 压 缩 变 换 到S1平 面 j1虚 轴 上 的 段，通常采用式（6-39）所示的变换关系， 即 （6-39） 当1从经过0变化到时，其对应的由-经过0再到，式（6-39）可写成 第六章 数字滤波器设计 令j=s，j1=s1, 可得 （6-40） 再将S1平面用下面的关系式映射到

19、Z平面 （6-41） 以式（6-41）代入式（6-40）就可得到S平面和Z平面的单值映射关系为 （6-42a） 第六章 数字滤波器设计 及 （6-42b） 这种S平面和Z平面之间直接的单值映射，通常也称作双线性变换。由由于于从从S S平平面面到到S S1 1平平面面进进行行了了非非线线性性频频率率压压缩缩，因此避免了频率混叠现象。 第六章 数字滤波器设计 将z=ej代入式（6-42a），可得 （6-43） 即S平面的虚轴与Z平面的单位圆相对应。 将s=+j代入式（6-42b），得 第六章 数字滤波器设计 因此 （6-44） 第六章 数字滤波器设计 由上式可以看出，当0时,|z|0时，|z|1；

20、 当=0时，|z|=1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射成Z平面的单位圆。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也是稳定的。双线性变换法满足前面介绍的以模拟滤波器到数字滤波器转换的基本条件。 同时双线性变换还克服了采用冲激响应不变法遇到的混叠问题， 因为它将S平面的整个虚轴映射成了Z平面的单位圆。 第六章 数字滤波器设计 下面我们再分析模拟角频率与数字角频率之间的映射关系， 由式（6-43）得 （6-45） 上式表明S平面的与Z平面的成非线性正切关系，如图6.8所示。从图6.8可以看到，在=0附近它们接近线

21、性关系，当增加时，增加得愈来愈快，当趋近时，趋向。其实也正因为这种非线性关系才使Z与S之间一一对应并消除了频率混叠现象。但是与之间的非线性关系也是双线性变换法的一个缺点，它直接影响了数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响程度，其幅度特性和相位特性失真的情况如图6.9所示。 第六章 数字滤波器设计 图6.8 双线性变换中模拟频率与数字频率的关系 第六章 数字滤波器设计 图6.9 双线性变换法的非线性映射 第六章 数字滤波器设计 这种频率间的非线性关系又产生了新的问题，它使得线线性性相相位位模模拟拟滤滤波波器器经经双双线线性性变变换换后后得得到到的的数数字字滤滤波波器器不不再再保保持持原原有有的

22、的线线性性相相位位性性质质，其次这这种种非非线线性性关关系系也也要要求求模模拟拟滤滤波波幅幅度度特特性性是是分分段段常常数数型型的的（一般低通、高通、带通滤波器的频率响应持有这种特性），否则变换后的数字滤波器的幅度特性将会发生大的变异。不过此时特性转折点的频率值与模拟滤波器特性转折点的频率值成非线性关系，也就是说，各分段边缘的临界频率点发生了畸变，如图6.9所示。第六章 数字滤波器设计 这种频率的畸变可以通过频率的预预畸畸变变来校正，即将临界频率事先加以畸变， 然后经变换后再映射回所需要的频率点。例如，要求设计数字滤波器的截止频率为c， 利 用 式 （ 6-45） 预 先 得 模 拟 滤 波

23、器 的 截 止 频 率c=tanc/2而不是c=c/T，按畸变后c设计出的模拟滤波器经双线性变换后的数字滤波器正是我们所希望的截止频率。 第六章 数字滤波器设计 3.3.数字滤波器之间的频率变换数字滤波器之间的频率变换上面介绍了数字低通滤波器的设计方法，若需设计数字高通、带通和带阻滤波器，如前所述，可以先设计一个低通滤波器，再用频率变换将低通滤波器转换成所需类型的滤波器。 由于频率变换可以在模拟域进行，也可以在数字域进行，因此有两种设计方法，如图6.10所示。第一种方法是设计出模拟低通滤波器后，用模拟域的频率变换将它转换成所需类型的模拟滤波器，在模拟域从归一化低通滤波器到其他类型的转换关系可参

24、考表6.1。然后再将其从S平面转换到Z平面得到所需类型的数字滤波器。 第六章 数字滤波器设计 第二种方法是设计出模拟低通滤波器后，首先将其从S平面转换到Z平面，得到数字低通滤波器，然后用数字域的频率变换将它变换成所需类型的数字滤波器， 数字低通滤波器转换到其他类型数字滤波器的转换关系如表6.2所示。从S平面转换到Z平面可用冲激响应不变法或双线性变换法，由于冲激响应不变法可能会产生频谱混叠，不适合于高通和带阻滤波器的设计， 因此第一种方法适合用双线性变换法，第二种则无此限制。 第六章 数字滤波器设计 图6.10 数字滤波器的设计方法 第六章 数字滤波器设计 表表6.1 3dB6.1 3dB截止频

25、率为截止频率为p p的模拟低通滤波器到其他类型滤波器的转换的模拟低通滤波器到其他类型滤波器的转换 第六章 数字滤波器设计 表6.2 截止频率为c的数字低通滤波器到其他类型的数字滤波器的频率 第六章 数字滤波器设计 表6.2 截止频率为c的数字低通滤波器到其他类型的数字滤波器的频率 第六章 数字滤波器设计 4. 4. 总结和设计举例总结和设计举例前面我们介绍了两种映射关系： (1) 冲激响应不变法。这种变换具有一定的物理含义， 且容易理解。当然冲激响应经采样后， 频谱将发生周期性的重复。如果此时频谱不出现混叠，而且模拟滤波器满足技术指标，那么以其冲激响应的采样值作为单位采样响应的数字滤波器也就满

26、足指标要求。这时，模拟频率和数字频率之间的映射关系为=T，即呈线性变换关系。该变换的缺点是有可能出现频谱的混叠失真。 第六章 数字滤波器设计 (2) 双线性变换法。它是纯数学上的映射关系。此时的，其模拟角频率和数字角频率之间的映射关系为：=2tan(T/2)，即将模拟频率的整个区间（无穷大）压缩到数字频率的一个区间-,，避免了冲激响应不变法的频谱混叠效应，但同时也产生了频率畸变的缺陷， 这使得该变换只能用于一些分段常数型（频率选择性）滤波器的设计。 第六章 数字滤波器设计 当用模拟低通滤波器设计数字低通滤波器时，首先要把数字滤波器的技术指标转换为相应的模拟滤波器的技术指标。 这里主要是将数字滤

27、波器的边界频率k，如通带频率、3dB 截止频率、阻带截止频率等转换成模拟滤波器的相应边界频率k。对于冲激响应不变法，其转换关系为k=kT；对于双线性变换法，则转换关系为。 通带及阻带衰减与数字低通滤波器相仿。然后根据技术指标设计模拟滤波器, 最后用冲激响应不变法或双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器。 第六章 数字滤波器设计 例例6.16.1设计一数字低通滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，幅度特性下降小于1dB。在频率高于0.3rad的阻带内， 衰减大于15 dB。 （1） 设采样频率fs=10 kHz，用冲激响应不变法设计巴特沃兹数字低通滤波器。 （2）设fs=1 kHz，用双

28、线性变换法，设计切比雪夫数字低通滤波器。 第六章 数字滤波器设计 解解方法一： 用冲激响应不变法设计巴特沃兹数字低通滤波器。 （1） 数字低通滤波器的技术指标为 第六章 数字滤波器设计 （2） 将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，为 第六章 数字滤波器设计 （3） 设计巴特沃兹低通滤波器， 此时的 N是滤波器的阶数，必须取整数，为了满足技术指标要求，选取比求出的N大一点的整数，如取N=6，代入式（6-13a）或式（6-13b）中求得c=7.03210-3rad/s。 第六章 数字滤波器设计 根据式（6-10）求极点， 代入式（6-11）， 化简后得模拟低通滤波器系统函数 其中分子

29、系数是根据s=0时，Ha(s)=1得到的。 第六章 数字滤波器设计 （4） 将模拟滤波器转换为数字滤波器。将上式Ha(s)按部分分式展开，然后利用冲激响应不变法修正式（6-37）， 得所需数字滤波器的系统函数 第六章 数字滤波器设计 当z=ej时,得到数字滤波器的频率响应如图6.11所示。 由图中可看出，在通带截止频率p=0.2处，恰好满足衰减小于1dB的要求，在阻带起始频率s=0.3处，衰减大于15 dB， 超过指标要求。 第六章 数字滤波器设计 图6.11 例6.1中六阶巴特沃兹数字滤波器的频率响应 第六章 数字滤波器设计 方法二：用双线性变换法设计切比雪夫数字低通滤波器。 （1） 将数字

30、滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。 在双线性变换中，与之间呈非线性关系， 即 在T=1 s时，将数字截止频率按上式预畸变为模拟滤波器的截止频率 第六章 数字滤波器设计 （2） 求。按照要求， 我们设计=1dB的等波纹切比雪夫滤波器， 则 （3） 根据式（6-22），计算滤波器的阶数N 故取N=4。 第六章 数字滤波器设计 （4） 计算滤波器的极点。根据式（6-24），可求出左半平面的两对极点为 s1,2=-0.090 669 9j0.638 999 7, s3.4=-0.218 896 9j0.264 681 9 （5） 求模拟滤波器的系统函数Ha(s)。根据式（6-26），可求得滤

31、波器的系统函数 第六章 数字滤波器设计 （6） 求数字滤波器系统函数H(z)。利用双线性变换关系式及T=1可得： 所得数字滤波器的频率响应如图6.12所示。 第六章 数字滤波器设计 图6.12 例6.1中四阶切比雪夫数字滤波器的频率响应 第六章 数字滤波器设计 6.2.2 6.2.2 用零、用零、 极点累试法设计极点累试法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器由第二章的讨论知道，滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度响应和相位响应特性。因此，通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点，可得到符合要求的滤波器, 这在工程实践中用得较多。 第六章 数字滤波器设计 1 1 低通滤波器设计低

32、通滤波器设计考虑一低通滤波器，其频率响应在=处为零，相当于z-1处有一个零点，若在z=a处又有一个极点，且a为小于1的正实数，则其系统函数为 （6-46） 式中a可以根据通带的要求来决定，a越大，带宽越窄。其频率响应为 （6-47） 第六章 数字滤波器设计 上式在=0时达到最大值， 即 （6-48） 下面根据滤波器技术指标确定a。假设低通滤波器3 dB带宽为c，根据3 dB 带宽定义 （6-49） 由式（6-47）和式（6-49）可知 第六章 数字滤波器设计 上式为a的二次方程，解之得 因a1， 所以取 （6-50） 第六章 数字滤波器设计 2 2 高通滤波器的设计高通滤波器的设计把低通滤波器

33、的零、极点位置互换，可以得到高通数字滤波器的系统函数为 （6-51） 如设高通滤波器的截止频率为2， 同样可以推得 （6-52） 第六章 数字滤波器设计 3 3 带阻滤波器的设计带阻滤波器的设计如果把低通和高通滤波器联立起来， 即可得到相应的带阻滤波器， 其系统函数为 （6-53） 若1为带阻滤波器起始频率，2为带阻滤波器截止频率， 据此可得 （6-54a） （6-54b ） 第六章 数字滤波器设计 阻带的中心频率0也可由下式决定： （6-55） 前面给出了简单滤波器单个零、极点对的设置。单个零、极点得到的性能一般比较差，常常需要多个零、极点才能得到比较好的性能。 另外，在确定零、 极点位置时

34、要注意： （1） 极点必须位于Z平面单位圆内， 以保证数字滤波器因果稳定； （2） 复数零、 极点必须共轭成对， 以保证系统函数有理式的系数是实的。 第六章 数字滤波器设计 例6.2阻带滤波器（陷波器）设计。实际应用中常要求滤除叠加在信号上的50 Hz交流电干扰，同时不改变接收信号中的其他频率分量，因此要求数字滤波器的希望的频率响应为 这里0=0T=2f0T，f0=50Hz是待滤去的干扰频率。 第六章 数字滤波器设计 要使某一频率0处频响幅值为零， 只要在z1=ej0和z2= e-j0处各安排一个零点, 而要使其他频率处频响幅值为1，则必须在上述零点附近各配上一个极点p1和p2 。这样，当z=

35、ej离开z1和z2在单位圆上移动时，从它到z1（和z2）的距离与从它到相应的极点p1（和p2）的距离近似相等，以满足|H(z)|1的要求。该H(z)有两个零点和两个极点， 因此是一个二阶IIR数字滤波器。 第六章 数字滤波器设计 一般来说，一个二阶IIR数字滤波器往往不能达到阻带特性要求，必要时可采用几个二阶滤波器的级联， 例如采用三个二阶滤波器级联组成六阶阻带滤波器。 此时三对零点重合， 而三对极点的几何位置分布在以零点为中心，为半径的小圆上。它的零、极点位置可取图6.13所示的分布， 其传输函数 其中 i=1, 2, 3第六章 数字滤波器设计 式中pi为图6.13所示的极点，而pi*为其共

36、轭极点。pi的数学表示式则为 第六章 数字滤波器设计 图6.13 阻带滤波器的零、 极点配置 第六章 数字滤波器设计 余下的问题是如何选择参数、1和2。1和2的数值对整个系统的频响影响不大，这里的1、2可选为/3左右。 对整个系统的影响较大，越小，频率响应越接近理想的情形，但太小会对计算中的舍入误差影响十分敏感，甚至会产生发散情况。 若用表示递归型滤波器ai和bi的计算精度，通常要求 具体数值可以通过试验确定（例如=10-2等）。 第六章 数字滤波器设计 零、极点累试法可以直接完成零、极点的配置, 也可以通过因式分解，将滤波器的系统函数分解为一系列二阶因式的乘积， 先单独对各个二阶因式进行零、

37、极点配置（每一个二阶因式对应一个阻带），然后将这些二阶因式级联起来就得到所需阻带特性的数字带通滤波器。后一种实现方法的性能可优于前一种方法。通过二阶因式的级联实现，还可把二阶因式做成标准单元，除了分子分母的系数不同以外，所有的单元都具有相同的结构。根据所要的滤波器阻带个数，只需级联相应的二阶单元就可以设计出符合要求的滤波器。这不仅简化了零、 极点的配置， 也增加了整个设计的灵活性。因此对于要求较高的设计，一般选择后一种设计方法。 第六章 数字滤波器设计 6.2.3 IIR数字滤波器优化设计数字滤波器优化设计 1. 1. 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计在频域利用幅度平方误差最小法直接设计I

38、IRIIR数字滤波数字滤波器器设IIR滤波器由k个二阶网络级联而成，其系统函数H(z)表示为 （6-56） 式中A, ai, bi, ci, di是待求的参数。 第六章 数字滤波器设计 设希望设计的滤波器频率响应为Hd(ej)。如果在（0，）区间取N点数字频率i(i=1, 2,N)，在这N点频率上， 实际滤波器与理想滤波器频率响应的幅度平方误差为 （6-57） 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR滤波器的思想是： 选择滤波器参数，在一组离散频率点i(i=1, 2, , N)上，使所设计的滤波器频率响应H(ej)与希望得到的频率响应Hd(ej)的均方误差最小。由于共有k个二阶网络，因此共有

39、4k+1个未知数， 令 第六章 数字滤波器设计 为求出使E最小的未知参数A和，我们令E对这些参数的偏导数等于零，即可得4k+1个方程 (6.58) 其中k是的第k个分量。利用上式给出的4k+1个方程，可得系数A和k(k=1, 2, , 4k）， 从而得到系统函数H(z)。 第六章 数字滤波器设计 求解这4k个非线性方程非常复杂，一般通过计算机迭代实现，步骤为：开始假设一组初始值，按照公式（6-58）确定A和使E最小的，然后继续迭代，直至E达到预定的要求时为止在上面的优化求解中，对系统的零、 极点未作任何要求， 因此最后得到的H(z)其零、极点可能位于单位圆外。 我们可先对参数不加限制用上述方法

40、求出系统的参数， 然后检验每一个二阶网络的极点，将位于单位圆外的极点1用1-1代替，则可将极点搬到单位圆内而保持滤波器的幅度特性不变。可以证明， 对于不稳定的极点作这样的校正后，并不影响滤波器的幅度特性。将所有不稳定的极点搬移到单位圆内以后， 还可再作最优化计算， 使均方误差进一步减小。 第六章 数字滤波器设计 2. 2. 时域最小均方误差设计时域最小均方误差设计我们接着讨论利用时域方法来设计一个IIR滤波器，使它的单位采样响应逼近我们所要求的单位采样响应。 设滤波器单位采样响应是因果的，即h(n)=0, nM （6-61a） （6-61b） 第六章 数字滤波器设计 由于hd(n)是已知的，若

41、由式（6-61b）先求出ai，再将ai代入式（6-61a）， 就可求出bi。 但式（6-61b）有无穷多个方程，而未知数ai只有N个,为了能够求解，可以限制n最大取为L， 若L=N+M， 则式（6-61b）有N个方程， 即 M+1nL （6-62） 求解线性方程组式（6-62），可求出ai(i=1, 2, , N)。 第六章 数字滤波器设计 如果LN+M+1，则方程个数大于未知数的个数。 这时我们可求式（6-61b）的最小二乘解， 即选均方误差为 （6-63） 我们以E最小为准则来选取ai(i=1,2, ,N)。 令 第六章 数字滤波器设计 有 i=1, 2, , N （6-64） 令 第六章 数字滤波器设计 则式（6-64）可写成 i=1, 2, , N （6-65） 式中有N个方程，N个未知数，因此由式（6-65）可求出ai(i=1, 2, ,N)。再由式（6-61a）求出bi(i=1,2, ,N)， 这样便得到了H(z)。 上述方法实质上是用一个有理函数去逼近一个幂级数的前L项。由于只考虑时域条件，因此当滤波器阻带衰减到40dB时， 这种方法便难以达到要求。但由该方法得到的滤波器系数， 可作为更完善的最优化算法的初始估计值。