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1、第二章第二章：控制系统的数学模型控制系统的数学模型授课人：李会军授课人：李会军中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军本章内容提纲本章内容提纲内容提纲内容提纲拉普拉斯变换的基本知识控制系统的数学模型控制系统的典型环节及其传递函数控制系统的结构图信号流图与梅森公式2中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾部分分式展开法部分分式展开法一般来说，象函数 是拉普拉斯算子 的有理代数分式，可以表示如下： 式中，系数 都是常实数， 是正整数，且 ，为了将 象函数写成部分分式形式，首先将 的分母进行因式分解：3中国矿业大学中国矿
2、业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾部分分式展开法部分分式展开法当 无重根象函数可以展开为 个简单部分分式之和，如下所示：式中， 为待定常数，称为 在极点 处的留数，计算公式如下： 其中， 是 对 的一阶导数 对象函数求拉氏变换，可得原函数为：4中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾部分分式展开法部分分式展开法 有重根假设 有 个重根 ，则 可以写为： 其中， 为 个重极点， 为 个非重极点； 为非重极点对应的待定常数系数，可按照无重根的方式求解：5中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李
3、会军李会军内容回顾内容回顾部分分式展开法部分分式展开法 为 个重极点对应的待定系数，可按如下方式求出：因此，原函数 为：6中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾从微分方程到传递函数从微分方程到传递函数线性定常连续系统的微分方程如下所示：其中， 是输出量， 是输入量；零初始条件下，拉式变换的微分定理为：在零初始条件下，对线性系统的微分方程进行拉式变换：7中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾从微分方程到传递函数从微分方程到传递函数传递函数定义：在零初始条件下，线性系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换
4、之比称为系统的传递函数，即： 称为系统输出量对输入量的传递函数利用传递函数，可将输出量的拉氏变换表示为输入量拉氏变换和传递函数之间的乘积8中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军内容回顾内容回顾特征方程与特征根特征方程与特征根传递函数的一般形式如下所示： 其中： 称为系统的特征方程，特征方程的解称为系统的特征根；特征方程决定着系统的动态特性；当 时， 称为系统的放大系数或增益； 9中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数一个完整的控制系统可以在逻辑上划分为若干个模块一个完整的控制系统可以在逻
5、辑上划分为若干个模块(环节环节)，控，控制系统中比较典型的环节有如下几个：制系统中比较典型的环节有如下几个：比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节二阶微分环节振荡环节延迟环节10中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数比例环节比例环节比例环节比例环节(又称又称放大环节放大环节)特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象；运动方程： ，其中 称为放大系数，一般来讲都是有量纲的；传递函数： ，其中 分别为 的拉氏变换；框图：11中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传
6、递函数典型环节及其传递函数比例环节比例环节比例环节示例比例环节示例示例1：求取电位计输出电压对转动弧度的传递函数输入量： 转动角度输出量： 输出电压 恒定电压运动方程：传递函数： 其中： 为比例系数，量纲为伏/弧度12中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数比例环节比例环节比例环节示例比例环节示例示例2：求齿轮系统的传递函数主动齿轮齿数被动齿轮齿数输入量：转速输出量：转速运动方程：传递函数：13中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数比例环节比例环节比
7、例环节示例比例环节示例示例3：其它的一些比例环节14中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数理想微分环节理想微分环节理想微分环节理想微分环节特点：在系统动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度运动方程：传递函数：框图：15中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数理想微分环节理想微分环节理想微分环节示例理想微分环节示例示例4：求解输出电压 对输入电压 的传递函数解：根据基尔霍夫定律，可以列写系统的微分方程：消去中间变量 ，可得系统微分方程：对系统微分方程
8、进行拉式变换：得到系统的传递函数：假设： ，当 时系统的传递函数可以写成：16中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数积分环节积分环节积分环节积分环节特点：输出量的变化速度和输入量成正比(另一种说法，输出量和输入量的积分成正比)运动方程：传递函数：框图：17中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数积分环节积分环节积分环节示例积分环节示例示例5：求电路输出电压 对输入电压 的传递函数解：根据运算放大器“虚短”、“虚断”的电路特性，可写出系统的微分方程如下
9、所示：对系统的微分方程进行拉式变换： 可得系统的传递函数如下：18中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节(又叫又叫惰性环节惰性环节)特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入信号来说，输出信号不能立即复现，存在时间上的延迟(通俗来讲，就是反应迟钝)；运动方程：传递函数：框图：19中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数惯性环节惯性环节惯性环节示例惯性环节示例示例6：RC充电电路RC充电电路的微分方程：系统的
10、微分方程：进行拉普拉斯变换：RC充电电路的传递函数： 是电路的时间常数， 越小，充电越快；20中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数惯性环节惯性环节惯性环节示例惯性环节示例示例7：求单容水槽的液位变化量对调节阀开度变化量的传递函数 水流入量；水流出量； 调节阀开度；水位高度； 槽内水量；槽截面积； 液阻；流量系数；流入量与流出量之差：阀门开度与流入量之间的关系：流出量与液面高度之间的关系：21中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数惯性环节惯性环节惯
11、性环节示例惯性环节示例整理(1)(2)(3)式，可得系统微分方程如下：对(4)进行拉普拉斯变换：可得传递函数如下：22中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数振荡环节振荡环节振荡环节振荡环节特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质；运动方程：传递函数：框图： 其中， 是阻尼比， 是振荡环节的时间常数23中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数振荡环节振荡环节振荡环节示例振荡环节示例示例8：RLC
12、电路RLC电路的微分方程如下：根据电容和电感的性质，有：可得微分方程如下：对微分方程进行拉式变换：可得传递函数：24中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数振荡环节振荡环节振荡环节示例振荡环节示例示例9：机械振荡系统滑块位移对外部作用力的传递函数 外作用力；滑块位移； 滑块质量；弹簧弹性系数； 粘性摩擦系数；机械系统的微分方程如下：对微分方程进行拉式变换：系统的传递函数：25中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节：
13、一阶微分环节：特点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且还与输入量的变化率有关；运动方程：传递函数：框图：一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数频率特性是惯性环节的倒数26中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节特点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关；运动方程：传递函数：框图：可以看出，二阶微分环节的传递函数是振荡环节的倒数可以看出，二阶微分环节的传递函数
14、是振荡环节的倒数27中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数延迟环节延迟环节延迟环节延迟环节特点：经过一个固定时间，输出信号才能复现输入信号(任何系统都有延迟，只不过延迟时间不同而已)运动方程：传递函数：框图：在实际中，大量系统都存在滞后，当滞后不严重时，常忽略。但延迟较大在实际中，大量系统都存在滞后，当滞后不严重时，常忽略。但延迟较大时，不可忽略。时，不可忽略。28中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数延迟环节延迟环节延迟环节示例延迟环节示例示例1
15、0：有延迟的单容水槽无延迟单容水槽的微分方程为：当系统具有延迟特性时，相当于调节作用 经过一个长度为 的时间延迟之后，才对系统起作用，所以系统的微分方程为：经过拉氏变换之后，可得传递函数：29中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数小结小结小结小结不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数； 例如：振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传例如：振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同递函数的形式完全相同同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传
16、递函数； 例如，对于电容来讲：输入例如，对于电容来讲：输入-电流，输出电流，输出-电压，则是积分环节；反之，输电压，则是积分环节；反之，输入入-电压，输出电压，输出-电流，则为微分环节。电流，则为微分环节。30中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数小结小结小结小结延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入；31中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军课后作业课后作业课后习题：课后习题：2-2，2-6，2-7，2-932
