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1、抛物线及其标准方程（一）抛物线及其标准方程（一）抛物线及其标准方程（一）抛物线及其标准方程（一）吉水县第二中学吉水县第二中学 刘建华刘建华 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。喷泉的纵截面都是抛物线。我们在哪些地方见过或研究过抛物线？我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球
2、的运动轨迹；知识回顾知识回顾赵州桥赵州桥抛物线的抛物线的抛物线的抛物线的画法画法画法画法数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语） 平面内与一个定点平面内与一个定点平面内与一个定点平面内与一个定点F F F F和一条定直线和一条定直线和一条定直线和一条定直线l l(l (l不过不过不过不过F)F)的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛抛抛抛物线物线物线物线. . . . 定点定点定点定点
3、 F F F F 叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点焦点焦点, , , , 定直线定直线定直线定直线 l l 叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线准线准线. . . . 1.1.抛物线的定义抛物线的定义FMlN 几何关系式几何关系式代数关系式代数关系式解析法解析法解析法解析法求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤是怎样的？是怎样的？2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程lFMN建系建系列式列式化简化简证明证明设点设点 设一个定点设一个定点F F到一条定直线到一条定直线l的距离为常数的距离为常数p p (p0)，如何建立直角坐标系如何建立直角坐标系, ,
4、求出抛物线的方程呢求出抛物线的方程呢？2-1.抛物线的标准方程的推导抛物线的标准方程的推导FMlNKyoFMNx解法一：以解法一：以l为为y轴，过点且垂直于轴，过点且垂直于l的直线为的直线为x轴轴建立直角坐标系，则点（建立直角坐标系，则点（p ,）设动点（设动点（x,y),由抛物线定义得由抛物线定义得解法二：以定点为原点，过点且垂直于解法二：以定点为原点，过点且垂直于l的直的直线为线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.yKFMNx设动点（设动点（x,y),由抛物线定义得由抛物线定义得则点（则点（0 ,）, l 的方程为的方程为x= - p l设动点（设动点（x,y),由抛物线定义得由抛物线定
5、义得则点（则点（ ,），），l的方程为的方程为 yKFMNoxl 解法三：取过点且垂直于解法三：取过点且垂直于l 的直线为的直线为x轴，轴，x轴轴与与l交于，以线段的垂直平分线为交于，以线段的垂直平分线为y轴建立直角轴建立直角坐标系，坐标系， 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做抛物线的抛物线的标准方程标准方程.其中其中 p p 为正常数，它的几何为正常数，它的几何意义是意义是: :焦点到准线的距离焦点到准线的距离. .2-2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程KFMNoyx对“标准”的理解 一般地，我们把一般地，我们把一般地，我们把一般地，我们把顶点在原点、焦点顶点在原点、焦点顶点在原点
6、、焦点顶点在原点、焦点F F 在坐标轴在坐标轴在坐标轴在坐标轴上上上上的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的的抛物线的方程叫做抛物线的标准标准标准标准方程方程方程方程. . 但但但但是是是是，一一一一条条条条抛抛抛抛物物物物线线线线，由由由由于于于于它它它它在在在在坐坐坐坐标标标标平平平平面面面面内内内内的的的的位位位位置置置置不不不不同同同同，方方方方程程程程也也也也不不不不同同同同，所所所所以以以以抛抛抛抛物物物物线线线线的的的的标标标标准准准准方方方方程程程程还还还还有其它形式有其它形式有其它形式有其它形式. . . .yKFMNoxFMlNy2
7、= 2px（p0）2-3.抛物线标准方程的其他形式抛物线标准方程的其他形式KFMNoyxFMlNFMlNFMlNy yx xo o图象图象图象图象开口方向开口方向开口方向开口方向标准方程标准方程标准方程标准方程焦点焦点焦点焦点准线准线准线准线向右向右向左向左向上向上向下向下yxoyxoyxoyxo、例题讲解：、例题讲解：例1 根据下列条件求抛物线的标准方程：（1） 已知抛物线的焦点坐标是（2）已知抛物线的准线方程是 解（1）设抛物线的标准方程为 其焦点坐标为 根据题意有 故 因此，标准方程为 (2)设抛物线的标准方程为 其标准方程为 由题意有 故因此标准方程为1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方
8、程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 y =0注意：求抛物线的焦点坐标一定要注意：求抛物线的焦点坐标一定要先把抛物线的方程化为标准形式先把抛物线的方程化为标准形式. .练习练习练习练习2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y或或 x2 = -4y.小结与作业小结与作业:作业：课本作业：课本 P37P37： 1 1，2 2，3 31 1、抛物线的定义和标准方程的推导；、抛物线的定义和标准方程的推导； 2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准线方程；线方程；3、数形结合的思想。、数形结合的思想。形（曲线位置特征）形（曲线位置特征）数（方程形式特征）数（方程形式特征）定位分析定位分析定量分析定量分析
