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1、矩阵矩阵1. 矩阵的定义矩阵的定义一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2021/8/612. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等: :同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律2021/8/62 A是是n 阶方阵，阶方阵， 方阵的幂
2、：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：三种基本计算方法三种基本计算方法满足满足: :2021/8/63解解2021/8/64转置矩阵转置矩阵: :一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . .满足：满足：对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：2021/8/65伴随矩阵：伴随矩阵：若若若若若若2021/8/663. 逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称
3、矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且2021/8/67满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法： （1）伴随矩阵法）伴随矩阵法（2）推论法）推论法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵202
4、1/8/685. 5. 初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换矩阵的等价：矩阵的等价：如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 与矩阵的相似、合同相互比较与矩阵的相似、合同相互比较定理：定理：左乘变行，右乘变列左乘变行，右乘变列2021/8
5、/69解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆可逆)矩阵方程矩阵方程解解2021/8/610、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等于0的子式的最高阶数。的子式的最高阶数。、秩的基本关系式：、秩的基本关系式：、关于秩的重要结论：、关于秩的重要结论：6、矩阵的秩2021/8/611、秩的求法：、秩的求法：1）初等变法：）初等变法：2）若）若P可逆，则可逆，则4 )当当 时，时，5 )有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为02021/8/612例题例题2 2 设设 A、B 都是都是 n 阶方阵，则阶方阵，则 e2021/8/613解解2021/8/614解：解
6、：R(A)=22021/8/615例例5解解2021/8/616一一. 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1. 向量间的线性运算：加法、数乘。向量间的线性运算：加法、数乘。2. 线性组合、线性表示线性组合、线性表示(1) 判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示的常用方法线性表示的常用方法方法方法1：向量组的线性相关性向量组的线性相关性是否非零无要求是否非零无要求 关键：存在某组关键：存在某组 使上式成立，使上式成立，2021/8/617(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论结论1： 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示结论结
7、论2： 若向量组若向量组线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示，且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：证下列非齐次线性方程组有解证下列非齐次线性方程组有解即：即：利用矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵行最简形矩阵2021/8/6183. 线性相关性的判别方法线性相关性的判别方法(1) 一般方法：设数一般方法：设数使得使得成立成立求系数是有非零解还是只有零解的问题。求系数是有非零解还是只有零解的问题。(2) 利用向量组的秩判断：利用向量组的秩判断：设向量组设向量组的秩为的秩为当当 时，时， 线性相关；线性
8、相关；当当 时，时， 线性无关。线性无关。(3) 利用常用结论：利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关个非零向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例2021/8/6194. 最大无关组的选取或证明最大无关组的选取或证明(1) 初等变换法（最常用）初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，的一个极大无关组，例例6：求向量组求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。并把其余向量用该极大无关组线性表示。n1个个n维向量线性相关。维
9、向量线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。短的无关，长的也无关；短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。长的相关，短的也相关。2021/8/620解：解：是一个极大无关组是一个极大无关组并且并且考虑：还有那些极大无关组？考虑：还有那些极大无关组？初等行变换初等行变换2021/8/621二二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。初等变换后，看非零行的行数。三三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组）若
10、向量组可以由向量组可以由向量组线性表示，则线性表示，则那么那么 线性相关。线性相关。(3)(3)(三秩相等三秩相等) ) 矩阵矩阵A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。（2）若向量组）若向量组 可以由向量组可以由向量组线性表示，并且线性表示，并且2021/8/622向量空间的概念：向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基，维数和坐标；向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）； 求向量在给定基底下的坐
11、标。求向量在给定基底下的坐标。四四. 向量空间向量空间2021/8/623五五. 正交化与正交矩阵正交化与正交矩阵1. 正交化、单位化正交化、单位化2. 正交矩阵正交矩阵的的n个列（行）向量组为单位正交向量组个列（行）向量组为单位正交向量组也是正交矩阵也是正交矩阵是正交矩阵，则是正交矩阵，则 也是正交矩阵也是正交矩阵2021/8/624定理1 设有非齐次线性方程组(1)定理2 设有齐次线性方程组（2）设r(A)=r,则线性方程组的解法与解的结构2021/8/625定理1 设有齐次线性方程组（2）方程组的通解、基础解系2021/8/626定理2 设有非齐次线性方程组（1）2021/8/627例例
12、7 7、 解解1）是；2）2021/8/6283）由（2）即得条件2021/8/6291 1、特征值的求法、特征值的求法2 2、特征向量的求法、特征向量的求法特征值和特征向量特征值和特征向量3、对角化、对角化看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵方阵 与对角矩阵与对角矩阵 相似的条件相似的条件: :充要条件充要条件: :充分条件充分条件: : 有有n 个个不同特征值不同特征值; ;或或 A为实对称矩阵为实对称矩阵2021/8/630填空题填空题已知三阶方阵已知三阶方阵的三个特征值为，则的三个特征值为，则| |A| |（ ），），的特征值为（的特征值为（ ），）
13、，的特征值为（的特征值为（ ），），的特征值为（的特征值为（ ）设设k=0，k是正整数，则是正整数，则的特征值为（的特征值为（ ） 若若，则，则的特征值为（的特征值为（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 12021/8/6314设设A是是3阶方阵，已知方阵阶方阵，已知方阵，都不可逆，则都不可逆，则的特征值为（的特征值为（ ）已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值为，的特征值为，则则（ ）。）。1, -1, 3-722021/8/632例例8 8（1）求）求设设相似于相似于（1）由性质）由性质（2）（2）解解2021/8/633例例92021/8/634二次型二次型1、利用正交变换化为标准形的过程；、利用正交变换化为标准形的过程；2、正定矩阵的判别方法：、正定矩阵的判别方法： 定义法；定义法； 利用特征值全大于零；利用特征值全大于零； 顺序主子式全大于零。顺序主子式全大于零。二次型化为标准形二次型化为标准形的矩阵的矩阵 与对角矩阵与对角矩阵 合同合同. .求正交变换求正交变换化二次型为标准形化二次型为标准形找正交矩阵找正交矩阵, ,使使2021/8/635
