高中数学人教A版必修一课件：1.1.3　集合的基本运算 第二课时　补集及综合应用

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1、第二课时补集及综合应用第二课时补集及综合应用目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解全集、补集的含义理解全集、补集的含义, ,会求给定集合的补集会求给定集合的补集. .2.2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题能够解决交集、并集、补集的综合运算问题. .3.3.能借助能借助VennVenn图图, ,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题题. .素养达成素养达成通过本节内容的学习通过本节内容的学习, ,使学生体会数形结合思想及补集思想的使学生体会数形结合思想及补集思想的应用应用, ,提高学生数学运算和分析的能力提高学生数学运算和分析的能力. .新知

2、探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成【情境导学情境导学】 导入一导入一相对于某个集合相对于某个集合U,U,其子集中的元素是其子集中的元素是U U中的一部分中的一部分, ,那么剩余的元素那么剩余的元素也应构成一个集合也应构成一个集合, ,这两个集合对于这两个集合对于U U构成了相对关系构成了相对关系, ,这就验证了这就验证了“事物都事物都是对立和统一的关系是对立和统一的关系”. .集合中的部分元素构成的集合与集合集合中的部分元素构成的集合与集合U U之间的关系就之间的关系就是部分与整体的关系是部分与整体的关系. .这就是本节研究的内容这就是本节研究的内容补集和全集补集和全

3、集. .导入二导入二U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=1,2,3.U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=1,2,3.想一想想一想1 1: :在导入一中在导入一中, ,如果我们研究的集合中如果我们研究的集合中, ,所有元素都在集合所有元素都在集合U U中中, ,能否规能否规定集合定集合U U为全集为全集? ?( (可以可以) )想一想想一想2:2:导入二中导入二中, ,由集合由集合U U中去掉属于集合中去掉属于集合A A的元素的元素, ,剩余元素构成的新集合剩余元素构成的新集合是什么是什么? ?(4,5,6,7,8)(4,5,6,7,8)自然语言自然语言对于一个集合对于一个集合A,A,由

4、全集由全集U U中中 的所有元素组的所有元素组成的集合称为集合成的集合称为集合A A相对于全集相对于全集U U的补集的补集, ,记作记作 . .符号语言符号语言 U UA=A= . .图形语言图形语言1.1.全集全集一般地一般地, ,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 , ,那么就称这那么就称这个集合为全集个集合为全集. .通常记作通常记作 . .2.2.补集补集所有元素所有元素知识探究知识探究U U不属于集合不属于集合A A U UA Ax|xU,x|xU,且且x x AA探究探究: :若集合若集合A A是全集是全集U U的子集的子集,xU,xU,则

5、则x x与集合与集合A A的关系有几种的关系有几种? ?答案答案: :若若xU,xU,则则xAxA或或xx U UA,A,二者必居其一二者必居其一. .【拓展延伸拓展延伸】德德摩根定律摩根定律设集合设集合U U为全集为全集, ,集合集合A,BA,B是集合是集合U U的子集的子集. .(1)(1)如图如图(1),(1), U U(AB)=(AB)=( U UA)(A)( U UB);B);(2)(2)如图如图(2(2),), U U(AB)=(AB)=( U UA)(A)( U UB).B).上面两组集合的相等关系上面两组集合的相等关系, ,可以通过可以通过VennVenn图清楚明了地表示出来图

6、清楚明了地表示出来, ,因此因此, ,我们我们应学会用应学会用VennVenn图处理有关集合的问题图处理有关集合的问题. .1.1.( (补集定义补集定义) )若若B=B= U UA,A,则则( ( ) )(A)A(A)AB B(B)B(B)BA A(C)A(C)AU U(D)A=B(D)A=BC C自我检测自我检测解析解析: :由题意知由题意知 U U A=2,4,7,A=2,4,7,选选C.C.2.2.( (补集运算补集运算) )已知全集已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,U=1,2,3,4,5,6,7,集合集合A=1,3,5,6,A=1,3,5,6,则则 U U A A等于等于( (

7、 ) )(A)1,3,5,6(A)1,3,5,6(B)2,3,7(B)2,3,7(C)2,4,7(C)2,4,7 (D)2,5,7 (D)2,5,7C C3.3.( (补集运算补集运算) )已知全集为已知全集为R R, ,集合集合A=x|x1,A=x|x1,那么集合那么集合 R RA A等于等于( ( ) )(A)x|x1(A)x|x1 (B)x|x-1(B)x|x-1(C)x|x1(C)x|x1 (D)x|x-1(D)x|x-1C C4.4.( (补集运算补集运算) )已知全集已知全集U=U=R R,A=x|x0,B=x|x1,A=x|x0,B=x|x1,则集合则集合 U U(AB)(AB)

8、等于等于( ( ) )(A)x|x0(A)x|x0(B)x|x1(B)x|x1(C)x|0x1(C)x|0x1(D)x|0x1(D)x|0x1D D解析解析: :AB=x|x0AB=x|x0或或x1,x1,所以所以 U U(AB)=x|0x1.(AB)=x|0x1.故选故选D.D.答案答案: :x|-3x0x|-3x0或或2x32x3x|0x1x|0x1x|-3x1x|-3x1或或2x32x35.(5.(综合运算综合运算) )已知集合已知集合U=x|-3x3,M=x|-1x1,U=x|-3x3,M=x|-1x1, U UN=x|0x2,N=x|0x2,那么集合那么集合N=N=,M(,M( U

9、UN)=N)=,MN=,MN=. .题型一题型一补集的运算补集的运算【例例1 1】 (1)(1)已知全集为已知全集为U,U,集合集合A=1,3,5,7,A=1,3,5,7, U UA=2,4,6,A=2,4,6, U UB=1,4,6,B=1,4,6,则则集合集合B=B=; ;课堂探究课堂探究素养提升素养提升解析解析: :(1)(1)法一法一因为因为A=1,3,5,7,A=1,3,5,7, U UA=2,4,6,A=2,4,6,所以所以U=1,2,3,4,5,6,7.U=1,2,3,4,5,6,7.又又 U UB=1,4,6,B=1,4,6,所以所以B=2,3,5,7.B=2,3,5,7.法二

10、法二满足题意的满足题意的VennVenn图如图所示图如图所示. .由图可知由图可知B=2,3,5,7.B=2,3,5,7.答案答案: :(1)2,3,5,7(1)2,3,5,7(2)(2)已知全集已知全集U=x|x5,U=x|x5,集合集合A=x|-3x5,A=x|-3x5,则则 U UA=A=. .解析解析: :(2)(2)将集合将集合U U和集合和集合A A分别表示在数轴上分别表示在数轴上, ,如图所示如图所示. .由补集的定义可知由补集的定义可知 U UA=x|x-3A=x|x-3或或x=5.x=5.答案答案: :(2)x|x-3(2)x|x0,A=x|2x0,A=x|2x6,则则 U

11、UA=A=. .解析解析: :(1)(1)因为因为A=xA=xN N* *|x6=1,2,3,4,5,6,B=2,4,|x6=1,2,3,4,5,6,B=2,4,所以所以 A AB=1,3,B=1,3,5,6.5,6.故选故选C.C.( (2)2)如图如图, ,分别在数轴上表示两集合分别在数轴上表示两集合, ,则由补集的定义可知则由补集的定义可知, , U UA=x|0x2,A=x|0x2,或或x6.x6.答案答案: :(1)C(1)C(2)x|0x2,(2)x|0x2,或或x6x6题型二题型二 集合的交、并、补的综合运算集合的交、并、补的综合运算【例例2 2】 (1) (1)已知已知U=1,

12、2,3,4,5,6,7,8,A=3,4,5,B=4,7,8,U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=3,4,5,B=4,7,8,求求:(:( U UA)(A)( U UB),B),A(A( U UB),(B),( U UA)B;A)B;解解: :(1)(1)法一法一因为因为 U UA=1,2,6,7,8,A=1,2,6,7,8, U UB=1,2,3,5,6,B=1,2,3,5,6,所以所以( ( U UA)(A)( U UB)=1,2,6,A(B)=1,2,6,A( U UB)=3,5,B)=3,5,( ( U UA)B=1,2,4,6,7,8.A)B=1,2,4,6,7,8.法二法二画出画

13、出VennVenn图图, ,如图所示如图所示, ,可得可得( ( U UA)(A)( U UB)=1,2,6,B)=1,2,6,A(A( U UB)=3,5,B)=3,5,( ( U UA)B=1,2,4,6,7,8.A)B=1,2,4,6,7,8.(2)(2)设全集为设全集为R R,A=x|3x7,B=x|2x10,A=x|3x7,B=x|2x10,求求 R RB,B, R R( (AB)AB)及及( ( R RA)B.A)B.解解: :(2)(2)把集合把集合A,BA,B在数轴上表示如下在数轴上表示如下: :由图知由图知 R RB=x|x2B=x|x2或或x10,AB=x|2x10,x10

14、,AB=x|2x10,所以所以 R R(AB)=x|x2,(AB)=x|x2,或或x10.x10.因为因为 R RA=x|x3,A=x|x3,或或x7,x7,所以所以( ( R RA)B=x|2x3,A)B=x|2x3,或或7x10.7x10.误区警示误区警示 (1)(1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情况利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情况的变化的变化. .即时训练即时训练2 2- -1:1:(1)(1)设全集设全集U=1,2,3,4,5,U=1,2,3,4,5,若若AB=2,(AB=2,( U U A)B=4,( A)B=4,( U U A) A)( U

15、U B)=1,5, B)=1,5,则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( () )(A)3(A)3 A,3A,3 B B (B)3 (B)3 A,3BA,3B(C)3A,3(C)3A,3 B B(D)3A,3B(D)3A,3B解析解析: :(1)(1)由由VennVenn图可知图可知,3A,3,3A,3 B,B,故选故选C.C.(2)(2)如图所示如图所示,U,U是全集是全集,A,B,A,B是是U U的子集的子集, ,则阴影部分所表示的集合是则阴影部分所表示的集合是( () )(A)AB(A)AB (B)AB(B)AB(C)B(C)B( U U A) A)(D)A(D)A( U U B)

16、B)(3)(3)集合集合S=xS=xN N* *|-2x9,M=3,4,5,P=1,3,6,|-2x9,M=3,4,5,P=1,3,6,则则2,7,82,7,8是是( () )(A)MP(A)MP (B)MP (B)MP(C)(C)( S SM)(M)( S SP)P)(D)(D)( S SM)(M)( S SP)P)解析解析: :(2)(2)由由VennVenn图可知阴影部分为图可知阴影部分为B(B( U U A). A).故选故选C.C.(3)(3) S SM=1,2,6,7,8,M=1,2,6,7,8, S SP=2,4,5,7,8,P=2,4,5,7,8,所以所以2,7,8=(2,7,

17、8=( S SM)(M)( S SP).P).故选故选D.D.【备用例备用例1 1】 已知集合已知集合A=x|2x-40,B=x|0x5,A=x|2x-40,B=x|0x5,全集全集U=U=R R, ,求求: :(1)AB;(1)AB;(2)(2)( U UA)B.A)B.解解: :A=x|2x-40=x|x2,B=x|0x5,A=x|2x-40=x|x2,B=x|0x5,(1)AB=x|0x2.(1)AB=x|0x2.(2)(2)因为因为A=x|x2,A=x|x2,全集全集U=U=R R, ,所以所以 U UA=x|x2,A=x|x2,则则( ( U UA)B=x|2x5.A)B=x|2x5

18、.题型三题型三 补集的综合应用补集的综合应用【例例3 3】 设全集为设全集为R R, ,集合集合A=x|axa+3,A=x|axa+3, R RB=x|-1x5.B=x|-1x5.(1)(1)若若AB ,AB ,求求a a的取值范围的取值范围; (2); (2)若若ABA,ABA,求求a a的取值范围的取值范围. .(2)(2)假设假设AB=A,AB=A,则则A AB,B,结合数轴得结合数轴得a+3-1,a+35,a5,即即a-4,a5.a5.所以当所以当ABAABA时时,a,a的取值范围是的取值范围是a|-4a5.a|-4a5.变式探究变式探究: :若本题若本题(2)(2)改为改为AA R

19、RBA,BA,求求a a的取值范围的取值范围. .方法技巧方法技巧 求解一些与不等式有关的集合问题时求解一些与不等式有关的集合问题时, ,若不易直接求解若不易直接求解, ,或或者较难分析者较难分析, ,可利用可利用“正难则反正难则反”的思想转化的思想转化. .“正难则反正难则反”策略运用的策略运用的是补集思想是补集思想, ,即已知全集即已知全集U,U,求子集求子集A,A,若直接求若直接求A A困难困难, ,可先求可先求 U UA,A,再由再由 U U( ( U UA)=AA)=A求求A.A.即时训练即时训练3 3- -1:1:已知集合已知集合A=x|(x+2)(x-5)0,B=x|mx0,B=

20、x|mxm+1,且且B B( ( R RA),A),则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. .答案答案: :m|-2m4m|-2m4【备用例【备用例2 2】 设全集设全集I=I=R R, ,已知集合已知集合M=x|(x+3)M=x|(x+3)2 20,N=x|x0,N=x|x2 2+x-6=0.+x-6=0.(1)(1)求求( ( I I M)N; M)N;(2)(2)记集合记集合A=(A=( I I M)N, M)N,已知集合已知集合B=x|a-1x5-a,aB=x|a-1x5-a,aR R,若若AB=A,AB=A,求实数求实数a a的取的取值范围值范围. .解解: :(1)(1)因为

21、因为M=x|(x+3)M=x|(x+3)2 20=-3,N=x|x0=-3,N=x|x2 2+x-6=0=-3,2,+x-6=0=-3,2,所以所以 I I M=x|x M=x|xR R且且x-3,x-3,所以所以( ( I I M)N=2. M)N=2.题型四题型四易错辨析易错辨析概念认识不到位致误概念认识不到位致误错解错解: :因为因为 U UA=5,A=5,所以所以5U,5U,且且5 5 A,A,所以所以a a2 2+2a-3=5,+2a-3=5,且且|2a-1|5,|2a-1|5,解得解得a=2a=2或或a=-4.a=-4.故实数故实数a a的值为的值为2 2或或-4.-4.纠错纠错: :以上求解过程忽略了验证以上求解过程忽略了验证“A AU U”这一隐含条件这一隐含条件. .【例例4 4】 设全集设全集U=2,3,aU=2,3,a2 2+2a-3,A=|2a-1|,2,+2a-3,A=|2a-1|,2, U UA=5,A=5,求实数求实数a a的值的值. .即时训练即时训练4 4- -1:1:已知全集已知全集U=2,4,-(a-3)U=2,4,-(a-3)2 2,集合集合A=2,aA=2,a2 2-a+2,-a+2,若若 U UA=-1,A=-1,求实数求实数a a的值的值. .点击进入点击进入课时作业课时作业点击进入点击进入周练卷周练卷