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1、 三角形的中位线三角形的中位线6.4三角形的中位线定理三角形的中位线定理 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同形状大小相同，请设计合理的解决方案。请设计合理的解决方案。温馨提示温馨提示连结三角形连结三角形两边中点两边中点的线段叫的线段叫三角形的中位线三角形的中位线三角形有三角形有三三条中位线条中位线三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同EDFACB获取新知获取新知你还能画出几条三角形的中位线？你还能画出几条三角形的中位线？ （1 1）相同之处相同之处都和都和边的边的
2、中点中点有关；有关；（2 2）不同之处：）不同之处： 三角形中位线三角形中位线的的两个端点两个端点都是都是边的中点边的中点； 三角形中线三角形中线只有只有一个端点一个端点是是边的中点，边的中点，另一另一端点是三角形的顶点。端点是三角形的顶点。CBAED概念对比概念对比CBAD中线中线DCDC中位线中位线DEDE 理解三角形的中位理解三角形的中位线定义的两层含义线定义的两层含义: : 如果如果DEDE为为ABCABC的中位线，那么的中位线，那么 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的的 。 如果如果D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点，的中点， 那么那么DEDE为为ABCA
3、BC的的 ；CBAED中位线中位线中点中点猜一猜：猜一猜： ABC的中位线的中位线DE与与BC的的关系怎样？（从位置和数量关系怎样？（从位置和数量关系猜想）关系猜想）获取新知获取新知DE BC,即：三角形的中位线即：三角形的中位线平行平行于第三边，于第三边，并且等于第三边的并且等于第三边的 一半。一半。你能验证你的猜想吗？你能验证你的猜想吗？A AB BC CD DE E已知：已知： 如图：在如图：在ABC中，中，D是是AB的中点，的中点，E是是AC的中点。的中点。 求证：求证： DEBC,DE= BC.21DABCEF分析分析: 延长延长ED到到F,使使DF=ED , 连接连接CF 易证易证
4、ADECFE， 得得CF=AE , A= ACF 又可得又可得CF=BE,CF/BE 所以四边形所以四边形BCFE是平行四边形是平行四边形 则有则有DE/BC,DE= EF= BC 三角形的中位线三角形的中位线平行平行且且等于等于第三边的一半第三边的一半. .几何语言几何语言：DEDE是是ABCABC的中位线的中位线CEDBA 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用 途途ACBEDF初试身手初试身手若若ADE=65ADE=65，则，则B=B= 度，为什么？度，为什么？若若BC=8cmBC=8cm，则，则DE=DE= cmcm，为什
5、么？，为什么？65654 4若若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则则DEF的周长的周长=_.如图，在如图，在ABC中，中，D、E、F分别是分别是AB、AC、BC的中点的中点9cm9cm若若 ABC的周长为的周长为24， DEF的周长是的周长是_12121、 三角形三条中位线围成的三角三角形三条中位线围成的三角形的形的周长周长与原三角形的与原三角形的周长周长有什么有什么关系？关系？探究活动探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的、三角形三条中位线围成的三角形的面积面积与原三角与原三角形的形的面积面积有什么关系？有什么关系？图中有图中有_个平行四边形个平行四边形若若 ABC的面积为的
6、面积为24， DEF的面积是的面积是_3 36 6设设 计计 方方 案：案： F （中点）（中点）(中点中点)DE(中点中点)ABC A A、B B两点被池塘隔开，如何才两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？能知道它们之间的距离呢？M MN N 在在ABAB外选一点外选一点C C，连结，连结ACAC和和BCBC，并分别找出，并分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点M M、N N，如果测得，如果测得MN = 20mMN = 20m，那么，那么A A、B B两点的距离是多少？为什么？两点的距离是多少？为什么？C C C CB B B BA A A A2020202040404040如图所
7、示，已知四边形如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是分别是DC，BC上的点，上的点，E，F分别是分别是AP，RP的中点，当点的中点，当点P在在BC上从点上从点B向点向点C移动移动而点而点R不动时，不动时， 那么下列结论成立的是（那么下列结论成立的是（ ） A线段线段EF的长逐渐增大的长逐渐增大 B线段线段EF的长逐渐减少的长逐渐减少 C线段线段EF的长不变的长不变 D线段线段EF的长不能确定的长不能确定C初试身手初试身手初试身手初试身手在在ABC中，中，E、F、G、H分别为分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若的中点，若AD=3，BC=8，则四边形，则四边形EFGH的周长是的周长是 。
8、ABDCEFGH11 已知：在四边形ABCD中，ADBC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点 求证PMNPNM已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明。的形状并证明。ABCDEFGHE，F是是AB，BC的中点，你联想到什么？的中点，你联想到什么？ 要使要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？ 证明：如图，连接证明：如图，连接AC EF是是ABC的中位线的中位线同理得：同理得： 四边形四边形EFGH是平行四边形是
9、平行四边形典例示范典例示范 答：答： 四边形四边形EFGH为平行四边形。为平行四边形。例例1 1 求证三角形的一条中位线与第三边求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分上的中线互相平分已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，ADADDBDB，BEBEECEC，AFAFFCFC求证：求证：AEAE、DFDF互相平分互相平分C C例例: : 求证三角形的一条中位线与第三边求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分上的中线互相平分已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，ADADDBDB，BEBEECEC，AFAFFCFC求证：求证：AEAE、DFDF互相平分
10、互相平分证明证明 连结连结DEDE、EFEF ADADDBDB，BEBEECEC， DEACDEAC（三角形的中位线平行（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）于第三边并且等于第三边的一半）同理同理EFABEFAB四边形四边形ADEFADEF是平行四边形是平行四边形 AEAE、DFDF互相平分（平行四边形互相平分（平行四边形的对角线互相平分）的对角线互相平分） 例例3 3：已知：已知 ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交相交于点于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、OBOB、CDCD、ODOD的中点。求的中点。求 证：证：HEFHEF FGHFGH。
