《奥本海姆信号与系统13章重点讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥本海姆信号与系统13章重点讲解（145页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Course Status信号与系统信号与系统电路分析电路分析数学物理方法数学物理方法高等数学高等数学数字信号处理数字信号处理数字通信数字通信自动控制自动控制Teaching Purpose通过本课程的学习，使学生掌握信号分析与线性系统分析的基本理论及分析方法，能对工程中应用的简单系统建立数学模型，并对数学模型求解。为适应信息科学与技术的飞速发展，在相关专业领域的深入学习打下坚实的基础。同时，通过习题和实验，学生应在分析问题与解决问题的能力及实践技能方面有所提高。Teaching Request概念第一、方法第二、技巧第三根据个人定位按广度、深度分层次学习重视基本概念的思考注重物理概念与数学分
2、析之间的对照，不要盲目计算在掌握基本理论和基本方法上下功夫记笔记、记重点、记思路、记方法不强调复杂计算比较学习方法重视预习、复习、练习和章节小结这些学习环节做好作业与一定的习题量，做到熟能生巧Application Field计算机、通信、语音与图像处理电路设计、自动控制、雷达、电视声学、地震学、化学过程控制、交通运输经济预测、财务统计、市场信息、股市分析宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警电子出版、新闻传媒、影视制作远程教育、远程医疗、远程会议虚拟仪器、虚拟手术人体：Problem to solve两大模块： 信号与系统研究的对象：线性时不变系统(LTI)信号分析法：时域分析、频域分析、变
3、换域分析系统分析法：时域分析、频域分析、变换域分析信号的设计系统的设计Course Structure3条主线：1、连续时间信号与系统 & 离散时间信号与系统 2、时域分析 & 变换域分析(FT,LT,ZT)3、输入输出法 & 状态变量法Teaching Contents第1章 信号与系统 4 信号的描述；信号的自变量变换；基本连续时间信号；基本离散时间信号；系统的描述 第2章 线性时不变系统 4 信号的时域分解；卷积和；卷积积分；LTI系统的性质；LTI系统的微分、差分方程描述；LTI系统的方框图描述第3章 周期信号的傅立叶级数表示 4 连续时间付里叶级数；离散时间付里叶级数第4章 连续时间
4、傅立叶变换 62 连续时间付里叶变换；傅立叶变换的性质；LTI系统的频域分析第5章 离散时间傅立叶变换 6 离散时间付里叶变换；离散时间付里叶变换的性质；由线性常系数差分方程描述的系统的频率响应 第6章 信号与系统的时域和频域特性 6 连续时间付里叶变换的极坐标表示；理想低通滤波器；Bode图；一阶系统与二阶系统的分析方法第7章 采样 4 采样定理；重建信号；连续时间信号的离散处理；离散时间信号采样第8章 通信系统第9章 拉普拉斯变换 双边拉氏变换；拉氏反变换，拉氏变换的性质；利用拉氏变换分析LTI系统；单边拉氏变换第10章 Z变换 双边Z变换，ZZ反变换；Z变换的性质；利用Z变换分析LTI系
5、统；单边Z变换第11章 线性反馈系统概念与重要知识点 信号、信息、消息系统、信号能量与功率（如何求）信号分类：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期 信号与非周期信号、能量信号与功率信号、一维信号与多维信号、因果信号与反因果信号第一章信号与系统信号运算1、信号的算术运算：+-*/；2、信号的时间变换：反转、平移、尺度变换 典型信号（概念、性质、信号运算） ：阶跃函数、冲激函数、指数信号与正弦信号（欧拉公式、基波频率、能量、功率、周期性判断）系 统描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程；微分方程；描述离散动态系统的数学模型是描述离散动态系统的数学模型是差分方程。差
6、分方程。一、连续系统一、连续系统2. 2. 系统的框图描述系统的框图描述上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系：来说代表了某些运算关系：相相乘、微分、相加运算乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为关系，这样画出的图称为模拟框图模拟框图，简称，简称框图框图。基基本部件单元本部件单元有：有：积分器：积分器：加法器：加法器：数乘器：数乘器：积分器的抗干扰性积分器的抗干扰性比微分器好。比微分器好。系统模拟系统模拟：实际系统实际系统方程方程模拟
7、框图模拟框图实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画出框图。，画出框图。解解：将方程写为：将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t)例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。解解：设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x(t)x”(t)x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t)
8、二、离散系统二、离散系统1. 1. 解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。描述描述LTI离散系统的是离散系统的是线性常系数差分方程。线性常系数差分方程。2. 2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有：有：数乘器数乘器加法器加法器迟延单元（移位器）迟延单元（移位器）例例：已知框图，写出系统的差分方程。：已知框图，写出系统的差分方程。解：解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k-1)x(k-2)即即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-
9、2)消去消去x(k)，得，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2)方程方程框图框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法一、系统的定义一、系统的定义二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质、动态系统与即时系统动态系统与即时系统连续系统与离散系统连续系统与离散系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统例例判断下列系统是否
10、为线性系统？判断下列系统是否为线性系统？解：解：y(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；满足可分解性；Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(t),0+bTf2(t),0，满足零状态线性；，满足零状态线性；T0,ax1(0)+bx2(0)=e- -tax1(0)+bx2(0)=ae- -tx1(0)+be- -tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。所以，该系统为线性系统。5. 5. 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为满足时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。（1 1）时不变性质
11、）时不变性质T0，f(t)=yf(t)则有则有T0，f(t - -td)=yf(t - -td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为时不变性时不变性（或（或移位不变性移位不变性）。）。例例：判断下列系统是否为时不变系统？：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f(k)f(k 1)（2）yf(t)=t f(t)（3）yf(t)=f(t)解解(1)令令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd1)而而yf(k kd)=f(k kd)f(kkd1)显然显然T0，f(k kd)=yf(k kd)故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。(2)令令g(
12、t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而而yf(t td)=(t td) f(t td)显然显然T0，f(t td)yf(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。(3)令令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而而yf(t td)=f(t td)，显然，显然T0，f(t td)yf(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。直观判断方法：直观判断方法：若若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。系统为时变系统。本课程重点讨论本课程重点讨论: :线性时不变线性时不变(
13、LinearTime-Invariant)系统，简称系统，简称LTI系统。系统。（2 2）LTI连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性微分特性：微分特性：若若f (t)yzs(t)，则则f (t)y zs(t)积分特性：积分特性：若若f (t)yzs(t)，则则6. 6. 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统因果系统。即对因果系统，当即对因果系统，当tt0，f(t)=0时，有时，有tt0，yf(t)=0。如下列系统均为如下列系统均为因果系统因果系统：yf(t)=3f(t1)而下列系统为
14、而下列系统为非因果系统非因果系统：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因为，令因为，令t=1时，有时，有yf(1)=2f(2)因为，若因为，若f(t)=0，tt0，有，有yf(t)=f(2t)=0,t0；当当x(0-)=2，输入信号，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应时，全响应y2(t)=2et+3cos(t)，t0；求输入求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应y3f(t)。解解设当设当x(0)=1，输入因果信号，输入因果信号f1(t)时，系统的零输时，系统的零输入响应和零状态响应分别为入响应和零状态响应分别为y1x(t)、
15、y1f(t)。当。当x(0-)=2，输入信号，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状时，系统的零输入响应和零状态响应分别为态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。由题中条件，有由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=et+cos(t)，t0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=2et+3cos(t)，t0（2）根据线性系统的齐次性，根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（，代入式（2）得）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=2et+3cos(t)，t0（3）式式(3)2式式(1)，得，得y1f
16、(t)=4e-t+cos(t)，t0由于由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响的零状态响应，故当应，故当t0，y1f(t)=0；因此；因此y1f(t)可改写成可改写成y1f(t)=4e-t+cos(t)(t)(4)f1(t)y1f(t)=4e-t+cos(t)(t)根据根据LTI系统的微分特性系统的微分特性=3(t)+4e-tsin(t)(t)根据根据LTI系统的时不变特性系统的时不变特性f1(t1)y1f(t1)=4e-(t-1)+cos(t1)(t1)由线性性质，得：当输入由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t1)时，时，y3f(t)=
17、+2y1(t1)=3(t)+4e-tsin(t)(t)+24e-(t-1)+cos(t1)(t1)系统分析研究的系统分析研究的主要问题主要问题：对给定的具体系统，求：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。并求出解答。系统的系统的分析方法分析方法：输入输出法（外部法）输入输出法（外部法）状态变量法状态变量法（内部法）（内部法）（chp.8)外部法外部法时域分析（时域分析（chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)和和复频域法复频域法(5)离
18、散系统离散系统z域法域法（chp6)系统特性系统特性：系统函数系统函数（chp.7)三、三、LTI系统的分析方法系统的分析方法1.6 系统的性质系统的性质及分析方法及分析方法（1）把）把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求。分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。之和。求解的求解的基本思路基本思路：采用的数学工具：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和）卷积
19、积分与卷积和（2）傅里叶变换）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换）拉普拉斯变换（4）Z变换变换1.6 系统的性质及系统的性质及分析方法分析方法第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解
20、2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性 五、相关函数五、相关函数2.52.5* * P P算子分析法算子分析法 一、微分算子及系统描述一、微分算子及系统描述 二、零输入响应求解二、零输入响应求解 三、三、LTI连续系统的初始条件连续系统的初始条件 四、零状态响应的求解四、零状态响应的求解 五、由五、由H(P)H(P)求求h(t)h(t)一、冲激响应一、冲激响应由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单
21、位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)=T(t)，0由于由于(t)与与(t)为微积分关系，故为微积分关系，故LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析
22、例例3 3 如图所示的如图所示的LTILTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。系统，求其阶跃响应及冲激响应。解：解：（1 1）列写系统的微分方程）列写系统的微分方程（2 2）求阶跃响应）求阶跃响应（3 3）求冲激响应）求冲激响应验证结论（解法验证结论（解法II）：）：2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1. .信号的时域分解信号的时域分解2. .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t- -)h(t - -)f ()(t- -)由齐次性：由齐
23、次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：f (t)yf(t)卷积积分卷积积分3. .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t的函数。的函数。例例1：f (t)=et,（- -t)，h(t)=(6e- -2t1)(t)，求求yf(t)。解解：yf(t
24、)=f (t)*h(t)当当tt时，时，(t-)=0二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：t换为换为得得f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转f2()右移右移tf2(t-)（3）乘积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。例2 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)=h(t) * f (t) 。解 采用图解法求卷积 。 f (t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移tt 0时时,f (t - -)向左
25、移向左移f (t - -)h()=0，故故 yf(t)=00t 1时时,f (t - -)向右移向右移1t 2时时3t 时时f (t - -)h()=0，故故 yf(t)=0h(t)函数形式复杂函数形式复杂换元为换元为h()。f (t)换元换元f ()2t 3 时时0图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例3：f1(t)、f2(t)如图所示，已如图所示，已知知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？f1(- -)f1(2- -)解解：（1）换元）换元（
26、2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数一、卷积代数1 1 满足乘法的三律：满足乘法的三律：（1）交换律交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)（2）分配律分配律：
27、f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)（3）结合律结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)2. 2. 复合系统的冲激响应复合系统的冲激响应2.4 2.4 卷积积分的卷积积分的性质性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)证：证：f(t)*(tt0)=f(tt0)2.f(t)*(t)=f(t)证：证：f(t)*(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*(t)(t)*(t)=t(t)三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.证：上式证：上式=(n)(t)*f1(
28、t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)3.在在f1()=0或或f2(1)()=0的前提下，的前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)例例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求求f1(t)*f2(t)解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得f2(t)*f1(t)=注意：套用注意：套用f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0显然是错误的显然是错
29、误的。例例2：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)解法一解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)解解：f1(t)=(t)(t2)f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t2)*f2(t)(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若f(t)=f1(t)*f2(t)，则则f1(tt1)*f2(tt2)=f1(tt1t2)*f2(t)=f1(t)*f2(tt1t2)=f(tt1t2)前例前例：f1(t)如图如图,f
30、2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有利用时移特性，有(t2)*f2(t)=f2(-1)(t2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)例例：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)解解：f1(t)=2(t)2(t1)f2(t)=(t+1)(t1)f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t1)2(t1)*(t+1)2(t1)*(t1)由于由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t1)(t1)2t(t)2(t2)(t2)常见的卷积公式常见
31、的卷积公式求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。（1 1）解法I(定义)：例 求下列函数的卷积积分。解法II(图解)：解法IV(常用公式)：解法III(性质)：(2)(2)解解: :1 1、任意信
32、号作用下的零状态响应、任意信号作用下的零状态响应yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义： (t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t- -)h(t - -)f ()(t- -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：f (t)yf (t)四、零状态响应的求解四、零状态响应的求解卷积积分卷积积分第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应三、零输入响应 四、零状态响应四、零状态响应3.2 3.2 单位序
33、列和单位序列响应单位序列和单位序列响应 一、单位序列和单位阶跃序列一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应 3.3 3.3 卷积和卷积和 一、卷积和一、卷积和 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、卷积和的性质三、卷积和的性质* *3.4 3.4 离散系统的算子分析离散系统的算子分析一、一、E算子及方程算子及方程二、离散系统的零输入响应二、离散系统的零输入响应三、由三、由H(E)求求h(k) 四、求解零状态响应四、求解零状态响应3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程设有序列设有序列f(k)，则，则，f(k+2)
34、，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2),等称为等称为f(k)的的移位序列移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分差分运算。运算。1.差分运算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义： f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义： f(k)=f(k)f(k1)式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。（3）差分的线性性质差分的线性性质： af1(k)+bf2
35、(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义二阶差分定义： 2f(k)= f(k)= f(k)f(k-1)= f(k) f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2f(k-1)+f(k-2)（5）m m阶差分阶差分: : mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m)因此，可定义：因此，可定义：2.差分方程差分方程包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将。将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(
36、k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例例1：若描述某系统的差分方程为：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k1)+2y(k2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解解：y(k)=3y(k1)2y(k2)+f(k)y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10注：注：一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解。解。二、差分方程的经典解
37、二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次齐次解解和和特解特解两部分组成。齐次解用两部分组成。齐次解用yh(k)表示，特解用表示，特解用yp(k)表示，即表示，即y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解齐次解yh(k)齐次解齐次解是齐次差分方程是齐次差分方程y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0的解。的解。yh(k)的函数形式的函数形式由上述差分方程的由上述差分方程的特征根特征根确定。确定。（齐次解的函数形式见（齐次解的函数形式见P87P
38、87表表3-13-1）齐次方程齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0其其特征方程特征方程为为1+an-11+a0n=0，即，即n+an-1n1+a0=0其根其根i(i=1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。2.特解特解yp(k)特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P87P87表表3-23-2列列出了几种典型得出了几种典型得f(k)所对应的特解所对应的特解yp(k)。例例2 2：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k1)+4y(k2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；
39、激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。解解：特征方程为特征方程为2+4+4=0可解得特征根可解得特征根1=2=2，其齐次解，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(2)k特解为特解为yp(k)=P(2)k,k0代入差分方程得代入差分方程得P(2)k+4P(2)k1+4P(2)k2=f(k)=2k，解得解得P=1/4所以得特解：所以得特解：yp(k)=2k2,k0故全解为故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2,k0代入初始条件解得代入初始条件解得C1=1,C2=1/4三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应系统的全响应系统的全响应y(k)可
40、以分解为零输入响应可以分解为零输入响应yx(k)和零状和零状态响应态响应yf(k) 。y(k) = yx(k)+ yf(k)零输入响应和零状态响应可以零输入响应和零状态响应可以分别分别用经典法求解。用经典法求解。已知单输入已知单输入-单输出单输出LTI离散系统的激励为离散系统的激励为f(k)，其，其全响应为全响应为y(k)，那么，描述该系统激励，那么，描述该系统激励f(k)与响应与响应y(k)之间的关系的数学模型是之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，阶常系数线性差分方程，表示如下：表示如下：1. 1. 零输入响应零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，系统的激励为零，
41、仅由系统的初始状态引起的响应，称为称为零输入响应，零输入响应，用用yx(k)表示。表示。在零输入条件下，在零输入条件下，(1)式可化为式可化为齐次齐次方程：方程：通常，用通常，用y(-1)，y(-2)，y(-n)描述系统的描述系统的初始状态初始状态。一般设定激励是在一般设定激励是在k=0时刻接入系统的，在时刻接入系统的，在k0时时为零，因而在为零，因而在k0时，系统的单位序列响应与系统的时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列响应的问题转换为求解响应的问题转换为求解齐次方程齐次方程的问题。而的问题。而k=0处的处
42、的值值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。可按零状态的条件由差分方程确定。2.2.阶跃响应阶跃响应当当LTI系统的系统的激励激励为单位阶跃序列为单位阶跃序列(k)(k)时，系统时，系统的的零状态响应零状态响应称为称为阶跃响应阶跃响应，用，用g(k)表示。表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应得系统的单位阶跃响应g(k)。此外。此外由于由于由线性和移位不变性由线性和移位不变性由于由于那么那么例例1.求如图所示离散系统的单位序列响应求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响和阶跃响应应g(k)。解：解：（1）列写差分
43、方程，求初始值）列写差分方程，求初始值由加法器的输出可列出系统的方程为由加法器的输出可列出系统的方程为整理得：整理得：根据单位序列响应的定义，它应满足方程根据单位序列响应的定义，它应满足方程由由迭代迭代得：得：（2）求）求h(k)当当k0时，时，h(k)满足齐次方程满足齐次方程其其特征方程特征方程为：为：代入初始值得：代入初始值得：于是，系统的于是，系统的单位序列响应单位序列响应注意：注意：这时已将这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足的值代入，因而方程的解也满足k=0。由上式可解得：由上式可解得：（3）求）求g(k)根据阶跃响应的定义，它应满足方程根据阶跃响应的定义，它应满足方程由由迭
44、代迭代得：得：容易求得其特解为：容易求得其特解为：于是，得：于是，得：解法解法I代入初始值得：代入初始值得：于是，系统的于是，系统的阶跃响应阶跃响应由上式可解得：由上式可解得：考虑到考虑到k0，得：得：解法解法II由级数由级数求和公式求和公式得：得：3.3 3.3 卷积和卷积和3. .卷积和的定义卷积和的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和，则定义和为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量i 下进行的，下进行的，i
45、为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。若有两个序列若有两个序列f1(k)与与f2(k)，如果序列，如果序列f1(k)是因果序列，是因果序列，即有即有f1(k)=0,k0,则卷积和可改写为：则卷积和可改写为：若有两个序列若有两个序列f1(k)与与f2(k)，如果序列，如果序列f2(k)是因果序列，是因果序列，即有即有f2(k)=0,k0,则卷积和可改写为：则卷积和可改写为：如果序列如果序列f1(k)与与f2(k)均为因果序列，即若均为因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0,k0,则卷积和可写为：则卷积和可写为：例例1：f (k)=ak(k),h(k
46、)=bk(k)，求求yf (k)。解解：yf (k)=f (k)*h(k)当当ik时，时，(k-i)=0这种卷积和的计算方法称为这种卷积和的计算方法称为解析法。解析法。二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为五步五步：（1）换元换元：k换为换为i得得f1(i)，f2(i)；（2）反转反转：将将f2(i)以纵坐标为轴线反转，成为以纵坐标为轴线反转，成为f2(i)；（3）平移平移：将：将f2(i)沿沿i轴正方向平移轴正方向平移k个单位个单位f2(k i);（4）乘积乘积：f1(i)f2(ki);（5）求和求和：i 从从到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意注意：k 为参变量。
47、为参变量。下面举例说明。下面举例说明。例例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已如图所示，已知知f(k)=f1(k)*f2(k)，求，求f(2)=？解解：（1）换元）换元（2）f2(i)反转得反转得f2(i)（3）f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4）f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2)=4.5f2(i )f2(2i)解解：（1）换元，反转，得）换元，反转，得例例2 2 求求（2）平移，求平移，求（3）求）求四、卷积和的性质四、卷积和的性质1. 1. 满足乘法的三律满足乘法的三律(1)交换律：交换律：(2)分配律：分配律：(3)结合律：结合律：证明证明： ( (仅证明
48、交换律，其它类似。仅证明交换律，其它类似。) )2. 2. 复合系统的单位序列响应复合系统的单位序列响应3.f(k)*(k)=(k)*f(k)=f(k)，f(k)*(kk0)=f(kk0)4.f(k)*(k)=5.f1(kk1)*f2(k k2)=f1(kk1k2)*f2(k)6. f1(k)*f2(k)= f1(k)*f2(k)=f1(k)* f2(k)常用卷积和公式常用卷积和公式求求卷积和卷积和是本章的重点。是本章的重点。证明证明:例例1 解法解法I：（列表法）（列表法）解法解法II：（不进位乘法）：（不进位乘法）解法解法III：（图解法）（图解法）例例5:5:解：解：由复合系统各个子系统
49、之间的连接关系得由复合系统各个子系统之间的连接关系得:(3.21)解法解法IV：（解析法）（解析法）例例2 解：解：（1）求零输入响应：求零输入响应：零输入响应满足方程：零输入响应满足方程：方程方程特征根特征根为：为：上式的上式的特征方程特征方程：(P.1103.6(4)解以上两式得：解以上两式得：于是系统的于是系统的零输入响应零输入响应为：为：所以其齐次解为：所以其齐次解为：将将初始值初始值代入得：代入得：系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出非齐次方程的非齐次方程的齐次解齐次解和和特解特解，得，得（2）求零状态响应：）求零状态响应：零状态响应满
50、足方程零状态响应满足方程初始状态初始状态由（由（2）式得：）式得：迭代得：迭代得：（3）系统的全响应为：）系统的全响应为：解以上三式得：解以上三式得：于是系统的于是系统的零状态响应零状态响应为：为：例例3:3:解：解：(1)求系统的差分方程：求系统的差分方程：整理得：整理得：(P.1123.17)系统的系统的零状态响应零状态响应满足：满足：由由迭代迭代得：得：(2)求零状态响应的齐次解求零状态响应的齐次解差分方程的差分方程的特征方程特征方程为：为：可解得可解得特征根特征根为：为：因此，因此，齐次解齐次解为：为：(3)求零状态响应的特解求零状态响应的特解因为激励因为激励的底数与特征根的底数与特征
51、根1 1相等。相等。其其特解特解为：为：将将特解特解代入（代入（1），得：），得：解得：解得：（4）求零状态响应）求零状态响应代入代入初始条件初始条件得：得：解得：解得：所以，系统的零状态响应为：所以，系统的零状态响应为：离散系统的离散系统的E E算子分析算子分析2 2、LTI离散系统的响应离散系统的响应（1）零输入响应）零输入响应yx(k): 输入输入f(k)为零，由初始状态产生的响应称零输入为零，由初始状态产生的响应称零输入响应。设初始时刻为响应。设初始时刻为k0=0，系统，系统初始状态初始状态通常指：通常指： （对（对n阶系统）。阶系统）。 1 1、描述：、描述：LTI离散系统的基本概念
52、离散系统的基本概念复习初始状态为零，由输入初始状态为零，由输入f(k)产生的响应称零状态响应。产生的响应称零状态响应。（3）完全响应）完全响应y(k)：3 3、线性时不变因果系统的性质：、线性时不变因果系统的性质：（2）零状态响应）零状态响应yf (k):（2）时不变性：）时不变性：由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。可分解性：可分解性：y(k)=yx(k)+yf (k)；零输入线性：零输入线性：yx(k)与初始状态满足线性；与初始状态满足线性；零状态线性：零状态线性：yf (k)与输入与输入f(k)满足线性。满足线性。（1）线性：包括以下三
53、个方面：线性：包括以下三个方面：若若则则若若kk0时，输入时，输入f(k)=0；则则kk0时，零状态响应时，零状态响应yf(k)=0。已知单输入单输出已知单输入单输出LTI离散系统的激励为离散系统的激励为f(k)，其全响应为其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励，那么，描述该系统激励f(k)与响应与响应y(k)之间的关系的数学模型是之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，阶常系数线性差分方程，表示如下：表示如下：（3）因果性：）因果性：2、n阶离散系统的差分算子方程：阶离散系统的差分算子方程：-延迟算子延迟算子-超前算子超前算子1、差分算子：、差分算子：一、离散系统的差分算子及方程一、
54、离散系统的差分算子及方程由后向差分方程形式得：由后向差分方程形式得：算子方程也可写成：算子方程也可写成：进一步写成：进一步写成：H(E)称为称为系统的传输算子系统的传输算子。3、关于差分算子方程的说明：、关于差分算子方程的说明：（3）算子方程两边的公因子或）算子方程两边的公因子或H(E)的公因子不能随的公因子不能随意消去。意消去。（2）其中，其中，A(E)、B(E)为为E的正幂或负幂多项式；的正幂或负幂多项式；（1）E的正幂多项式可以相乘，也可以进行因式分解；的正幂多项式可以相乘，也可以进行因式分解；例：例：H(E)的的E正幂形式：正幂形式：（由前向差分方程形式得到）由前向差分方程形式得到）例
55、例1图示图示LTI离散系统，写出系统的差分算子方程，离散系统，写出系统的差分算子方程，和传输算子和传输算子H(E)。由系统框图得：由系统框图得：解：解：x(k)E-1x(k)E-2x(k)差分方程：差分方程：或：或：传输算子：传输算子：系统的差分系统的差分算子方程：算子方程：求求yx(k)方法小结：方法小结：设方程为：设方程为：（2）根据情况）根据情况1、2求各分式对应的零输入响应；求各分式对应的零输入响应；（3）yx(k)等于各因式对应的零输入响应之和；等于各因式对应的零输入响应之和；（4）由初始条件）由初始条件yx(-1),yx(-2),或或yx(0),yx(1),确定待定系数确定待定系数
56、Ci。（1）对）对A(E)进行因式分解；进行因式分解；二、离散系统的零输入响应二、离散系统的零输入响应1.零输入响应零输入响应yx(k)的方程：的方程：1.1.单位序列响应单位序列响应当当LTI系统的系统的激励激励为单位序列为单位序列( (k) )时，系统的时，系统的零零状态响应状态响应称为称为单位序列响应单位序列响应（或单位样值响应、单位（或单位样值响应、单位取样响应），用取样响应），用h(k)表示，它的作用与连续系统中的表示，它的作用与连续系统中的冲激响应冲激响应h(t)相类似。相类似。本章第一节我们已经向大家讲述了单位序列响应本章第一节我们已经向大家讲述了单位序列响应的经典解法的经典解法
57、求解差分方程法求解差分方程法。本节我们会介绍由本节我们会介绍由传输算子传输算子H(E)求解求解h(k)的方法。的方法。第六章我们会给大家讲解利用第六章我们会给大家讲解利用z变换法变换法求解单位求解单位序列响应。序列响应。一、单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应和阶跃响应2.2.阶跃响应阶跃响应当当LTI系统的系统的激励激励为单位序列为单位序列(k)(k)时，系统的时，系统的零零状态响应状态响应称为称为阶跃响应阶跃响应，用，用g(k)表示。表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应得系统的单位阶跃响应g(k)。此外。此外由于由
58、于由线性和移位不变性由线性和移位不变性由于由于那么那么(k2k1)两个常用的求和公式：两个常用的求和公式：求单位响应求单位响应h(k)方法小结：方法小结：1、H(E)为为E的正幂分式，的正幂分式，H(E)除以除以E，得，得H(E)/E;2、设、设H(E)/E为有理真分式，将为有理真分式，将H(E)/E展开为部分展开为部分分式之和；分式之和；3、H(E)/E的部分分式展开式乘以的部分分式展开式乘以E，得到，得到H(E)的的部分分式展开式；部分分式展开式；4、根据情况、根据情况1，情况，情况2求求H(E)的各分式对应的单位的各分式对应的单位响应；响应；5、求系统的单位响应、求系统的单位响应h(k)
59、，h(k)等于各分式对应等于各分式对应单位响应之和。单位响应之和。由由H(E)求单位序列响应求单位序列响应h(k)2 2有理分式的部分分式展开有理分式的部分分式展开H(E)/EH(E)/E为有理真分式有理真分式（1 1）H(E)/EH(E)/E的极点的极点为单极点：极点：（2 2）H(E)/EH(E)/E的的极点为极点为m重极点重极点：（3 3）H(E)/EH(E)/E的的极点为单极点和重极点极点为单极点和重极点: :例例6: 6: 求图示系统的单位序列响应。求图示系统的单位序列响应。x(k)x(k-1)x(k-2)解：解：设一中间变量设一中间变量x(k)，则左边的加法器输出为：，则左边的加法
60、器输出为：右边加法器输出为：右边加法器输出为：整理得：整理得：所以，图示系统的算子方程为：所以，图示系统的算子方程为：所以，图示系统的差分方程为：所以，图示系统的差分方程为：传输算子传输算子为：为：由部分分式展开得：由部分分式展开得：所以系统的所以系统的单位序列响应单位序列响应为：为：1.6 (a).NoBecause when t0, =0. (b).NoBecause only if n=0, has valuable. (c).YesBecause N=4.2.3 Solution:2.7Solution:（a） , (b) ,(a)S is not LTI system.,2.23 Solution: 3.1Solution:Fundamental period .
