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1、2.3傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、傅里叶变换的性质一、傅里叶变换性质一、傅里叶变换性质1.线性线性傅里叶变换的线性特性表示为若则式中
2、 为任意常数。 证证 ：利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。傅里叶变换的性质2. 时延（时移、移位）性时延（时移、移位）性傅里叶变换的时延（移位）特性表示为若则时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号 证证：线性相位。振幅频谱，仅使信号增加一傅里叶变换的性质例例2.3-1 求如图2-15所示信号的频谱函数并作频谱图。，解由上节门函数的变换再由线性与时移性，得到与门函数的关系为0傅里叶变换的性质的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。00傅里叶变换的性质3、频移性、频移性傅里叶变换的频移(调制)特性表示为若则证证：傅里叶变换的性质频移(调制)特性表明信号在时域中
3、与复因子信号乘以相乘，则在频域中将使整个频谱搬移。通信技术中的调制是将频谱在附近的低频信号乘以，使其频谱搬移到附近。反之，频谱在附近的高频使其频谱搬移到，其频谱被搬移到附近，这就是解调。变频是将频谱在附近的信号的应用。乘以，附近。这些都是频移特性傅里叶变换的性质实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉这样，若有则这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质公式正（余）弦信号可以表示为也称调制特性。傅里叶变换的性质例例2-4 求解解： 已知的波形以及频谱如图2-17所示。图。的频谱函数，并画出频谱，利用频移性傅里叶变换的性质图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱00-110傅里叶变
4、换的性质-A例2-5 求如图2.-18所示解其中并作图。的，则 图2.3-4 A令傅里叶变换的性质0以及如图2-19所示。0傅里叶变换的性质4、尺度变换、尺度变换傅里叶变换的尺度变换特性表示为若则证证：F， 则 令代入上式，F傅里叶变换的性质，则令代入上式，F综合两种情况，尺度变换特性表示为、傅里叶变换的性质特别地，当尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反其频谱亦为原频谱的折叠，即。时，得到的折叠函数，宽无限，反之亦然。的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号傅里叶变换的性质可以理解为信号波形压缩（扩展）倍，信号随时间变化加快（
5、慢）倍，所以信号所包含的频率分量增加（减少）倍，频谱展宽（压缩）倍。又因能量守图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加） 倍。傅里叶变换的性质000000傅里叶变换的性质5、时域微分特性、时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性表示为交换微、积分运算次序若则证证： 所以傅里叶变换的性质同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换式中是微分因子。6、时域积分特性、时域积分特性傅里叶变换的时域积分特性表示为若则傅里叶变换的性质证证：特别地，当F 时 傅里叶变换的性质显然，当时，有从时域上看，一般当利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。，说明无直流分量 则是无限区
6、间可积时，即。傅里叶变换的性质0例例2-6 求如图2-21(a)所示的频谱函数。（a）解解：傅里叶变换的性质0(b)如图2-21(b)所示。0傅里叶变换的性质 如图2-21(c)所示因为最后傅里叶变换的性质7、频域微分特性、频域微分特性傅里叶变换的频域微分特性表示为若则一般频域微分特性的实用形式为对频谱函数的高阶导数亦成立或 傅里叶变换的性质 证证：或交换微、积分次序所以傅里叶变换的性质同理可证高阶导数或例例2-7 求解解：利用的频谱函数。，则 傅里叶变换的性质8、对称（偶）性、对称（偶）性傅里叶变换的对称特性表示为若：则或证： 将变量与互换 傅里叶变换的性质特别地：当或是的偶函数，那么 由上
7、式看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。(2-54)的信号，其时域函数必为就是说，当是偶函数时，如果的频谱函数为，则频谱为。傅里叶变换的性质例2-8 已知解图2-220如图2-22所示，利用对称性求。傅里叶变换的性质0其对应的例2-6的波形是如图2-23所示的对称三角波,即傅里叶变换的性质比较图2-22、2-23两者变化规律相同，利用对称性可以则得到(只差很方便地求出，因为由图可以看出，只要将中的 ；就有。这样一来亦可由的，数)，即：系傅里叶变换的性质利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量
8、的运算。例2.3-8 求解 由时延特性，可得的傅氏变换。利用对称性，将上式中的，我们得到另一对变换对变换成、变换成，并乘以系数傅里叶变换的性质利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。傅里叶变换的性质-1-1110、的波形与频谱如图2-24 所示。0傅里叶变换的性质利用的的频谱函数为傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数 FFF证F傅里叶变换的性质例2.3-9 求周期单位冲激序列解解：先将周期单位冲激序列展开傅氏级数其中的傅氏变换,0傅里叶变换的性质即：再求这个级数的傅氏变换F的频谱函数如图2-25b所示。0单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。 傅里叶变换的性质9、奇、偶、虚、实性
9、、奇、偶、虚、实性 为实函数时，的模与幅角、实部与虚部表示形式为 傅里叶变换的性质 其中由上式可知是、，是的偶函数；、的奇函数。傅里叶变换的性质特别地当为实偶函数，我们有实偶函数。上式表明若是的实偶函数，则必为的傅里叶变换的性质 特别地为实奇函数，则虚奇函数。上式表明若是的实奇函数，则必为的傅里叶变换的性质10、时域卷积定理、时域卷积定理傅里叶变换的时域卷积定理表示为交换积分次序利用时延性若：则证：傅里叶变换的性质由这个性质，我们可将两个时间函数的卷积运算变为两求解信号通过系统的响应。个频谱函数的相乘(代数)运算。由此我们可以用频域法11.频域卷积定理频域卷积定理傅里叶变换的频域卷积定理表示为若：则傅里叶变换的性质利用移频性证：交换积分次序傅里叶变换的性质表表3-1 傅氏变换性质（定理）傅氏变换性质（定理）序号 名称 时域 频域1 线性2、 延时3、 尺度4、 频移性5、时域微分6、时域积分7、频域微分8、对称性9、时域卷积10频域卷积傅里叶变换的性质
