《第2讲椭圆、双曲线、抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2讲椭圆、双曲线、抛物线（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第第2 2讲讲 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线 1.1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称名称 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线 定义定义 | |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a(2(2a a|F F1 1F F2 2|)|)| |PFPF|= |= 点点F F不在直线不在直线l l上，上，PMPMl l于于MM标准标准方程方程（a a b b0)0)( (a a0,0,b b0)0) y y2 2=2=2pxpx( (p p0)0)图象图象几几何何性性质质范围范围顶点顶点(0,0)(0,0)对称性对称性关于关于x
2、 x轴，轴，y y轴和原点轴和原点对称对称关于关于x x轴对轴对称称焦点焦点（ c c,0 ,0 ）轴轴长轴长长轴长2 2a a, ,短轴长短轴长2 2b b实轴长实轴长2 2a a，虚轴长虚轴长2 2b b离心率离心率准线准线通径通径渐近线渐近线2.2.椭圆中的最值椭圆中的最值 F F1 1，F F2 2为椭圆为椭圆 =1(=1(a a b b0)0)的左、右焦点，的左、右焦点，P P为椭圆的任意一点，为椭圆的任意一点，B B为短轴的一个端点，为短轴的一个端点，O O为坐标原为坐标原点，则有点，则有 （1 1）| |OPOP|b b, ,a a. (2)|. (2)|PFPF1 1|a a-
3、 -c c, ,a a+ +c c. . （3 3）| |PFPF1 1| | |PFPF2 2|b b2 2, ,a a2 2.(4).(4)F F1 1PFPF2 2F F1 1BFBF2 2. . （5 5） = =b b2 2tan ( =tan ( =F F1 1PFPF2 2).). （6 6）焦点弦以通径为最短）焦点弦以通径为最短. .3.3.双曲线中的最值双曲线中的最值 F F1 1，F F2 2为双曲线为双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)的左、的左、 右焦点，右焦点，P P为双曲线上的任一点，为双曲线上的任一点，O O为坐标原点，为坐标原点， 则有则有 （1 1）|
4、|OPOP|a a. .（2 2）| |PFPF1 1|c c- -a a. . （2 2） ( =( =F F1 1PFPF2 2).).4.4.抛物线中的最值抛物线中的最值 点点P P为抛物线为抛物线y y2 2=2=2pxpx( (p p0)0)上的任一点，上的任一点，F F为焦点，为焦点， 则有则有: :（1 1）| |PFPF| .| . （2 2）焦点弦）焦点弦ABAB以通径为最值，即以通径为最值，即| |ABAB|2|2p p. . （3 3）A A（m m, ,n n）为一定点，则）为一定点，则| |PAPA|+|+|PFPF| |有最小值有最小值. .5.5.双曲线的渐近线双
5、曲线的渐近线 （1 1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解 因式可得因式可得. . （2 2）用法：）用法： 可得可得 或或 的值的值. . 利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线方程设所求双曲线的方程. .6.6.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 （1 1）相离；（）相离；（2 2）相切；（）相切；（3 3）相交）相交. . 特别地，特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直当直线与双曲线的渐近线平行时，直 线与双曲线相交且只有一个公共点线与双曲线相交且只有一个公共点. . 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线当直线与抛物线的
6、对称轴平行或重合时，直线 与抛物线相交且只有一个公共点与抛物线相交且只有一个公共点. . 一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程 例例1 1 如图所示，椭圆如图所示，椭圆 上的点上的点MM与椭与椭 圆右焦点圆右焦点F F1 1的连线的连线MFMF1 1与与x x轴垂轴垂 直，且直，且OMOM（O O是坐标原点）与椭是坐标原点）与椭 圆长轴和短轴端点的连线圆长轴和短轴端点的连线ABAB平行平行. .（1 1）求椭圆的离心率；）求椭圆的离心率；（2 2）F F2 2是椭圆的左焦点，是椭圆的左焦点，C C是椭圆上的任一点，证明：是椭圆上的任一点，证明： F F1
7、 1CFCF2 2 ；（3 3）过）过F F1 1且与且与ABAB垂直的直线交椭圆于垂直的直线交椭圆于P P、 Q Q，若，若PFPF2 2Q Q的面积是的面积是 ，求此时椭圆的方程，求此时椭圆的方程. . 思维启迪思维启迪（1 1）从）从OMOMABAB入手，寻找入手，寻找a a，b b，c c的关的关 系式，进而求出离心率系式，进而求出离心率. .（2 2）在焦点三角形）在焦点三角形F F1 1CFCF2 2中，用余弦定理求出中，用余弦定理求出 coscos F F1 1CFCF2 2, ,再结合基本不等式再结合基本不等式. .（3 3）设）设P P（x x1 1, ,y y1 1）、）、
8、Q Q（x x2 2, ,y y2 2），则），则 用设而不求的思路求解用设而不求的思路求解. .（1 1）解解 设椭圆方程为设椭圆方程为 ( (a a b b0)0)，则，则 ， （2 2）证明证明 由椭圆定义得：由椭圆定义得：| |F F1 1C C|+|+|F F2 2C C|=2|=2a a， coscosF F1 1CFCF2 2= = = = = . = . | |F F1 1C C|F F2 2C C| =| =a a2 2， coscosF F1 1CFCF2 2 ， F F1 1CFCF2 2 . . （3 3）解解 设直线设直线PQPQ的方程为的方程为y y=- (=- (
9、x x- -c c),),即即y y=- (=- (x x- -c c).).代入椭圆方程消去代入椭圆方程消去x x得：得： , ,整理得：整理得：5 5y y2 2- -2- -2c c2 2=0,=0,y y1 1+ +y y2 2= ,= ,y y1 1y y2 2= .= .（y y1 1- -y y2 2）2 2= .= .因此因此a a2 2=50,=50,b b2 2=25,=25,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 . .探究提高探究提高（1 1）求离心率，结合已知条件找到）求离心率，结合已知条件找到a,b,ca,b,c的关系的关系式式；（2 2）C C为椭圆上的任意一点，为椭圆上的
10、任意一点，F F1 1，F F2 2为左、右焦点，当为左、右焦点，当C C点是点是椭圆短轴的一个端点时，椭圆短轴的一个端点时，F F1 1CFCF2 2取得最大值取得最大值. .变式训练变式训练1 1 （20092009四川理，四川理，2020）已知椭圆）已知椭圆 ( (a a b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2，离心率，离心率 , ,右准线方程为右准线方程为x x=2.=2.（1 1）求椭圆的标准方程；）求椭圆的标准方程；（2 2）过点）过点F F1 1的直线的直线l l与该椭圆相交于与该椭圆相交于MM、N N两点，且两点，且 , ,求直线求直线l
11、l的方程的方程. .解解 （1 1）由条件有）由条件有 解得解得a a= ,= ,c c=1.=1.b b= =1.= =1.所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 (2)(2)由（由（1 1）知）知F F1 1（-1-1，0 0）、）、F F2 2（1 1，0 0）. .若直线若直线l l的斜率不存在，则直线的斜率不存在，则直线l l的方程为的方程为x x=-1,=-1,将将x x=-1=-1代入椭圆方程得代入椭圆方程得y y= = . .不妨设不妨设 与题设矛盾与题设矛盾. .直线直线l l的斜率存在的斜率存在. .设直线设直线l l的斜率为的斜率为k k，则直线，则直线l l的方程为的方程为y
12、 y= =k k( (x x+1).+1).设设MM（x x1 1, ,y y1 1）、）、N N（x x2 2, ,y y2 2）, ,联立联立消消y y得得(1+2(1+2k k2 2) )x x2 2+4+4k k2 2x x+2+2k k2 2-2=0.-2=0.由根与系数的关系知由根与系数的关系知x x1 1+ +x x2 2= = 从而从而y y1 1+ +y y2 2= =k k( (x x1 1+ +x x2 2+2)= +2)= 化简得化简得4040k k4 4-23-23k k2 2-17=0,-17=0,解得解得k k2 2=1=1或或k k2 2=- (=- (舍舍).
13、).k k= =1.1.所求直线所求直线l l的方程为的方程为y y= =x x +1+1或或y y= -= -x x -1.-1. 二、圆锥曲线中的定值与最值二、圆锥曲线中的定值与最值 例例2 2 已知菱形已知菱形ABCDABCD的顶点的顶点A A，C C在椭圆在椭圆x x2 2+3+3y y2 2=4 =4 上，对角线上，对角线BDBD所在直线的斜率为所在直线的斜率为1.1.（1 1）当直线）当直线BDBD过点（过点（0 0，1 1）时，求直线）时，求直线ACAC的方程；的方程；（2 2）当）当ABCABC=60=60时时, ,求菱形求菱形ABCDABCD面积的最大值面积的最大值. . 思
14、维启迪思维启迪（1 1）根据菱形的性质及条件求解）根据菱形的性质及条件求解. .（2 2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不 等式知识求解等式知识求解. . 解解（1 1）由题意得直线）由题意得直线BDBD的方程为的方程为y y= =x x+1.+1. 因为四边形因为四边形ABCDABCD为菱形，所以为菱形，所以ACACBDBD. . 于是可设直线于是可设直线ACAC的方程为的方程为y y=-=-x x+ +n n. . x x2 2+3+3y y2 2=4,=4, 由由 得得4 4x x2 2-6-6nxnx+3+3n n2 2-4=0-4=0
15、 y y=-=-x x+ +n n,.,. 因为因为A A、C C在椭圆上在椭圆上 所以所以=-12=-12n n2 2+640+640，解得，解得 . . 设设A A，C C两点坐标分别为两点坐标分别为( (x x1 1, ,y y1 1),(),(x x2 2, ,y y2 2) )， 则则x x1 1+ +x x2 2= ,= ,x x1 1x x2 2= ,= , y y1 1=-=-x x1 1+ +n n, ,y y2 2=-=-x x2 2+ +n n. .所以所以y y1 1+ +y y2 2= .= . 所以所以ACAC的中点坐标为的中点坐标为 . . 由四边形由四边形ABC
16、DABCD为菱形可知，为菱形可知， 点点 在直线在直线y y= =x x+1+1上，上， 所以所以 , ,解得解得 n n=-2 .=-2 . 所以直线所以直线ACAC的方程为的方程为y y=-=-x x-2,-2,即即x x+ +y y+2=0.+2=0.（2 2）因为四边形）因为四边形ABCDABCD为菱形，且为菱形，且ABCABC=60=60, , 所以所以| |ABAB|=|=|BCBC|=|=|CACA|.|.所以菱形所以菱形ABCDABCD的面积的面积S S = |= |ACAC| |2 2. .由由(1)(1)可得可得| |ACAC| |2 2=(=(x x1 1- -x x2
17、2) )2 2+(+(y y1 1- -y y2 2) )2 2= ,= ,所以所以 . .所以当所以当n n=0=0时时, ,菱形菱形ABCDABCD的面积取得最大值的面积取得最大值 . .探究提高探究提高 解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：利用函数，尤其是二次函数求最值；利用函数，尤其是二次函数求最值；利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；利用不等式，尤其是均值不等式求最值；利用不等式，尤其是均值不等式求最值；利
18、用判别式求最值；利用判别式求最值；利用数形结合，尤其是切线的性质求最值利用数形结合，尤其是切线的性质求最值. . 变式训练变式训练2 2（20092009银川模拟）银川模拟） 已知椭圆已知椭圆 的离心率为的离心率为 ，以右焦点，以右焦点F F为圆心的圆过椭圆上的顶点为圆心的圆过椭圆上的顶点 B B（0 0，b b），且与直线），且与直线l l： 相切相切. .（1 1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2 2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于MM、N N两点，该椭圆两点，该椭圆 的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为A A1 1、A A2 2，求证：直线，求证：直线M
19、AMA1 1与直线与直线NANA2 2的斜的斜 率平方的比值为定值率平方的比值为定值. .（1 1）解解 设点设点F F（c c,0,0），其中），其中 .以右以右 焦点焦点F F为圆心的圆过椭圆上的顶点为圆心的圆过椭圆上的顶点B B（0 0，b b），），圆的半径为圆的半径为 r r= .= .由圆与直线由圆与直线l l：x x+ +3=0 + +3=0 相切，得相切，得 = =a a，又，又a a=2=2c c，c c=1=1，a a=2=2，b b= .= .椭圆方程为椭圆方程为 . .（2 2）证明证明设设MM（x x1 1, ,y y1 1）, ,N N( (x x2 2, ,y y
20、2 2) )，当直线，当直线MNMN的斜率不存在时，的斜率不存在时，直线直线MNMN的方程为的方程为x x=1,=1,当直线当直线MNMN的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线MNMN的方程为的方程为y y= =k k( (x x-1)-1)，将其，将其代入代入 ，得，得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2-8-8k k2 2x x+4+4k k2 212=0, 12=0, x x1 1+ +x x2 2= = , , . . 而而 , , 将其代入上式，得将其代入上式，得 综上，知直线综上，知直线MAMA1 1与直线与直线NANA2 2的斜率平方的比值为的斜率平方的比值为 定值定
21、值. . 三、圆锥曲线中的参数范围问题三、圆锥曲线中的参数范围问题 例例3 3 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，经过点（中，经过点（0 0， ） 且斜率为且斜率为k k的直线的直线l l与椭圆与椭圆 有两个不同有两个不同 的交点的交点P P和和Q Q. . （1 1）求）求k k的取值范围；的取值范围； （2 2）设椭圆与）设椭圆与x x轴正半轴、轴正半轴、y y轴正半轴的交点分别为轴正半轴的交点分别为A A、 B B，是否存在常数，是否存在常数k k，使得向量，使得向量 共线？共线？ 如果存在，求如果存在，求k k值；如果不存在，请说明理由值；如果不存在，请说明理由. . 思
22、维启迪思维启迪（1 1）将直线）将直线l l的方程与椭圆方程联立转化为的方程与椭圆方程联立转化为 关于关于x x的一元二次方程，利用的一元二次方程，利用00求求k k的范围；（的范围；（2 2）利）利 用共线的条件建立等式求出用共线的条件建立等式求出k k值进行判断值进行判断. . 解解（1 1）由已知条件知直线）由已知条件知直线l l的方程为的方程为y y= =kxkx+ ,+ , 代入椭圆方程得代入椭圆方程得 . . 整理得整理得 直线直线l l与椭圆有两个不同的交点与椭圆有两个不同的交点P P和和Q Q等价于等价于 =解得解得 . .即即k k的取值范围为的取值范围为 . .（2 2）设
23、）设P P（x x1 1，y y1 1），），Q Q（x x2 2，y y2 2），），则则 = =（x x1 1+ +x x2 2，y y1 1+ +y y2 2），），由方程由方程得得x x1 1+ +x x2 2= = 又又y y1 1+ +y y2 2= =k k( (x x1 1+ +x x2 2)+ )+ 而而A A（ ，0 0），），B B（0 0，1 1），）， = =（ ，1 1）. .所以所以 共线等价于共线等价于x x1 1+ +x x2 2= = ( (y y1 1+ +y y2 2) )，将将代入上式，解得代入上式，解得 k k= =. .由（由（1 1）知）知 k
24、k , ,故没有符合题意的常数故没有符合题意的常数k k. .探究提高探究提高 直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法和方法. .变式训练变式训练3 3 如图，已知如图，已知直线直线l l与抛物线与抛物线x x2 2=4=4y y相切于点相切于点P P（2 2，1 1），），且与且与
25、x x轴交于点轴交于点A A，O O为为坐标原点，定点坐标原点，定点B B的坐标为（的坐标为（2 2，0 0）. .（1 1）若动点）若动点MM满足满足 ，求点，求点MM的轨迹的轨迹C C；（2 2）若过点）若过点B B的直线的直线l l（斜率不等于零）与（斜率不等于零）与（1 1）中的轨迹）中的轨迹 C C交于不同的两点交于不同的两点E E、F F（E E在在B B、F F之间），试求之间），试求OBEOBE与与 OBFOBF面积之比的取值范围面积之比的取值范围. . 解解（1 1）由）由x x2 2=4=4y y得得y y= = x x2 2,y y= = x x. . 直线直线l l的斜
26、率为的斜率为y y|x x=2=2=1.=1. 故故l l的方程为的方程为y y= =x x-1-1，点点A A坐标为（坐标为（1 1，0 0）. . 设设MM（x x, ,y y），则），则 = =（1 1，0 0），）， = =（x x-2,-2,y y）, , =(=(x x- - 1, 1,y y),),由由 =0=0得得（x x-2-2）+ +y y0+ 0+ =0, =0, 整理，得整理，得 + +y y2 2=1.=1.动点动点MM的轨迹的轨迹C C为以原点是中心，焦点在为以原点是中心，焦点在x x轴上，长轴上，长轴长为轴长为 ，短轴长为，短轴长为2 2的椭圆的椭圆. .（2 2
27、）如图，由题意知直线）如图，由题意知直线l l的斜率存在且不为零，的斜率存在且不为零，设设l l方程为方程为y y= =k k( (x x-2)(-2)(k k0),0),将将代入代入 + +y y2 2=1=1，整，整理，得（理，得（1+21+2k k2 2）x x2 2-8-8k k2 2x x+8+8k k2 2-2=0-2=0x x1 1+ +x x2 2= ,= ,x x1 1x x2 2= = 由此可由此可得得 = = ， = ,= ,且且0 1.0 1.由由知（知（x x1 1-2-2）+(+(x x2 2-2)= ,-2)= ,( (x x1 1-2)-2)( (x x2 2-
28、2)=-2)=x x1 1x x2 2-2(-2(x x1 1+ +x x2 2)+4= .)+4= . , ,即即k k2 2= .= .00k k2 2 ,0 . ,0 .解得解得3- 3+ .3- 3+ .又又0 10 1，3- 1.3- 0)0)相交于相交于A A、B B、C C、D D四个四个点点.(1).(1)求求r r的取值范围；的取值范围；（2 2）当四边形）当四边形ABCDABCD的面积最的面积最大时，求对角线大时，求对角线ACAC、BDBD的交的交点点P P的坐标的坐标. .解解（1 1）将）将y y2 2= =x x代入代入（x x-4-4）2 2+ +y y2 2= =
29、r r2 2, ,并化简得并化简得x x2 2-7-7x x+16-+16-r r2 2=0.=0.E E与与MM有四个交点的充要条件是方程有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根有两个不等的正根x x1 1、x x2 2, , =(-7) =(-7)2 2-4(16-4(16-r r2 2)0, )0, 由此得由此得 x x1 1+ +x x2 2=70,=70, x x1 1x x2 2=16-=16-r r2 20. 0. 解得解得 r r2 216,0,0, 所以所以r r的取值范围是的取值范围是 . .（2 2）不妨设）不妨设E E与与MM的四个交点的坐标为的四个交点的坐标为 A
30、A（x x1 1, , ）、）、B B（x x1 1, , ）、）、C C（x x2 2， ）、）、D D（x x2 2, , ）. . 则直线则直线ACAC、BDBD的方程分别为的方程分别为y y- = - = ( (x-xx-x1 1),),y y+ + = , = , 解得点解得点P P的坐标为（的坐标为（ ,0,0）, , 设设t t= ,= ,由由t t= = 及（及（1 1）知）知00t t . . 由于四边形由于四边形ABCDABCD为等腰梯形，因而其面积为等腰梯形，因而其面积 S S= = 则则S S2 2= =（x x1 1+ +x x2 2+2 +2 ）( (x x1 1+
31、 +x x2 2) )2 2-4-4x x1 1x x2 2. . 将将x x1 1+ +x x2 2=7, =7, =t t代入上式，并令代入上式，并令f f( (t t)=)=S S2 2, ,求导数，求导数，f f(t t)=-2(2)=-2(2t t+7)(6+7)(6t t-7).-7).令令f f(t t)=0,)=0,解得解得t t = ,= ,t t = (= (舍去舍去).).当当00t t 0,)0,当当t t= = 时时. .f f(t t)=0;)=0;当当 t t 时，时，f f(t t)0,)0)0)的焦点的焦点F F, ,交抛物线于交抛物线于A A、 B B两点，
32、则有：（两点，则有：（1 1）通径的长为）通径的长为2 2p p. . (2) (2)焦点弦公式：焦点弦公式：| |ABAB|=|=x x1 1+ +x x2 2+ +p p. . (3) (3)x x1 1x x2 2= ,= ,y y1 1y y2 2=-=-p p2 2. . (4) (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. .2.2.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法 （1 1）轨迹法：）轨迹法：建系设动点建系设动点.列几何等式列几何等式.坐标坐标代入得方程代入得方程.化简方程化简方程.除去不合题意的点作答除去不合题意的点作答. . （2
33、2）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数参数. . （3 3）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法动时用此法. .代入法的步骤：代入法的步骤： 设出两动点坐标（设出两动点坐标（x x, ,y y）,(,(x x0 0, ,y y0 0).). 结合已知找出结合已知找出x x, ,y y与与x x0 0, ,y y0 0的关系，并用的关系，并用x x, ,y y表示表示 x x0 0, ,y y0 0. . 将将x x0 0, ,y y0 0代入它满足的曲线方程，得到代入它满足的曲线方程，得
34、到x x, ,y y的关系的关系 式即为所求式即为所求. .（4 4）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线 的类型，进而求得曲线的方程的类型，进而求得曲线的方程. .3.3.有关弦的中点问题有关弦的中点问题（1 1）通法）通法（2 2）点差法）点差法 点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的 斜率斜率. .点差法的步骤：点差法的步骤： 将两交点将两交点A A（x x1 1, ,y y1 1）, ,B B( (x x2 2, ,y y2 2) )的坐标代入曲线的方的坐标代入曲线的方 程程. . 作差消去
35、常数项得到关于作差消去常数项得到关于x x1 1+ +x x2 2, ,x x1 1- -x x2 2, ,y y1 1+ +y y2 2, ,y y1 1- -y y2 2的的 关系式关系式. . 应用斜率公式及中点坐标公式求解应用斜率公式及中点坐标公式求解. .4.4.解决直线与圆锥曲线问题的通法解决直线与圆锥曲线问题的通法 （1 1）设方程及点的坐标）设方程及点的坐标. . （2 2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程. . （3 3）应用韦达定理及判别式）应用韦达定理及判别式. . （4 4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式
36、）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式 求解求解. . 弦长公式：弦长公式：| |ABAB|= .|= .一、选择题一、选择题1.1.（20092009菏泽模拟）已知双曲线菏泽模拟）已知双曲线 ( (a a ) )的的两条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直两条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直角角为为 ，则则双曲线的离心率为双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.A.2 B. C. D. C. D. 解析解析 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为y y= = . . 若若 =tan = ,=tan = , 则则 a a= = c c= ,= ,e e= .= . 若若 ,
37、,则则 a a= = ，不符合要求，不符合要求. .故选故选D.D.D2.(20092.(2009浙江文，浙江文，6)6)已知椭圆已知椭圆 ( (a a b b0)0)的左焦点为的左焦点为F F，右顶点为，右顶点为A A, ,点点B B在椭在椭 圆上，且圆上，且BFBFx x轴，直线轴，直线ABAB交交y y轴于点轴于点P P，若，若 ，则椭圆的离心率是，则椭圆的离心率是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图，由于如图，由于BFBFx x轴，轴，故故x xB B=-=-c c, ,y yB B= ,= ,设设P P（0,0,t t）, , ，（- -a a,
38、,t t）=2=2（- -c c, -, -t t）,a a=2=2c c. . . .D3.3.（20092009山东文，山东文，1010）设斜率为）设斜率为2 2的直线的直线l l过抛物线过抛物线y y2 2= =axax( (a a0)0)的焦点的焦点F F，且和，且和y y轴交于点轴交于点A A，若，若OAFOAF（O O为坐标原点）的面积为为坐标原点）的面积为4 4，则抛物线方程为（，则抛物线方程为（ ）A.A.y y2 2= =4 4x x B. B.y y2 2= =8 8x xC.C.y y2 2=4=4x x D. D.y y2 2=8=8x x解析解析 y y2 2= =a
39、xax的焦点坐标为的焦点坐标为 , ,过焦点且斜率为过焦点且斜率为2 2的直的直线方程为线方程为y y=2 =2 ，令，令x x=0=0得：得：y y= . =4= . =4，a a2 2=64,=64,a a= =8.8.B4.4.椭圆椭圆MM： ( (a a b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2，P P为椭圆为椭圆MM上任一点，且上任一点，且 的最大值的取的最大值的取值范围是值范围是c c2 2,3,3c c2 2，其中，其中c c= ,= ,则椭圆则椭圆MM的的离心率离心率e e的取值范围是的取值范围是 ( )( )A. B.A. B.C. D.
40、C. D. 解析解析 由由 所以所以 的最大值为的最大值为 = =（a a+ +c c）（a a- -c c），结合题意分析知），结合题意分析知c c2 2a a2_2_c c2 233c c2 2，求得离心率的取值范围是，求得离心率的取值范围是 ，故选，故选B BB5.5.P P是双曲线是双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)右支上的一点右支上的一点, , F F1 1、F F2 2分别为左、右焦点分别为左、右焦点, ,且焦距为且焦距为2 2c c,PFPF1 1F F2 2的的 内切圆的圆心的横坐标是内切圆的圆心的横坐标是 （ ）A.A.a a B. B.b bC.C.c c D. D
41、.a a+ +b b+ +c c解析解析 设圆切设圆切PFPF1 1、PFPF2 2、F F1 1F F2 2分别于分别于MM、N N、R R，则由双曲线定义知则由双曲线定义知| |PFPF1 1|-|-|PFPF2 2|=2|=2a a，即（即（| |PMPM|+|+|MFMF1 1| |）- -（| |PNPN|+|+|NFNF2 2| |）=2=2a a，又又| |PMPM|=|=|PNPN| |，故，故| |MFMF1 1|-|-|NFNF2 2|=2|=2a a，而而| |MFMF1 1|=|=|RFRF1 1| |，| |NFNF2 2|=|=|RFRF2 2| |，因此因此| |
42、F F1 1R R|-|-|F F2 2R R|=2|=2a a，设设R R（0 0，t t），则），则t t+ +c c- -（c c- -t t）=2=2a a，t t= =a a. .A二、填空题二、填空题6.6.（20092009湖南理，湖南理，1212）已知以双曲线）已知以双曲线C C的两个焦点的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为角为6060，则双曲线，则双曲线C C的离心率为的离心率为 . .解析解析 双曲线中焦距比虚轴长，双曲线中焦距比虚轴长，焦点处内角焦点处内角为为6060, ,又由双曲线性质得四边形为菱形又由双曲线
43、性质得四边形为菱形. . =tan 30 =tan 30= ,= ,c c= = b b,a a2 2= =c c2 2- -b b2 2=2=2b b2 2, ,a a= = b b. .e e= .= .7.7.（20092009聊城模拟）设双曲线聊城模拟）设双曲线 ( (b b a a0)0)的的半焦距为半焦距为c c，直线，直线l l过（过（a a,0,0）、）、(0,(0,b b) )两点两点. .已知原点到直已知原点到直线线l l的距离为的距离为 ，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 . .解析解析 直线直线l l的方程为的方程为 ，即，即bxbx+ +ayay- -abab=
44、0.=0.于是有于是有 , ,即即abab = .= .两边平方得两边平方得1616a a2 2b b2 2=3=3c c4 4,16,16a a2 2( (c c2 2- -a a2 2)=3)=3c c4 4. .即即3 3c c4 4-16-16a a2 2c c2 2+16+16a a4 4=0,3=0,3e e4 4-16-16e e2 2+16=0.+16=0.解得解得e e2 2=4,=4,或或e e2 2= ,= ,b b a a0, 1, 0, 1, e e2 2= =1+ 2,= =1+ 2,故故e e2 2=4,=4,e e=2. =2. 8.8.（20092009南通模
45、拟）已知抛物线南通模拟）已知抛物线y y2 2=-2=-2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F恰恰好是椭圆好是椭圆 ( (a a b b0)0)的左焦点，且两曲线的的左焦点，且两曲线的公共点的连线过公共点的连线过F F，则该椭圆的离心率为，则该椭圆的离心率为 . .解析解析 由题意由题意F F（ ，0 0），设椭圆的右焦点为），设椭圆的右焦点为MM，椭，椭圆与抛物线的一个交点为圆与抛物线的一个交点为A A，则，则| |AFAF|=|=p p，| |FMFM|=|=p p，| |AMAM|= |= p p，椭圆长半轴长椭圆长半轴长a a = ,= ,椭圆的半焦距椭圆的半焦距c c= ,
46、= ,椭圆的离心率椭圆的离心率e e= .= .三、解答题三、解答题9. 9.（20092009潍坊模拟）已知椭圆的两个焦点分别为潍坊模拟）已知椭圆的两个焦点分别为 F F1 1（0 0， ），），F F2 2（0 0， ），离心率为），离心率为e e= . = . （1 1）求椭圆方程；）求椭圆方程；（2 2）一条不与坐标轴平行的直线）一条不与坐标轴平行的直线l l与椭圆交于不同与椭圆交于不同 的两点的两点MM，N N，且线段，且线段MNMN中点的横坐标为中点的横坐标为 ，求直，求直 线线l l的倾斜角的取值范围的倾斜角的取值范围. . 解解（1 1）根据题意可设椭圆方程为）根据题意可设椭圆
47、方程为 （a a b b00）, ,其中其中c c为半焦距为半焦距, , c c= , = , e e= , = , a a=3,=3,b b=1, . =1, . （2 2）由题意知，直线的倾斜角不可能为）由题意知，直线的倾斜角不可能为0 0和和 , , 设直线方程为设直线方程为y y= =kxkx+ +m m ( (k k0).0). y y= =kxkx+ +m m x x2 2+ =1+ =1( (k k2 2+9)+9)x x2 2+2+2kmxkmx+ +m m2 2-9=0,-9=0,=4=4k k2 2m m2 2-4(-4(k k2 2+9)(+9)(m m2 2-9)0-9
48、)0，即，即k k2 2- -m m2 2+90+90设设MM（x x1 1，y y1 1），），N N（x x2 2，y y2 2），），x x1 1+ +x x2 2= = ，线段线段MNMN中点的横坐标为中点的横坐标为 ， ，即，即m m= = 把把代入代入解得解得k k2 23,3,即即k k 或或k k , b b0),0),A A是椭是椭圆圆C C的短轴左顶点，过的短轴左顶点，过A A点作斜率为点作斜率为-1-1的直线交椭圆于的直线交椭圆于B B点，点点，点P P（1 1，0 0），且），且BPBPy y轴，轴，APBAPB的面积为的面积为 . . （1 1）求椭圆）求椭圆C C的
49、方程；的方程； （2 2）在直线）在直线ABAB上求一点上求一点MM，使得，使得以椭圆以椭圆C C的焦点为焦点，且过的焦点为焦点，且过MM的的双曲线双曲线E E的实轴最长，并求此双的实轴最长，并求此双曲线曲线E E的方程的方程. .解解（1 1）S SAPBAPB= = APAPPBPB= = ，又又PABPAB=45=45，APAP= =PBPB，故，故APAP= =BPBP=3.=3.P P（1 1，0 0），），A A（-2-2，0 0），），B B（1 1，-3-3）. .b b=2=2，将，将B B（1 1，-3-3）代入椭圆方程，）代入椭圆方程， b b=2,=2,得得 解得解得a
50、 a2 2=12=12, , , 所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 . .(2)(2)设椭圆设椭圆C C的焦点为的焦点为F F1 1，F F2 2，则易知则易知F F1 1（0 0， ），），F F2 2（0 0， ），），直线直线ABAB的方程为的方程为x x+ +y y+2=0+2=0，因为，因为MM在双曲线在双曲线E E上，要上，要使双曲线使双曲线E E的实轴最长，只需的实轴最长，只需|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|最大，最大，F F1 1（0 0， ）关于直线）关于直线ABAB的对称点为的对称点为F F1 1( ( -2,-2),-2,-2),直线直线F F2 2F F1 1与直线与直线l l的交点为所求的交点为所求MMF F2 2F F1 1的方程为的方程为y y+(3+ )+(3+ )x x - =0,- =0, y y+(3+ )+(3+ )x x- =0,- =0, 联立联立 得得MM（1 1，-3-3），）， x x+ +y y+2=0,+2=0,又又2 2a a=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|F F2 2F F1 1|= = ，故故a amaxmax= ,= ,b b= ,= ,故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为 . .返回
