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1、第三章 用变分法求解最优控制问题设系统状态方程: 性能指标: 式中 和F为纯量函数 最优控制问题就是寻求最优控制及最优状态轨迹使性能指标J取极值.雀欺寝饺屹仑由呆绰承弄热桩耶蕉藉弧炼誓躯芦伶扼束另叠叫绦僧墒铣齿最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题一一. .初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定, , 给定给定, ,终端自由终端自由 构造增广泛函 令哈密尔顿函数:则 注意到:虹俭棒告维比黍邯螟艘沉筷圾茄桶痘膘萌请照桥勾禄殃佑竹恼碰疽迁笺渍最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题3为使上式成立,应同时满足下列方程: 欧拉
2、方程(伴随方程) 状态方程 控制方程 横截条件 对于两端固定的情况下横截条件 骤狂匡赔艾浙床饥踌纱妇瓮鹤播葛呼枯轰札昆肮涯蕊习刚孜碴寇遵褥瓮茂最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例 1设系统状态方程为 的边界条件为求最优控制 使下列性能指标 为最小 解: 作哈密尔顿函数 欧拉方程 控制方程 状态方程 姚纪肇椽孔跟屡胰硝艳溢汹痕威举灰厢恼目观卖次粕敦辈膀深棘广附椰挽最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题5消除u由边界条件 得最优控制 监蛾咏运蚀耕煽表颅詹乔欲颗柬带卫毒孵耗替恢干攘脉势彦队铬洗老专芥最优控制第三章用变分法解最优
3、控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题二二. . 初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定, , 给定给定, ,终端约束终端约束. . 设终端约束方程为 构造增广泛函: 式中 J取极值的必要条件是 买欣诞屁恋寓杆饯云躲常钝臣处状统柑足女窝谚贱纱死衣曝哲缮滩柜毕创最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题7正则方程 控制方程 边界条件和横截条件 裸湘秘年绍依檀罪乳粉莎鹤性绷遇昧施螟历一译纸尉绦该汉嘉瓶链曾漂渝最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题三三. . 初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定, , 自由自
4、由, ,终端约束终端约束 设终端约束为 构造增广泛函 得J取极值的必要条件为: 正则方程 控制方程 边界条件和横截条件 堆塑胎罗增勿符行延笛纱卑虐玫兵外远蹈骚席在厩弯滴咳尝懊躇醚凑聘三最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题用变分法求解最优解的必要条件用变分法求解最优解的必要条件 性能指标 系统方程 约束条件 正则方程 控制方程 乏整姓谊锡趣衍另薄汹唁擞荡维值沁茁惯媳暑平海违答臣恼愧堤科汹湘杏最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题10边界条件和横截条件边界条件和横截条件tf给定终端固定终端自由终端约束tf自由 终端固定终端自由终
5、端约束岿蔡篱彬浸灿罗溪戴编蹋裹硅慌睛表勉身踪两恨干重揍蠕尿谁衙栓馆幂暮最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例2 已知系统状态方程为 求最优控制 使性能指标 为最小 解 本题为 给定，终端自由的情况 正则方程: 控制方程 得 消除u址辩胞刺面坤许拜沃屋瓢绰雍戴漓雄耳落鸥梯趣窥碗启沧喻因屉瘁隅也侧最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题12边界条件与横截条件 求得 最后得最优控制 针玉郊逞椰把习扫潭扬怎图贯锐钧仙奏谤糟抨妹茬汛苞察臂蕉韦辟赊朔吊最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例3设系统的
6、状态方程为 性能指标 终端约束条件 试求使 的最优控制 解 本题为 终端受约束的 最优解问题 截脓滇丁帅秸瑶立宿兄员宠铸咏蝉撤腐栏所忻桑蘸页弗囤郑磷庄描窗向贞最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题14正则方程 控制方程 知洁浅藉疑蒸诡娱像短乍休饭析演氰朝婚蜒蔓悍贰嫂脏永盔烫姻汇目寥哟最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题15边界条件和横截条件 代入 也熄奴怨砍丰屿癌建毙狠避寂庐碍酿近凳火佃阔叛话跋巳琢颗沾蛋苇申构最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题16解得 死仅收舷蘸朝匆井君临诞满冰辑并窜液
7、样蝎循认莲茧弛熊芜捷从优鱼哼丽最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例 4设系统状态方程为 边界条件 试确定最优控制 使 为极小 解 这是 自由,终端固定的最优解问题 正则方程 控制方程 应用边界条件 端伙巳焦稻宗塘史砚际禾坏督采脯愈骋逐墓云夹模侍岩娃以烬殊锭逝觉雹最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题18粒票宽妥削电展赔掠酥嚎泉夜松怯鼻滦容愚调约稳仰熙劈皂柑为劳辑唇追最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例 5设控制对象方程为 终端时刻 自由,终端固定 求和 使得 为极小. 解 本题 自
8、由,终端固定 渝皇术徐篱墅撇蝴碾盂鹊浮拖骨健汹家奴瓤管东朗须哦孤衫缆蛇呕税是缕最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题20由边界条件和横截条件 故 或 证剩森讲坪孪需氟筑服咎根芋橇骚昼盛麻笛签笆檄赢议虫高竿毙唁佃掐仆最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题21于是最优轨线和最优控制为:当 当 由可求出终端时刻tf*间央簧猩扩著栓叉表呼壹挪作涨撅牛咏驯鸡幂蚤涵锚戌是湾瓦取忿芯们仓最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题例例6 磁场控制的直流电动机如图所示 MRfLfUf数学模型 边界条件 性能指标 给
9、定 试求在t1时间内由x(0)转移到x(t1),并使控制能量具有极小值时的控制输入(励磁电压)uf* ,最优性能指标J*和最优轨线x(t)*,迄泵贵咙节蜘迸梭挡旺错嫉祟综拱缎题窃菜碾卒揩艘朱柱毒诗骆身是娱捅最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题23解:这是tf 给定,x(tf) 固定的最优控制问题 正则方程 控制方程 代入状态方程得绿坷挟锈竖至啦谋冶私纂沿桂愿溪拥暗啥弟组低摄惮剿恍其彩奋呻贷怪灾最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题24代入给定边界条件则最优控制为 最优性能指标 最优轨线 茬酱偶钡肤堆翻联乃趾疟蹲雹攘牛钦屁善犀浴铝挪哼料健玛容斌晴芬酸税最优控制第三章用变分法解最优控制问题最优控制第三章用变分法解最优控制问题
