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1、 传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同,不可能立即对它做出恰当的假设,建立完善的模型,只能先做出最简单的假设,建立模型,得出结果,分析是否符合实际,然后针对其不合理或不完善处,进行修改或补充假设,逐步得到较为合理的模型。 模型模型 1(SI 模型) 假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,既不考虑生死,也不考虑迁移,并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常
2、数 , 称为日日接接触触率率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。 根据假设,每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t),所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染,即病人数Ni(t) 的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下进而有再设初始时刻(t = 0)病人的比例为i0,则由 s(t) + i(t) = 1,得到初值问题 Logistic 模型初值问题的解为 可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为 i(t) t 的图形di/dt i 的图形于是可知: 当 t 时,i1,即所有人终将被传染,全变为病人,这显然不符合实际情
3、况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。 然而,这个模型在传染病流行的前期还是可用的,可用它来预报传染病高潮的到来:当 i = 1/2时,di/dt 达到最大值 (di/dt)m,这个时刻为 这时病人增加得最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。 还可以看出,tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平, 越小卫生水平越高,所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。 模型模型 2(不考虑出生和死亡的 SIS 模型) 有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低,可以假定无免
4、疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以在 SI 模型的基础上,增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变,既不考虑生死,也不考虑迁移,并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日日接接触触率率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数
5、 ,称为日日治治愈愈率率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者,1/ 称为这种传染病的平均传染期平均传染期。 如果考虑到假设条件 (4),则人员流程图如下 于是有记初始时刻的病人的比例 i0(i0 0),从而 SI模型可以修正为我们称之为 Bernolli(贝努里)方程的初值问题,其解析解为其中 = /。 由 和 1/ 的含义可知, 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接接触触数数。于是有我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为 di/dt i 的图形( 1) i(t) t 的图形( 1) di/dt i 的图形( 1) i(t) t 的图形( 1) 模型模型 3(考虑出生和死亡
6、的 SIS 模型) 当传染病的传播周期比较长时,若不考虑出生和死亡因素显然不妥,接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N,总认为人口的出生率与死亡率相同,并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ,则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日日接接触触率率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。 (4)
7、每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ,称为日日治治愈愈率率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者,1/ 称为这种传染病的平均传染期平均传染期。在上述的假设条件下,人员流程图如下 于是有 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0(s0 0)和 i0(i0 0),从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt,于是,上式的第二个方程变为恒等式,从而模型简化为 如果令 = /(+),则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,即接接触触数数。于是,以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。 模型模型 4(不考虑出生和死亡的 SI
8、R 模型) 许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),它们已经退出传染系统。 模型的假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移移出出者者(Removed)三类,三类人在总人数N中占的比例分别为 s(t),i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ,日治愈率为 ,传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变,既不考虑生死,也不考虑迁移,并且时间以天为计量单位。在上述的假设条件下,人员流程图如下 由假设条件显然有s(t) + i(t) + r(t) = 1 记初始时刻的健
9、康者和病人的比例分别是s0(s0 0)和 i0(i0 0)(不妨设移出者的初始值 r0 = 0),于是得到 SIR 模型为如下的初值问题而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ,于是,上式的第三个方程变为恒等式,从而模型简化为 上述的初值问题无法求出解析解,只能通过数值解法求出数值解。 例如,取 = 1, = 0.3,i(0) = 0.02,s(0) = 0.98,则求得数值解如下表,相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。 t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.
10、34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398SIR 模型的i(t)、s(t) 曲线 SIR 模型的 i s 曲线 在实际应用 SIR 模型时,模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。 事实上,能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的,所以人们经常利用
11、定定性性理理论论从方程本身推出解的相关性质。 对于上述的 SIR 模型,就可以采用相相轨轨线线分分析析的方法,来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。(参教案,略)模型模型 5(考虑出生和死亡的 SIR 模型) 模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类,三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t),i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ,日治愈率为 ,传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N,总认为人口的出生率与死亡率相同,并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ,则人口的平均寿命为 1/。 在上述的假设
12、条件下,人员流程图如下 此时由假设条件有s(t) + i(t) + r(t) = 1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0 0)和 i0(i0 0)(不妨设移出者的初始值 r0 = 0),于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下 而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt,于是,上式的第三个方程变为恒等式,从而模型简化为 采用相轨线分析(参见ppt资料传传染染病病模模型型1模型4),可以证明:若 1,则i = 0,s = 1;若 1,则 i = ie,s = se,(ie, se) = (1/, (1)/)。 ppt资料传染病模型传染病模型2侧重于模型分析侧重于模型分析