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1、8. 6三角形内角和定理证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法. .( (1) )理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知) )，结论，结论( (求证求证) )；( (2) )根据题意，画出图形；根据题意，画出图形；( (3) )结合图形，用符号语言写出结合图形，用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”；( (4) )分析题意，探索证明思路；分析题意，探索证明思路；( (5) )依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；出证明过程；(
2、(6) )检查表达过程是否正确，完善检查表达过程是否正确，完善. .证明命题的一般步骤:与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于180. .你还记得你还记得这个结论的探索过程吗？这个结论的探索过程吗？112ABD23C( (1) )如图，当时我们是如图，当时我们是把把A移到了移到了1的位的位置，置，B移到了移到了2的的位置位置. .如果不实际移动如果不实际移动A和和B，那么你还，那么你还有其它方法可以有其它方法可以 达到达到同样的效果？同样的效果？( (2) )根据前面的公理和定理，你能用自己的语言根据前面的公理和定理，你能用自己的语
3、言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简捷的说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗？与同伴交流语言写出这一证明过程吗？与同伴交流. .我们知道三角形三个内角的和等于180.你还记得这个结论的探已知已知:如图如图ABC. .求证求证:A+ +B+ +C=180. .证明证明:作作BC的延长线的延长线CD，过点，过点C作作CEAB，则则 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗？你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗？ 1=A( (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) )， 2= B( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等).). 又又1+ +2+ +3
4、=180 ( (平角的定义平角的定义) )， A+ +B+ +ACB=180 ( (等量代换等量代换).).分析分析:延长延长BC到到D，过点，过点C作作射线射线CEAB，这样，就相，这样，就相当于把当于把A移到了移到了1的位的位置，置，把把B移到了移到了2的位的位置置. .这里的这里的CD，CE称为称为辅助线，辅助线，辅助线通辅助线通常画成虚常画成虚线线. .ABCE213D已知:如图ABC.证明:作BC的延长线CD，过点C作CE在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角个角“凑凑”到到A处，他过点处，他过点A作直线作直线PQBC( (如图如图)
5、 )，他的想法可以吗？，他的想法可以吗？请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动. .小明的想法已经变为现实，由此你小明的想法已经变为现实，由此你受到什么启发？你有新的证法吗？受到什么启发？你有新的证法吗？证明证明:过点过点A作作PQBC，则则ABC 1=B( (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) )， 2=C( (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) )， 又又1+ +2+ +3=180 ( (平角的定义平角的定义) )， BAC+ +B+ +C=180 ( (等量代换等量代换).).所作的辅助所作的辅助线是证明的线是证明的一个重要组一个重要组成部分，要
6、成部分，要在证明时首在证明时首先叙述出来先叙述出来. .PQ231在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，三角形内角和定理三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180. .ABC中，中，A+ +B+ +C=180. .A+ +B+ +C=180的几种变形的几种变形:A=180 ( (B+ +C).).B=180 ( (A+ +C).).C=180 ( (A+ +B).).A+ +B=180C. .B+ +C=180A. .A+ +C=180B. .这里的结论，以后可以直接运用这里的结论，以后可以直接运用. . ABC三角形内角和定理: 三角形三个内
7、角的和等于180.A+例例1 如图，在如图，在ABC中，已知中，已知ABC=38，ACB=62，AD平方平方BAC，求，求ADB的度数的度数解：在解：在ABC中，中，B+ +C+ +BAC=180. .B=38，C=62，BAC=80. .AD平分平分BAC. .BAD=CAD= BAC=40. .在在ADB中，中，B+ +BAD+ +ADB=180. .B=38，BAD=40. .ADB=102. .例1 如图，在ABC中，已知ABC=38，ACB=6自主探究自主探究1、认识三角形外角及内角和定理的两个推、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明论及其证明2、会运用三角形内角和定理的两个
8、推论解、会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题决相关问题自主探究1、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明三角形内角和定理三角形内角和定理 ：推论推论1：推论推论2： 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180. . 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .点拨：点拨： 能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考的角作更全面的思考. .三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和
9、等于180. 三例例2 已知已知:如图，在如图，在ABC中，中，AD平分外角平分外角EAC，B=C. . 求证：求证：ADBC. .证明：证明：EAC=B+ +C ( (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) ) B=C ( (已知已知) )C=EAC( (等式性质等式性质) )DAC=C( (等量代换等量代换) ) ADBC( (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行).).ACDBE AD平分平分EAC( (已知已知) )DAC=EAC( (角平分线的定义角平分线的定义) )例题是运用了例题是运用了定理定理“内错角内错角相等，两直线
10、相等，两直线平行平行”得到了得到了证明证明. .还有其它方法吗？还有其它方法吗？例2 已知:如图，在ABC中，证明：EAC=B+证明：证明：EAC=B+ +C ( (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) ) B=C ( (已知已知) )B=EAC( (等式性质等式性质) )ACDBE AD平分平分EAC( (已知已知) )DAE=EAC( (角平分线的定义角平分线的定义) )DAE=B( (等量代换等量代换) ) ADBC( (同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行) )这里是运用了公理这里是运用了公理“同同位角相等，两直线平行位角
11、相等，两直线平行”得到了证明得到了证明. .已知已知:如图在如图在ABC中，中，AD平分外角平分外角EAC，B=C. . 求证：求证：ADBC. .证明：EAC=B+CACDBE AD平分EA已知已知:如图，如图，P是是ABC内一点，连接内一点，连接PB，PC. .点点D是是AC边上的点边上的点. .求证求证:BPC A. . ABDPC证明证明: 延长延长BP，交，交AC于点于点D. . BPC是是PCD的一个外角的一个外角( (外角外角的定义的定义) ) BPC PDC.(.(三角形的一个三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角外角大于任何一个和它不相邻的内角) ) PDC是是ABD的
12、一个外角的一个外角( (外角外角的定义的定义) ) PDC A .(.(三角形的一个三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角外角大于任何一个和它不相邻的内角) ) BPC A. .例例3：已知:如图，P是ABC内一点，连接PB，PC.点D是AC边我是最棒的我是最棒的1. .直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论的一个内角是多少度？请证明你的结论. .已知已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC，A=600， C=700. .求证：求证： ADE=500. . 随堂练习随堂练习DCBAEABCABC结论结论: 直
13、角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. .以后可以直接运以后可以直接运用用. .我是最棒的1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一1、如图，已知、如图，已知ABC中，中， B 和和C的平分线的平分线BE，CF交点交点O. .求证：求证： BOC=90+ +ABCEFO1、如图，已知ABC中， B 和C的平分线BE，CF交2 、 如图，已知如图，已知AD是是ABD和和ACD的公共边的公共边. .求证：求证：BDC=BAC+ +B+ +CABCD12342 、 如图，已知AD是ABD和ACD的公共边.ABCD2 、 如图，已知如图，已知AD是是ABD和和ACD的公共边的公共边. .求证：求证：BDC=BAC+ +B+ +CABCD122 、 如图，已知AD是ABD和ACD的公共边.ABCD三角形内角和定理三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180. .推论推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和. .推论推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角不相邻的内角. .小结小结 拓展拓展三角形内角和定理 ：小结 拓展
