笫三部分动量守恒

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1、笫三章笫三章 动量守恒动量守恒动量与动量定理；动量与动量定理；质心与质心运动定理；质心与质心运动定理；动量守恒定律；动量守恒定律；变质量物体的运动变质量物体的运动. .目目 录录1 动量与动量定理动量与动量定理 动量是描述一定运动状态下物体动量是描述一定运动状态下物体“运动量运动量”的概念，比的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量状态量。牛顿第二定律牛顿第二定律作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。一、动量一、动量定义动量：定义动量： 牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速

2、度，而任牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任何运动必定经历空间和时间何运动必定经历空间和时间.因此，应用牛顿定律于质点组，研因此，应用牛顿定律于质点组，研究力作用的究力作用的时间累积效应时间累积效应与与空间累积效应空间累积效应，从中寻求某些规律，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向.2二、质点动量定理二、质点动量定理由由动量定理动量定理微分形式微分形式定义定义dI=Fdt为力的元冲量，则冲量为力的元冲量，则冲量I为力对时间的积分为力对时间的积分动量定理动量定理积分形式积分形式 动量定理常用于碰撞过程动量定理常用于碰撞

3、过程. .在碰撞、打击瞬间用平均冲在碰撞、打击瞬间用平均冲力概念力概念3三、质点系动量定理三、质点系动量定理1. 1. 对两质点系统对两质点系统( (如图如图) )内力：内力：外力：外力：12考虑牛顿笫三定律，考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)(1)+(2)得得: :质点质点1 1质点质点2 24 2. 2. 对多质点系统对多质点系统 质点系的动量定理质点系的动量定理作用于系统的合外力在一段时间作用于系统的合外力在一段时间内的总冲量等于系统动量的增量内的总冲量等于系统动量的增量. .设质点组由设质点组由N N个质点组成，对笫个质点组成，对笫i i个质点应用动量定理，有个质点应用动量定理，有对所有

4、质点的动量定理表式求和，则有对所有质点的动量定理表式求和，则有由于所有内力的矢量和为零，即由于所有内力的矢量和为零，即5(2) (2) 系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化的动量变化. . (1) (1) 只有外力对系统动量的增量有贡献。只有外力对系统动量的增量有贡献。 说明：说明： 动量定理与牛顿定律的关系：动量定理与牛顿定律的关系： 对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动量定理表示的是力对时间的积累效果量定理表示的是力对时间的积累效果. . 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于

5、质点系牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系. .而动量而动量定理可适用于质点系定理可适用于质点系. . 牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系. .要在非惯性要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量. .在无限小的时间间隔内：在无限小的时间间隔内： . . . .质点系动量定质点系动量定理的微分形式理的微分形式6例题例题3.13.1如图，小球自由落体如图，小球自由落体h h距离，能将重物距离，能将重物M M 提提升到多少高度升到多少高度? ?解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为 三段

6、分析：三段分析： 软绳由松到紧，软绳由松到紧，M M不动，小球不动，小球自由下落，获得末速度自由下落，获得末速度 软绳被绷紧，在此瞬间软绳被绷紧，在此瞬间m,Mm,M均受到绳子张力均受到绳子张力T T的作用，达的作用，达 到同一末速度到同一末速度V V，故故Mmh hmM7解出：解出：根据动量定理有根据动量定理有 m m、M M一同运动，位移一同运动，位移H H，应用匀加速直线运动公式应用匀加速直线运动公式 ，以及第二定律，有，以及第二定律，有8外外分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理 求解求解. .解：解： 如图，建立坐标系如图，建

7、立坐标系, ,令线密度令线密度 , ,则在某时刻则在某时刻例题例题3.2 3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度与落下距离之间关系与落下距离之间关系. .外外根据根据 得得yOy9两端同乘以两端同乘以 y y：两端积分：两端积分：得：得：yOy10 质心与质心运动定律质心与质心运动定律一、质心一、质心质心位置质心位置及其求法：及其求法： 质点系动量定理的微分形式：质点系动量定理的微分形式：对质点系而言存在一个特殊点对质点系而言存在一个特殊点c c，满足满足是该特殊点的加速度，是该特殊点的加速度，c c称为质心称为质心A A、两个质点组成的体系两个质

8、点组成的体系 为为从从总体反映质点组运动的宏观特点，需要引入质心概念总体反映质点组运动的宏观特点，需要引入质心概念，并讨论质心运动具有的若干独特的规律。，并讨论质心运动具有的若干独特的规律。11 可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权权”与质点的与质点的质量分布位置有关质量分布位置有关. .由此得由此得B B、n n个质点系统个质点系统分量形式分量形式12对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得分量形式为分量形式为C C、 若一个物体由若一个物体由A A、B B两部分组成，依质心两部分组成，依质心xy

9、zxyz方向表达式方向表达式 分别改写为分别改写为13同样同样 YZYZ方向质心位置分别为方向质心位置分别为 质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。质心的性质只有在体系的运动与外力的关系中才体现出来。因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力因此，质心并不是一个几何学或运动学的概念，而是一个动力学概念。学概念。14例题例题3.3 3.3 求半径为求半径为a a的均质半圆球的质心的均质半圆球的质心解：如图，以球心解：如图，以球心o o为原点建立坐标系为原点建立坐标系. .将半球体划分为若干将半球体划分为若干半径为半径为r r厚为厚为dzdz的薄圆平板状体积元的薄圆平板状

10、体积元dVdV而而x xz z0 0设设 ，则，则15例题例题3.4 3.4 如图，在半径为如图，在半径为R R的均质等厚大圆板的一侧挖掉的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为半径为R/2R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心解：选择如图坐标系，考虑对称性，余解：选择如图坐标系，考虑对称性，余下部分质心的下部分质心的y y坐标为零，仅需求坐标为零，仅需求x x坐标坐标大圆板质量为大圆板质量为 ， 质心坐标为质心坐标为小圆板质量为小圆板质量为 ， 质心坐标为质心坐标为余下的质量为余下的质量为 ，质心坐标用，质心坐标用 表示，则表示，则0 0x xy y1

11、6二、体系动量定理与质心运动定理二、体系动量定理与质心运动定理引入质心概念，质点系动量则可表示为引入质心概念，质点系动量则可表示为体系动量定理可写成体系动量定理可写成上述结论亦称为上述结论亦称为质心运动定理质心运动定理，其微分形式，其微分形式17 (3)(3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同. .从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的运动，而是质心的运动的运动，而是质心的运动. .而质心的存在，正是任意物体在而质心的存在，正是任意物体在一定条件下可以看成质点的物理基础一定

12、条件下可以看成质点的物理基础. .上式表明上式表明: : (2) (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。也将是正确的。 (1) (1) 质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分量方程，运动的独立性同样成立。量方程，运动的独立性同样成立。(4)(4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。18 2.2.物体相对固定参照系的运动可分解为

13、它相对质心系的物体相对固定参照系的运动可分解为它相对质心系的运动与质心系相对固定参照系的运动运动与质心系相对固定参照系的运动. .3.3.质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用质心坐标系在讨论质点系的力学问题中十分有用. .说明：说明：说明：说明：1.1.对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系对于孤立体系或所受外力的矢量和为零的体系其质心坐标系为其质心坐标系为惯性系惯性系. .对于受外力作用的体系，则是非惯性系对于受外力作用的体系，则是非惯性系. .三、质心坐标系三、质心坐标系 把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参照系（惯性系）的坐

14、标轴保持平行的平动坐标系称为（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系称为质心坐标系质心坐标系. . . .19例题例题3.5 3.5 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触挂着，其下端刚与地面接触. .此时放开绳子，从静止此时放开绳子，从静止状态开始下落状态开始下落. .已知绳子质量为已知绳子质量为m,m,长为长为L L，求下落到所求下落到所剩长度为剩长度为z z时，地面对这段绳子的作用力时，地面对这段绳子的作用力. .解：解：解法一（质心法）解法一（质心法） 把绳子看作一质点系。当绳子下落把绳子看作一质点系。当绳子下落到剩长度为

15、到剩长度为z z时，所其质心高度和速度时，所其质心高度和速度分别为分别为 所谓完全柔软的绳子所谓完全柔软的绳子, ,指的是绳子上端的下落速度指的是绳子上端的下落速度v=v=dzdz/ /dtdt与一个质点自由下落的速度相同，即与一个质点自由下落的速度相同，即z zOz z20由此可得质心加速度为由此可得质心加速度为 设地板对上段绳子的作用力为设地板对上段绳子的作用力为F F，对整根绳子应用质心对整根绳子应用质心运动定理，则有运动定理，则有21忽略二级小量，并考虑忽略二级小量，并考虑dtdt内落地绳子的长度为内落地绳子的长度为- -vdtvdt，可得可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的

16、作用力为加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为 绳子上端的下落速度为绳子上端的下落速度为 ，而紧靠地面，而紧靠地面的质元的质元dmdm与地面相碰时其动量由与地面相碰时其动量由vdmvdm变为零变为零. .故若设该质元受故若设该质元受到的支持力为到的支持力为 ，根据质点动量定理有，根据质点动量定理有解法二：（动量法）解法二：（动量法）22 动量守恒定律动量守恒定律恒矢量恒矢量一、动量守恒定律一、动量守恒定律由体系动量定理由体系动量定理若若F=0,F=0,则则说明：说明：1 1、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分、内力对体系的动量无贡献，但内力对体系动量的具体分配有重要作

17、用配有重要作用. .当体系所受外力矢量和为零时当体系所受外力矢量和为零时, ,但由于内力作用，可以有但由于内力作用，可以有234 4、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适、动量守恒定律虽可由牛顿定律导出，但它比牛顿定律的适 用范围更广用范围更广. .尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不尤其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立成立，但动量守恒定律仍然成立. .2 2、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒、动量守恒是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒. .3 3、在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力、在某些过程（如

18、爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力冲量很小有限，过程时间很短，外力冲量很小. .而其间内力很大，体系而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽略不计，故略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题动量再分配问题. .24例题例题3.6 3.6 质量为质量为M=500kgM=500kg、长为长为4 4m m的木船浮在静止水面的木船浮在静止水面上，一质量为上，一质量为m=50kgm=50kg的人站在船尾的人站在船尾. .此人

19、以时快时慢的此人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距离距离? ?设船与水之间的摩擦忽略设船与水之间的摩擦忽略. . 分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为零，质心在水平方向的位置保持不变零，质心在水平方向的位置保持不变, , 故宜用质心概念求解故宜用质心概念求解. .解：解：解法一（质心法）解法一（质心法） 取取x x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的行走方向为行走方向为x x正方向正方向. .人在船尾时，

20、体系质心的人在船尾时，体系质心的x x坐标坐标 为为L Lx x0 025 当人走到船头后，设船的中心坐标为当人走到船头后，设船的中心坐标为x x，则体系质心坐标为则体系质心坐标为 质心水平位置不变，即质心水平位置不变，即 ，故故0 0x xL Lx x0 0故船相对岸移动了故船相对岸移动了4/114/11m.m.26再设再设u u为人对船的速度，则为人对船的速度，则 如图，人在如图，人在 时间内从船的一端走到另一端，距离为时间内从船的一端走到另一端，距离为L,L,人和船对岸的移动距离分别为人和船对岸的移动距离分别为 ，则可写出下面三个，则可写出下面三个运动学关系式运动学关系式解法二（动量守恒

21、法）解法二（动量守恒法）在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故 其中其中 分别为某时刻人和船分别为某时刻人和船 对岸的速度对岸的速度. .L Lx x27由式（由式（1 1）得）得 ，并代入式（，并代入式（2 2），得），得28 所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量所谓变质量，是指体系在运动过程中不断与外界交换质量. .对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程对这样体系的运动过程可以分解为一系列元过程. .在元过程中，在元过程中，其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量其组成是确定的，质量是不变的，体系动量变化服从体系动量定理

22、定理. .由此即可导出主体的运动方程。由此即可导出主体的运动方程。一、一、变质量物体的运动变质量物体的运动 变质量物体的运动变质量物体的运动u u u u29这就是变质量质点（即主体）运动方程这就是变质量质点（即主体）运动方程. .（变质量动量定理）（变质量动量定理）令令 ，则，则 ，上式取极限得，上式取极限得即即 如图，在如图，在t t时刻，主体时刻，主体m m与附体与附体 是分离的是分离的. .经过经过 时时间，附体并入主体间，附体并入主体. .于是，由体系的动量定理，有于是，由体系的动量定理，有30说明：说明： 方程中外力方程中外力 ，附体对主体的作用力为，附体对主体的作用力为 . .当

23、当u=vu=v时，方程虽形式上与牛顿笫二定律时，方程虽形式上与牛顿笫二定律一样，但注意一样，但注意m m是变量是变量. . 当当u=0u=0时，方程变为时，方程变为 上式是在上式是在 的情况下导出的，但当的情况下导出的，但当 时，时，结论仍然正确结论仍然正确. .31 二、火箭飞行原理二、火箭飞行原理M M 设火箭喷出的气体相对速度设火箭喷出的气体相对速度u-vu-v沿火箭轨道切向，且为一沿火箭轨道切向，且为一常量常量 ；火箭飞行中不受外火箭飞行中不受外力作用；火箭起始质量为力作用；火箭起始质量为M,M,燃料烧尽后质量为燃料烧尽后质量为m.m.根据变质量质点运动方程，有根据变质量质点运动方程，

24、有由于是一维运动，由于是一维运动， ，且与，且与v v的方向相反，得的方向相反，得32注意，上式中注意，上式中dm0,dm0,积分得积分得通常通常 故故 至多可达至多可达 . .要提高要提高 ，可以用多级火箭，可以用多级火箭. .对于二级火箭对于二级火箭 可达可达 实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，实际发射火箭还将克服地球引力的影响和空气阻力的影响，情况要复杂得多情况要复杂得多. .33本章基本要求本章基本要求 进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它进一步掌握动量和冲量的概念及动量定理，特别是它 们的矢量性们的矢量性. . 进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特进一步掌握动量守恒定律解决问题的思路和方法，特 别是二维问题别是二维问题. . 理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方理解质心的概念及质心运动定理，掌握质心的计算方 法，初步掌握利用质心概念处理问题法，初步掌握利用质心概念处理问题. . 理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算理解变质量物体的运动规律，掌握火箭运动速度的计算. . . .34