拉普拉斯积分变换

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1、 拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)积分变换积分变换积分变换积分变换11 拉氏变换的概念拉氏变换的概念定义定义 设函数 当 时有定义，而且积分 （s是一个复参量） 在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数 的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）记为 F(s)称为 的拉氏变换拉氏变换（或称为象函数象函数）。 一、拉氏变换一、拉氏变换2若F(s)是 的拉氏变换，则称 为F(s)的拉拉氏氏逆变换逆变换（或称为象原函数象原函数），记为 可以看出， 的拉氏变换，实际上就是 的傅氏变换。 3例例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。 解 由拉氏变换的定义 此

2、积分在 时收敛，且 所以 4例例2 求指数函数 的拉氏变换（k为解 积分在 时收敛，且有 所以 实数）。52. 拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？ 6当 时， 的增长速度不超过某一指数函 ，使得 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）。 拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 若函数 满足下列条件： 在 的任一有限区间上分段连续； 数，亦即存在常数M0及7则 的拉氏变换 在半平面 上一定存在，右端的积分在 上绝对收敛而且一致收敛， 并且在 的半平面内， 为

3、解析函数。 8例例3 求正弦函数 （k为实数）的拉解解 同样可得余弦函数的拉氏变换： 氏变换。 9例例6 求单位脉冲函数 的拉氏变换。 利用性质： ，有 解解 10例例7 求函数 的拉氏变换。 解解 在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。 113拉氏变换的性质拉氏变换的性质 为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c。以下均设12a. 线性性质线性性质 若 是常数，则有 根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。13 b 微分性质微分性质 证证 由定义

4、并利用分部积分法得 这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减去函数的初值。 14推论推论: : 特别，当初值 时，有此性质使我们有可能将 的微分方程转化为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。15例例 求函数 的拉氏变换。 解 由于 由微分性质有 即 移项化简得 16例例 求函数 的拉氏变换，其中m是正整数 解 由于 而 所以 17即 而 所以 由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质： 一般地，有 18例例 求函数 的拉氏变换。 解 因为 根据象函数的微分性质 同理可得， 19c积分性质积分性质 证证 设 ，则有 ，且 由微分性质，有

5、 即 这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。 20重复应用积分性质可得： 此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质： 或一般地，有 21例例 求函数 的拉氏变换。 解 因为 据象函数的积分性质可知 22其中 这一公式，常用来计算某些积分。 存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有 如果积分 23例例 求积分 解 因为 且所以24d位移性质位移性质 若 ，则有 证证 上式右方只是在 中把s换成 ，所以 这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数 eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。25例例 求 解 因为 利用位移性质，可得 26例例 求 解

6、 因为 由位移性质得 275. 延迟性质延迟性质 若 ，又 时 则对于任一非负实数 有 或 证 28由于 时， ，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令 ，则 29函数 与f(t)相比，f(t)是从t = 0开始有非零数值， 而 是从 开始才有非零数值，即延迟了一个时间 。从它们的图象来讲， 的图象是由f(t)的图象沿t 轴向右平移距离而得。象函数乘以指数因子 。 这个性质表明，时间函数延迟 的拉氏变换等于它的30例例 求函数 的拉氏变换。 解 由于 根据延迟性质，有 31二、拉氏逆变换 在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数求它的象原函数f(t)。由拉氏变换的概念可知，函数 的拉氏

7、变换就是 的傅氏变换。 32于是，当 满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏积分公式，在 连续点处有: 33等式两边乘以 ，并考虑到它与积分变量 无关，则 令 ，有 这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分反演积分。34此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。 35定定 理理 若 是函数 的所有奇点（适当选取 使这些奇点全在 的范围内），且当 时， ，则有 即即36例例1：求求的逆变换。的逆变换。 解解 : F(s)有两个一级极点有两个一级极点 由拉

8、氏反演积分公式得由拉氏反演积分公式得 37 例例2： 求求的逆变换。的逆变换。 解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积 分公式得 38例例3： 求求的逆变换的逆变换。 解 : 利用部分分式的方法将F(s)化成 所以39卷卷 积积 拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。 401. 卷积的概念卷积的概念傅氏变换中两个函数的卷积是指 在拉氏变换中函数 如果都满足条件：当t0时， 则上式可写成 今后如不特别声明，都假定这些函数在t0时恒为零。 41 例例1 求函数 和 的卷积， 即求 。 解：根据定义得：42卷积的性质：卷积

9、的性质： 432. 卷积定理卷积定理 假定 ， 满足拉氏变换存在定理中的条件，且 ，则 的拉氏变换一定存在，且或44推论若 满足拉氏变换存在定理中的条件，且 ，则有 在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例说明它在求函数的逆变换中的应用。 45 例例2 设 ，求f(t)。 解: 令则根据卷积定理和例1得 46例例3 设 ，求f(t)。 解：所以47 例例4 设 ，求f(t)。 解：根据位移性质， 所以4849微分方程的拉氏变换解法微分方程的拉氏变换解法 利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数

10、，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解。解法的的过程如下图所示。 50象 函 数象 原 函 数(微分方程的解)象 函 数 的代 数 方 程微 分 方 程取拉氏逆变换解代数 方程取拉氏变换51例例1 求方程 的解。满足初始条件解: 设Ly(t)=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并 考虑到初始条件，得这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)，得所求函数的拉氏变换52取它的逆变换便可以得出所求函数y(t)。 取逆变换得到所求微分方程的解 53例例2 求方程组 满足初始条件 的解。解 设Ly(t)=Y(s),Lx(t)=X(s)，对方程组两个 方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得 54整理化简后得解这个方程组得 55由于 因此所求方程组的解为 由以上例子可以看出：在解微分方程的过程中，初始条件也同时用上了，求出的结果就是方程的特解。 56