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1、第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用基础知识梳理基础知识梳理非零非零(2)范围范围向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ，a与与b同向时，夹角同向时，夹角 ；a与与b反向时，夹反向时，夹角角 .(3)向量垂直向量垂直如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是 ，则，则a与与b垂直，记作垂直，记作 .基础知识梳理基础知识梳理0180018090ab【思考思考提示提示】不正确求两不正确求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量的夹角时，两向量起点应相同，向量向量a与与b的夹角为的夹角为ABC.基础知识梳理基础知识梳理2平面向量的数量积平面向量的数量积已知两个非零向量已知两个非零向量a、b，a(x1，
2、y1)，b(x2，y2)基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理定义定义(1)ab(2)规定：规定：0a坐标表示坐标表示ab 运算律运算律(1)abba(2)(a)b (3)(ab)ca在在b方向上的投影方向上的投影b在在a方向上的投影方向上的投影ab的几何意义的几何意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与 |a|b|cos0x1x2y1y2(ab)a(b) acbc|a|cos|b|cosb在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos的的乘积乘积3.与平面向量的数量积有关的结与平面向量的数量积有关的结论论已知两个非零向量已知两个非零向量a、b，a(x1，y1)，b(x2，y
3、2)基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模夹角夹角 cos ab的充的充要条件要条件ab0x1x2y1y20|ab|与与|a|b|的关的关系系|ab|a|b| |x1x2y1y2|2.如何利用向量的数量积证明如何利用向量的数量积证明ab?【思考思考提示提示】若若ab|a|b|或或ab|a|b|，则，则ab.基础知识梳理基础知识梳理4.向量方法解决几何问题的步骤向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与建立几何与 的联系，用的联系，用 表表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为化为 问题；问题；(2)通过
4、向量的运算，研究几何元素之通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；问题；(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系基础知识梳理基础知识梳理向量向量向量向量向量向量1(2009年高考重庆卷改编年高考重庆卷改编)已知已知|a|1，|b|6，(a2b)(ba)68，则向量则向量a与与b的夹角是的夹角是()答案：答案：C三基能力强化三基能力强化2已知已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则，则a(bc)等于等于()A(26，78) B(28，42)C52 D78答案：答案：A三基能力强化三基能力强化3已知已知a
5、(2,1)，b(3，x)，若，若(2ab)b，则，则x的值是的值是()A3 B1C1或或3 D3或或1答案：答案：C三基能力强化三基能力强化4(教材习题改编教材习题改编)若若|a|2，|b|5，ab3，则，则|2ab|_.三基能力强化三基能力强化答案：答案：1三基能力强化三基能力强化1数量积的运算要注意数量积的运算要注意a0时，时，ab0，但，但ab0时不能得到时不能得到a0或或b0，因为，因为ab时，也有时，也有ab0.2若若a、b、c是实数，则是实数，则abacbc(a0)；但对于向量，就没有；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量这样的性质，即若向量a、b、c满足满足abac(a0)，则
6、不一定有，则不一定有bc，即，即等式两边不能同时约去一个向量，但等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量可以同时乘以一个向量课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1已知已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求求a与与b的夹角的夹角；(2)求求|ab|.【思路点拨思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练平面向量数平面向量数量积的定义量积的定义夹角公式夹角公式求模公式求模公式课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】正确地进行数量正确地进行数量积的运算，避免错用公式，如积的运算，避免错用公式，如a
7、2|a|2是正确的，而是正确的，而ab|a|b|和和|ab|a|b|都是错误的都是错误的课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算注意注意：(1)x1y2x2y10与与x1x2y1y20不同，前者是两向量不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件者是它们垂直的充要条件课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2 (2009年高考江苏卷年高考江苏卷)设向量设向量a(4cos，sin)
8、，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.【思路点拨思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】向量的坐标表示向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平
9、面内两点间的距离、两个的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直向量的夹角，判断两向量是否垂直课堂互动讲练课堂互动讲练1平面几何经常涉及距离平面几何经常涉及距离(线段线段长度长度)、夹角问题，而平面向量的运算，、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题法解决部分几何问题2物理学中的力、速度、位移都物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，故可以用向量的知识来加减法相似，故可以用向量的
10、知识来解决某些物理问题解决某些物理问题课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三平面向量的应用平面向量的应用课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3如图，如图， ABCD中，点中，点E，F分别是分别是AD，DC边的中点，边的中点，BE，BF分别与分别与AC交于交于R，T两点，你能两点，你能发现发现AR，RT，TC之间有何关系吗？之间有何关系吗？【思路点拨思路点拨】第一步，建立平第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问面几何与向量的关系，用向量表示问题的几何元素，将平面几何问题转化题的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题为向量问题第二步，通过向量运算，研究几第二步，通过向量运算，研究几何元素之间
11、的关系何元素之间的关系第三步，把运算结果第三步，把运算结果“翻译翻译”成几成几何关系何关系课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】用向量法解决几用向量法解决几何问题时，先用向量表示相应的点、何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算研究点、线段等元素之间的量的运算研究点、线段等元素之间的关系；最后把运算结果关系；最后把运算结果“翻译翻译”成几何成几何关系，得到几何问题的结论这就是关系，得到几何问题的结论这就是向量法解决平面几何问题的向量法解决平面几何问题的“
12、三部曲三部曲”课堂互动讲练课堂互动讲练向量与三角函数结合是高考命题向量与三角函数结合是高考命题的一个热点，在处理这类问题时，除的一个热点，在处理这类问题时，除注意三角公式的合理应用外，要特别注意三角公式的合理应用外，要特别注意有关向量的数量积、向量的夹角、注意有关向量的数量积、向量的夹角、向量模的公式的准确使用向量模的公式的准确使用课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四平面向量的综合问题平面向量的综合问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4【思路点拨思路点拨】先利用向量运算先利用向量运算求得函数求得函数f(x)的解析式，再求的解析式，再求f(x)的周的周期和单调区间期和单调区间课堂互动讲练课堂
13、互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】本题中通过向量本题中通过向量的坐标运算得到复合函数的坐标运算得到复合函数yloga2sin(2x)，根据复合函数，根据复合函数“同增同增异减异减”的单调原则进行求解，在解题过的单调原则进行求解，在解题过程中要注意定义域的限制，即单调区程中要注意定义域的限制，即单调区间必须在间必须在g(x)0的前提下进行判断的前提下进行判断课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1对数量积概念的理解对数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个数量，两个向量的数量积
14、是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件以上条件规律方法总结规律方法总结(2)两向量两向量a，b的数量积的数量积ab与代数与代数中中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉的乘积写法不同，不应该漏掉其中的其中的“”(3)b在在a上的投影是一个数量，
15、它上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于可正，可负，也可以等于0.2.对数量积运算律的理解对数量积运算律的理解(1)当当a0时，由时，由ab0不一定推出不一定推出b0，这是因为对任一个与，这是因为对任一个与a垂直的向垂直的向量量b，都有，都有ab0.规律方法总结规律方法总结当当a0时，时，abac也不一定推出也不一定推出bc，因为由，因为由abac，得，得a(bc)0，即，即a与与(bc)垂直也就是向量的数垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律量积运算不满足消去律(2)对于实数对于实数a，b，c，有，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，但对于向量来说，(ab)c与与a(bc)不一定相等，这是因为不一定相等，这是因为(ab)c表表示一个与示一个与c共线的向量，而共线的向量，而a(bc)表示表示一个与一个与a共线的向量，而共线的向量，而a与与c不一定共不一定共线，所以线，所以(ab)c与与a(bc)不一定相等不一定相等规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
