第四章晶体的定向和晶面符号

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1、第三章 晶体的定向和晶面符号crystal orientating & crystallographic symbols 晶体定向的概念 整数定律 晶体定向的原则 晶系的定向法则 晶面符号 晶棱符号 晶带定律和晶带符号一、晶体的定向（三轴定向） 在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确定各轴上的轴单位长度之比。(1) 晶轴晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、z。(2) 轴角轴角:、(3) 轴长和轴率：轴长和轴率：晶轴是晶体中格子构造中的行列，轴单位是该行列上的结点间距。分别以 a、b、c表示，a:b:c为轴率。a、b、c和和、称之称之为晶体几何常数为晶体几何常数晶体的三轴定向:选择三个不共面

2、的坐标轴 x, y, z安置晶体。 晶体的四轴定向: 适用于六方和三方晶系一个直立轴，三个水平轴三三轴轴定向和四定向和四轴轴定向的比定向的比较较 二、晶体定向原则适宜的晶棱方向作为结晶轴 符合晶体本身的对称符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴适宜的对称元素作为结晶轴 尽量使得晶轴之间夹角为90 请注意请注意: : 在晶体的宏观形态上根据对称特在晶体的宏观形态上根据对称特点选出的三根晶轴点选出的三根晶轴, ,与晶体内部结构的空间格与晶体内部结构的空间格子的三个不共面的行列方向是一致的子的三个不共面的行列方向是一致的. . 为什么为什么? ?因为空间格子中三个不共面的行因为空间格子中三个不

3、共面的行列也是根据晶体的对称性列也是根据晶体的对称性, ,人为地画出来的人为地画出来的. .而而晶轴也是根据晶体的对称性晶轴也是根据晶体的对称性, ,人为地选出来的人为地选出来的. .晶体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的晶体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的, ,所以所以 晶轴与三个行列就是一致的晶轴与三个行列就是一致的. . 在三个行列上有在三个行列上有晶胞参数晶胞参数(a,b,c; ,),这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角的夹角.等轴晶系的定向: 晶体几何常数为晶体几何常数为: a = b = g = 90, a = b = c

4、三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平四方晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = b = g = 90, a = b c唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对 称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平斜方晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = b = g = 90, a b c三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。3L23PCL22P3

5、L2单斜晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = g = 90, b 90a b cL2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜。三斜晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a b g 90 a b c适当的晶棱为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后。三方和六方晶系的四轴定向：选择唯一的高次轴作为直立结晶轴Z轴，在垂直Z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60交角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴)晶体几何常数晶体几何常数: a = b = 90, g

6、 =120, a = b cz 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30 晶系晶系 选轴原则选轴原则 晶体常数特点晶体常数特点等轴晶系等轴晶系以互相垂直的L4或Li4或相互垂直的L2分别作为为X、Y、Z轴a = b = ca = b = g = 90四方晶系四方晶系L4或或Li4为为Z轴轴,以以垂垂直直Z轴轴，并并互互相相垂垂直直的的L2或或P的的法法线线为为X、Y轴轴，在在Li42L22P对对称称型中型中，以两个以两个L2为为X、Y轴。轴。a = b ca = b = g = 90三三方方晶晶系系及六方晶系及六方晶系以以L3或或 L6 或或Li6 为为Z轴轴，以以垂垂直直Z轴轴并并

7、彼彼此此交交角角120（正正端端）的的3个个L2或或P法法线线或或晶晶棱棱方方向向为为X、Y、U，在在Li63L23P对对称称型中型中，以以3个个L2 分别为分别为X、Y、U轴。轴。a = b ca = b = 90g = 120 斜方晶系斜方晶系以以互互相相垂垂直直的的3个个L2或或P的的法法线线为为X、Y、Z轴轴；在在L22P中中，以以L2为为Z轴轴，以以两两个个P的法线方向为的法线方向为Z轴和轴和X轴。轴。a b ca = b = g = 90单斜晶系单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴的主要晶棱方向为X、Z轴a b ca = g = 90b 90三斜晶系三斜晶系以不在同一平面的

8、三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴a b c a b g各晶系的晶体几何常数特点等轴晶系等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系四方晶系：a = b c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系三方和六方晶系：a = b c，a = b = 90，g = 120； 三方晶系菱面体格子三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g 60 90 1092816斜方晶系斜方晶系：a b c，a = b = g = 90； 单斜晶系单斜晶系：a b c，a = g = 90，b 90； 三斜晶系三斜晶系：a b c，a b g；各晶系的晶体几何常数特点三三

9、、 对称型的国际符号对称型的国际符号 对对称称型型的的国国际际符符号号很很简简明明，1 1）它它不不将将所所有有的的对对称称要要素素都都写写出出来来,2,2）并并且且可可以以表表示示出出对对称称要要素素的的方方向向性性,3,3）但它不容易看懂但它不容易看懂. . 特点是特点是: :凡是可以派生出来的对称要素都省略了凡是可以派生出来的对称要素都省略了. . 对对称称轴轴以以 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6表表示示; ;对对称称面面以以m m表表示示, ,旋旋转转反反伸伸轴轴以以1、2、3、4、6表表示示,若若对对称称面面与与对对称称轴轴垂垂直直，则则两两者者之之间间以以斜斜线线或或横横线

10、线隔隔开开，如如L2PC以以2/m表表示示，L4PC以以4/m表表示示(由由此此可可以以看看出出，对对称称中中心心C就就不不必必再再表表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。32个对称型见表个对称型见表3-4。 具体的写法为具体的写法为: :设置一至三个序号位设置一至三个序号位( (最多只有三最多只有三个个),),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素, ,对对称意义完全相同的方向上的对称要素称意义完全相同的方向上的对称要素, ,不管有多少不管有多少, ,只只写一个就行了写一个就行了. . 不同晶系中

11、不同晶系中, ,这三个序号位所代表的方向完全不同这三个序号位所代表的方向完全不同, ,所以所以, ,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同不同晶系的国际符号的写法也就完全不同, ,一定一定不要弄混淆不要弄混淆. . 每个晶系的国际符号写法见表每个晶系的国际符号写法见表4 42 2( (此表很重要，此表很重要，要熟记！要熟记！) ). .表表4-3各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向:、U 晶系晶系 选轴原则选轴原则 晶体常数特点晶体常数特点等轴晶系等轴晶系以互相垂直的L4或Li4或相互垂直的L2分别作为X、Y、Z轴a = b = ca = b =

12、g = 90四方晶系四方晶系L4或或Li4为为Z轴轴,以以垂垂直直Z轴轴，并并互互相相垂垂直直的的L2或或P的的法法线线为为X、Y轴轴，在在Li42L22P对对称称型中型中，以两个以两个L2为为X、Y轴。轴。a = b ca = b = g = 90三三方方晶晶系系及六方晶系及六方晶系以以L3或或 L6 或或Li6 为为Z轴轴，以以垂垂直直Z轴轴并并彼彼此此交交角角120（正正端端）的的3个个L2或或P法法线线或或晶晶棱棱方方向向为为X、Y、U，在在Li63L23P对对称称型中型中，以以3个个L2 分别为分别为X、Y、U轴。轴。a = b ca = b = 90g = 120 斜方晶系斜方晶系

13、以以互互相相垂垂直直的的3个个L2或或P的的法法线线为为X、Y、Z轴轴；在在L22P中中，以以L2为为Z轴轴，以以两两个个P的法线方向为的法线方向为Z轴和轴和X轴。轴。a b ca = b = g = 90单斜晶系单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴的主要晶棱方向为X、Z轴a b ca = g = 90b 90三斜晶系三斜晶系以不在同一平面的三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴a b c a b g四、晶面符号1、晶面符号的概念、晶面符号的概念 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其它平面）与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号。 目前国际上通用的都

14、是米氏符号(Millers symbol)，亦称米勒符号。 (hkl) (hkil) 晶面指数晶面指数2. 晶面符号的产生晶面符号的产生晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴x轴、y轴、z轴上的截距依次为OA、OB、OC, 已知轴率为abc，则该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l 晶面指数(米氏指数): 取h:k:l的最简单整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数; 注意正负之分。(321)截距系数的倒数比 米氏指数米氏指数(Miller indices)是指：用来表

15、达晶面在晶体上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比截距系数的倒数比。 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括园括号号内, 表达为( (h k lh k l) ), 便构成了晶面的米氏符号。 按x、y、z轴顺序，不得颠倒！ 晶轴有正负方向，指数的负号写在上面 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交zyOA AB BC Cxx xy yz zx = (1 1 1) y = (h k l) = ? y = (12 3 4)考察晶体模型晶面的晶面符号：考察晶体模型晶面的晶面符号：CubeOctahedronDodecahedron 111 111

16、 _111 _111 _ 110 101 011 011 _110 _ 101 _All three combined:四轴定向的晶面符号四轴定向的晶面符号定义同三轴定向，指数的排列顺序依次为X、Y、U和Z轴，轴率为1：1：1：C，C=c/a，用(h k i l)的形式表达， h:k:i:l=1/OX:1/OY:1/OU:1/OZ由于X、Y和U轴相交120，不难证明： h+k+i=0(1010)(1120)五、整数定律（有理指数定律或阿羽毛依定律，R.J. Hauy,1784）如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，则如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，则晶体上任意二晶面在三个坐标

17、轴上所截截距的比值之晶体上任意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值之比为一简单整数比比为一简单整数比。设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距分别为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、OC2，令： OA1/ OA2: OB1/ OB2: OC1/ OC2=e:f:g 则e:f:g必可化为简单的整数比。 因为：因为： OA1 ma，OB1 pb，OC1 sc OA2 na，OB2 qb，OC2 tc m, n, p, q, s, t都为整数，故m/n:p/q:s/t可化为整数比。zyOA A1 1B B1 1C C1 1unknown face (unknown face (A

18、A2 2B B2 2C C2 2) )reference face (reference face (A A1 1B B1 1C C1 1) )2124Miller index of Miller index of face face XYZXYZ using using ABCABC as the as the reference facereference face23invertinvert124232clear of fractionsclear of fractions(13)4xA A2 2B B2 2C C2 2xyaobo(010)(110)(210)(310)对于实际晶体而言

19、，晶面指数为简单的整数。对于实际晶体而言，晶面指数为简单的整数。六晶棱符号、晶带与晶带定律1、晶棱符号晶棱符号：表征晶棱方向的符号，所有平行的晶棱具有同一个晶棱符号。晶棱符号只涉及方向, 不涉及具体位置。截距系数比：表达为u v w u:v:w = MR/a : MK/b : MF/c u v w = u v w此例：此例：u v w = 1 2 3四轴定向时的晶棱符号四轴定向时的晶棱符号以u v m w的形式表达也有三指数形式: u v w四指数和三指数四指数和三指数 之间的比较之间的比较 010- 120- 100 210-2、晶带晶带: (zone)(zone)彼此间的交棱均相互平行的一

20、组晶面之组合。晶带轴晶带轴晶带轴晶带轴(zone axis)(zone axis)用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向。晶带符号晶带符号晶带符号晶带符号(zone symbol)(zone symbol) 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示。一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带，实际晶体上的晶带是为数不多的。晶带符号晶带符号 例如例如 (110), (100), (110), (010)的交棱相互平行，组成一个晶带; 直线CC即可表达为此晶带的晶带轴 此组晶棱的符号,即该晶带轴的符号，为001（或者001）晶带 3、晶

21、带定律晶带定律(zone law) 即：任一属于u v w晶带的晶面(h k l)，必定有：h u + k v + l w = 0晶带方程简单的证明：简单的证明： 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达为 h x + k y + l z = 0 因(h k l)晶面属于u v w晶带, 故直线u v w上的任一点均满足平面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程。另一种表达方式：晶体上每一个晶面与其它晶面相交，必有两个以上互不

22、平行的晶棱。因此，每一个晶面至少属于两个晶带。晶带定律的应用：1、已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 如二已知晶面(hkl)和(mnp)，其交棱（即晶带）的符号uvw为： u:v:w=(kp-nl):(lm-ph):(hn-mk) 因为有：hu+kv+lw=0 (1) mu+nv+pw=0 (2) 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得。 如包含(110)和(201)晶面的晶带符号为112或1122、求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号。 作业：求同时属于102和112晶带的晶面之符号。3、判断某已知晶面是否属于某个已知晶带。 作业：已知晶带112，确定(021)和(130)晶面是否属于该晶带？思考题晶体定向的原则，各晶系晶体定向的方法和晶体几何常数的特点。为什么四方晶系和三、六方晶系的晶体的轴单位具有a=bc的特征？111、100和110在等轴、四方、斜方、单斜（L2PC）和三斜晶系中分别代表什么单形？1011、1120和1121在三方和六方晶系中各代表什么单形？简述整数定律的内容。证明四轴定向的晶面符号中h+k+i=0。晶面（2135）是否肯定在c轴上的截距最短？对于三个水平结晶轴来说，是否肯定在d轴上的截距最短？为什么？晶体形态如图。回答下列问题：对称型，所属晶族和晶系；如何进行晶体定向？各晶面的晶面符号； 单形名称和单形符号。