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1、数学建模简明教程国家精品课程国家精品课程第三章第三章 常微分方程常微分方程一、一、引言引言二、模型的建立二、模型的建立机理分析法机理分析法三、三、SARS传播模型中参数的确定传播模型中参数的确定四、四、SARS传播模型的求解传播模型的求解五、参数的灵敏度分析五、参数的灵敏度分析目录下页返回上页结束目录下页返回上页结束 2003年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的A题题“SARS（Severe制提供可靠、足够的信息的传染病模型：制提供可靠、足够的信息的传染病模型：传播传播”要求建立一个能够预测以及能为预防和控要求建立一个能够预测以及能为预防和控Acute Respiratory Syndrome，非
2、典型肺炎）的，非典型肺炎）的天发病，天发病， SARS自自02年年11月发现以来，迅速蔓延月发现以来，迅速蔓延播的恶性传染病，潜伏期约播的恶性传染病，潜伏期约212天，通常在天，通常在45 非典型肺炎是非典型肺炎是21世纪第一个在世界范围内传世纪第一个在世界范围内传一、引言一、引言到世界到世界28个国家，据世界卫生组织报告，截至个国家，据世界卫生组织报告，截至03延创造条件的重要性，这是人们十分关注的问题延创造条件的重要性，这是人们十分关注的问题.研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地中得到了许多重要的经验
3、和教训，认识到定量地的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从患者即高达百人以上患者即高达百人以上. SARS的爆发和蔓延给我国的爆发和蔓延给我国人，其中人，其中343人死亡，高峰期，北京市每日新增人死亡，高峰期，北京市每日新增792人死亡，我国情况尤为严重，病例高达人死亡，我国情况尤为严重，病例高达5327年年6月月13日，全世界的日，全世界的SARS病例已达病例已达8454人，共人，共目录下页返回上页结束 建立建立SARS传播的数学模型，可以在一般情传播的数学模型，可以在一般情和控制和控制. 最后给出参数的灵敏度分析以探讨最后给出参数的灵敏度分析以
4、探讨SARS的预防的预防参数，从而利用参数，从而利用Runge-Kutta方法求解该模型，方法求解该模型，针对针对SARS传播模型讨论如何确定模型中的关键传播模型讨论如何确定模型中的关键介绍利用机理分析法建立介绍利用机理分析法建立SARS传播模型，然后传播模型，然后是依据机理分析的方法来建模是依据机理分析的方法来建模. 为此，本章首先为此，本章首先流行的观测往往也不完善和充分，因此通常主要流行的观测往往也不完善和充分，因此通常主要况分析受感染人数的变化规律，然而实际况分析受感染人数的变化规律，然而实际SARS问题分析：问题分析：目录下页返回上页结束 1. SI1. SI模型模型模型模型推知：推
5、知：二、模型的建立二、模型的建立机理分析法机理分析法目录下页返回上页结束SI模型模型目录下页返回上页结束i t曲线曲线目录下页返回上页结束di/dt t 曲线曲线目录下页返回上页结束1、最终全部感染为病人、最终全部感染为病人2、模型没有考虑病人可以治愈、模型没有考虑病人可以治愈3、i=0.5时，时，di/dt最大，传染病高潮到来，此时最大，传染病高潮到来，此时关于关于SI模型的结论：模型的结论：目录下页返回上页结束 推知：推知：2. SIS模型模型目录下页返回上页结束SIS模型的解模型的解目录下页返回上页结束SIS模型的分析模型的分析目录下页返回上页结束i t曲线曲线目录下页返回上页结束1、接
6、触数的临界值为、接触数的临界值为2、SI模型可视为本模型的特例，此时模型可视为本模型的特例，此时关于关于SIS模型的结论：模型的结论：目录下页返回上页结束 推知：推知：3. SIR模型模型目录下页返回上页结束相平面相平面S-I分析分析目录下页返回上页结束SIR模型的相轨线模型的相轨线目录下页返回上页结束关于关于SIR模型的结论：模型的结论：目录下页返回上页结束目录下页返回上页结束就是抓住主要矛盾，忽略一些不必要的因素和就是抓住主要矛盾，忽略一些不必要的因素和次要矛盾次要矛盾.理假设的前提下，确定主要因素之间的关系，也理假设的前提下，确定主要因素之间的关系，也手手.微分方程建模是从实际问题出发，
7、在某些合微分方程建模是从实际问题出发，在某些合把所有的因素全部考虑在内建立模型，将无从下把所有的因素全部考虑在内建立模型，将无从下迁出以及潜伏期和地理环境等因素的影响迁出以及潜伏期和地理环境等因素的影响.如果如果治愈率的大小等治愈率的大小等. 另外，还要考虑人群的迁入另外，还要考虑人群的迁入多，如患病者的数量、易感者的数量、传染率和多，如患病者的数量、易感者的数量、传染率和 事实上，事实上，SARS在传播过程中涉及的因素很在传播过程中涉及的因素很4. SARS的传播模型的传播模型目录下页返回上页结束3、假设病人被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期、假设病人被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期2、结合、
8、结合SARS的病理特性，假设其传播方式为接的病理特性，假设其传播方式为接1、所研究地区的人口总量一定，不考虑人口迁入、所研究地区的人口总量一定，不考虑人口迁入 迁出、自然出生和自然死亡迁出、自然出生和自然死亡 触性传播，不与患病者接触就不会被感染触性传播，不与患病者接触就不会被感染 内不具备传染性内不具备传染性关于关于SARS的假设的假设目录下页返回上页结束传染他人传染他人易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比，易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比，6、假设、假设SARS康复者不会被再次感染，且无传染性康复者不会被再次感染，且无传染性4、假设易感者与患病者在人群中混合充分均匀，、假设易感
9、者与患病者在人群中混合充分均匀，并且传染率为常数并且传染率为常数5、假设、假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以患者只在被发现前可以目录下页返回上页结束人口分类（在此用绝对人数）人口分类（在此用绝对人数）目录下页返回上页结束目录下页返回上页结束SARS传播仓室模型的框图传播仓室模型的框图 目录下页返回上页结束参数说明参数说明目录下页返回上页结束SARS模型模型目录下页返回上页结束型，可参照传染病的一般原理，充分利用卫生型，可参照传染病的一般原理，充分利用卫生仿真、模拟来确定参数随时间变化的函数关系
10、仿真、模拟来确定参数随时间变化的函数关系.型所面临的一个关键问题型所面临的一个关键问题. 针对针对 SARS 传播模传播模事实上，确定模型的参数往往是一般传染病模事实上，确定模型的参数往往是一般传染病模反映到模型中，亦是应当回答的一个重要问题反映到模型中，亦是应当回答的一个重要问题.面，如何将我国一系列强有力的隔离预防措施面，如何将我国一系列强有力的隔离预防措施历史数据，如对其传染率就难以估计；另一方历史数据，如对其传染率就难以估计；另一方是对这一突发的新型恶性传染病缺乏认识，无是对这一突发的新型恶性传染病缺乏认识，无 在在SARS流行初期，建模所碰到困难主要流行初期，建模所碰到困难主要部门每
11、天发布的精确数据，通过对数据的动态部门每天发布的精确数据，通过对数据的动态三、三、SARS传播模型中参数的确定传播模型中参数的确定目录下页返回上页结束北京地区确诊病人的死亡率和治愈率北京地区确诊病人的死亡率和治愈率目录下页返回上页结束目录下页返回上页结束先建立简单的先建立简单的SIR模型模型目录下页返回上页结束因此，只要得到免疫率参数，就可以拟合出传染系数因此，只要得到免疫率参数，就可以拟合出传染系数从而，有从而，有目录下页返回上页结束1. Runge-Kutta方法方法迭代公式解法：迭代公式解法：p阶公式：阶公式： 如果有如果有四、四、SARS传播模型的求解传播模型的求解目录下页返回上页结束二二阶阶RungeKutta公式公式目录下页返回上页结束2. 模型求解模型求解目录下页返回上页结束香港疫情分析香港疫情分析图（有自愈）图（有自愈）目录下页返回上页结束香港疫情分析香港疫情分析图（无自愈）图（无自愈）目录下页返回上页结束第第500天时累计患病人数随着参数天时累计患病人数随着参数z的变化图的变化图五、参数的灵敏度分析五、参数的灵敏度分析目录下页返回上页结束第第500天时累计患病人数随着参数天时累计患病人数随着参数z的变化图（续）的变化图（续）目录下页返回上页结束再见目录下页返回上页结束
