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1、 微分方程之 减肥问题 讲课小组： 何伟 张波 郑健伟摘要： 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或倒数，这样所得到变量之间的关系就是微分方程模型。微分方程模型反应的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。 本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t(天)，从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二第三问，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得到确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。【关键字关键字】： 微分方
2、程 转化 能量转化系数 1. 问题重述问题重述 现有五个人，身高，体重和BMI指数分别如下表所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 表一人数人数12345身高身高1.71.681.641.721.71体重体重100112113114124BMI34.633.535.234.825.6理想目理想目标标7580808590题目要求如下：(1) 在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的 热量保持 下限，减肥达到目标：(2) 若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经 过调查资料得到以下各项运动每小时每kg体重消耗的热量如下表二所示： 表二 运运动
3、动 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓自行自行车车（中速）（中速） 游泳游泳（50m/min）热热量消耗量消耗/k 7.03.04.42.57.9 (3) 给出达到目标后维持体重的方案。 2. 问题的背景与分析问题的背景与分析 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高，饮食营养摄入的改善和变化，生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题，为此，联合国世界卫生组织颁布人体体重指数（简记BMI）： 体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖，据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上规定中的25改为24.30改为29。 无论从健
4、康角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组件模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析。根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于维持人体正常生理功能所需要的能量。 因此作为人体体重极限值减肥效果指标一定存在一个下限w1，当w w1 时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需，这是减肥所得到的结果不能认为有效的，它将危及人的身体健康，是危险的，称 w1 为减肥的临界指标。 另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范
5、围， 计为 0 R R1 ,为三个区域 A,B,C 这表明能量的摄取量高于体重 w0 时的摄入量 A，这是体重不会从 w0 减少，称之为非减肥去，C 区为危险区，B 区为有效减肥区，可以看到单一的减肥措施达不到减肥效果。 3. 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明3.1 模型假设：(1) 人体的脂肪是能量的主要存储和提供方式，而且也是减 肥的主要目标，因为对于一个成年人来说体重主要由分组成，包括骨骼，肌肉，水和脂肪。骨骼，肌肉和水大体上可以认为是不变的，所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志，已知脂肪的转化率为 100% ，每千克的脂肪可以转化为 8000kcal 的能量 （kcal 为
6、国际单位制单位）。(2) 忽略个体间的差异（年龄，性别，健康状况等） 对减肥的影响，人体的体重仅仅看成时间t 的函数 w(t) 。(3) 由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以 w(t) 是连续而且是光滑的。(4) 运动引起的体重减少成正比于体重；(5) 正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为 28.75 45.71 kcal,且因人而异。(6) 人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于 1429 kcal 3.2 符号说明：D： 脂肪的能量转化系数W(t)：人体的体重关于时间 t 的函数。r ：每千克体重每小时运动所消耗的能量 ( kcal/kg
7、)/hb ：每千克体重每小时所消耗的能量 ( kcal/kg)/hA0 ： 每天摄入的能量W1 ：五个人理想的体重目标向量A ： 五个人每天分别摄入的能量W ：五个人减肥前的体重B ：每个人每千克体重基础代谢的能量消耗 4. 问题分析问题分析 如果以 1 天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应为 B=24b ( kcal/d)，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动 h 小时，则每天由于运动所消耗的能量应为 R= rh ( kcal/d)，在时间段 ( t , t + t) 内能量的变化基本规律为： 取 t 0, 可得 （1） 其中 a = A/D, d = (B +
8、 R)/D, t = 0 (模型开始考察时刻)， 即减肥问题的数学模型求解有： （2）利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数。 5.模型的建立（1） 首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 B, 因为没有运动，所以有 R = 0， 根据公式 （2）式， 得到： 从而得到没人每千克体重基础代谢的能量消耗。 从假设（5）可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，没有运动，所以会长胖，进一步，由W(t) (五人的理想体重)， W （五人减肥前的体重），D = 8000kcal/kg (脂肪的能量转换系数) 根据式（2）式有 将 A （五个人每天分别摄入的能量）的值
9、代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想目标所需的天数，如下表所示： 表三 （2） 为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时 每千克体重消耗的热量表： 由假设（4）可知，表中热量消为 r ,取 h = 1 h ，R= rh =r ，根据（2）式有： 人 1 2 3 4 5 天数 194 372 313 266 298 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车（中速） 游泳（50m/min） 能量消耗/k 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入时，取不同的r , 得到一组据在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同的运动强度下，要达
10、到自己的理想目标所需的天数，如下表所示： 表四 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 时间/天 122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154 （3）要使体重稳定在一个定值，则有 根据自己的不同理想目标和 B (每人每千克体重基础代谢的能量消 耗)， 在 不同小时下的能量消耗表： （1） 在 h= 1 的情况下运动所消耗的能量，如下表： 表五 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量 ( kcal )2667.002367.8002472
11、.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.0002676.0002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800 （2） 在 h = 2 的情况下运动所消耗的能量，如下表： 表六 6 模型的分析与讨论 (1) 从以上几个表可知，普遍管擦得出结论，游泳是减肥的 最佳方法，无论是在长时间还是在短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥
12、的最佳方法，也可以从下图可知， 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量 ( kcal )3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800 图一表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理
13、有效的。 图一 (2) 在式（2）中假设 a = 0，即假设停止进食，无任何能 量摄入。于是有 或 这表明 在 t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由 给出，称 为 （0，t）时间内的体重保存率，特别当 t = 1 时， 给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在 （0，t）体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由 ，即体重（脂肪）消耗殆尽，可知不进食的进食减肥方法是危险地。（3） a/d 是模型中的一个重要参数，由于 a = A/D 表明由于能量的摄入而增加的体重，而 d = (B + R)/D 表示由于能量的消耗而失掉的体重，于是 a/d 就表示
14、摄取能量而获得的补充量，综合以上分析可知： t 时刻的体重有两部分组成，一部分是初始体重中由于能量的消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充部分，这一解释从直观上理解也是合理的。（4） 由式（1.1） 即 a/d w，体重从w0 递减，这是减肥产生的效果，另外由式 （1.2）可以看到 时 ，也就是说式（1.1）的解渐进稳定于 ，它给出了减肥过程的最终结果，因此不妨称 为减肥效果指标，由 ，因为 B 是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数（非常数，即通过调整新陈代谢的方法来减肥） ，于是就有如下结论：减肥效果主要是由两个因
15、素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量， 从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识。 人体的体重变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值。 7. 参考文献1 王敏生 王庚， 现代数学建模方法，北京，科学出版社 2006。2 罗万成，大学数学建模案例精选，成都，西安交通大学出版社， 2007 年。3戴朝寿等，数学建模简明教程，北京，高等教育出版社，2007年。4江世宏，MATLAB 语言与数学实验，北京 科学出版社，2007
16、年。5胡良剑 孙晓君 matlab 数学实验，北京，高等教育出版社。 附录： Matlab 程序 % (1) 在不运动情况下： clearR = 0;D = 8000; % 能量转换系数A0 = 1429; % 没提阿吸收热量的下限W1 = 75 80 80 85 90; % 理想的体重目标n = length(w);B = A / W %每人每千克体重基础代谢的能量消耗a = A / D %系数d = (B + R) / D %系数for I = 1:nt(i) = -(D/B(i)*log(W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0); % 减肥所需要的时间endt% (2)
17、 在做适当的运动的情况下：h = 1 ; r = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ;R = h * r ;n1= lenght(R) ;D = 8000 ; %能量转换系数A0 = 1429; % 每天吸收热量的下限W1 = 75 80 80 85 90 ; %理想的体重目标A = 2857 2543 2734 2689 2776 ; % 每人每天摄入的能量W = 100 112 113 114 124 ; %每人的体重n = length(W) ;B = A / W ; %每天每千克体重基础代谢的能量消耗for j=1:n1 for i=1:nT(i, j) = - ( D / B(
18、i)+R(j) * log(W1(i) * (B(i) + R(j)-A0) / (W(i) * (B(i) + R(j) - A0); %减肥所需要的时间endend t % 每行所代表的是每个人所对应的不同运动所需要的天数 % (3) 在体重稳定的情况下：h = 1 2;r = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9;R = h * r;m, n = size(R);D = 8000; % 能量转换系数A0 = 1429; % 每天吸收热量的下限W1 = 75 80 80 85 90; %理想的体重目标A = 2825 2543 2834 2689 2777 ; %每人每天摄入的能量W=100 112 113 114 124 ; % 每人的体重n1=length(W);B=A/W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j=1:n for i=1:n1A1(i, j) = W1(i) * (B(i) + R(1, j); % 在体重稳定的情况下A2(i, j) = W1(i) * (B(i) + R(2, j);endend A1 % 在 h = 1 的时间下运动所消耗的能量A2 % 在 h = 2 的时间下运动所消耗的能量 %图形程序
