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1、第四章第四章 若干数学观点中的数学文化若干数学观点中的数学文化“对称对称”的观点的观点第四模块重点学习内容第四模块重点学习内容1 一、我们身边的对称一、我们身边的对称一、我们身边的对称一、我们身边的对称 人体人体人体人体 雪花雪花雪花雪花 鼠标鼠标鼠标鼠标 请问：请问：有哪些图形是对称的？什么是轴对称图形？有哪些图形是对称的？什么是轴对称图形？什么是中心对称图形？什么是中心对称图形？请点击请点击“百度百科百度百科”。2下列实物是什么对称？下列实物是什么对称？3下列图形中各包含几种对称？下列图形中各包含几种对称？4下列图形中各包含几种对称？下列图形中各包含几种对称？5-数学公式中的对称数学公式中
2、的对称 对称多项式对称多项式海伦公式海伦公式, ,其中其中正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理将图形对称概念推广将图形对称概念推广数学公式的对称数学公式的对称：将数学公式中的元素位置进行对调，将数学公式中的元素位置进行对调， 公式不变。公式不变。6对称对称 照镜子照镜子 夫妻夫妻 比赛循环赛比赛循环赛 足球足球非对称非对称 照哈哈镜照哈哈镜 父子父子 比赛淘汰制比赛淘汰制 非对称战争非对称战争其它的一些例子其它的一些例子思考：思考：你还能举出哪些对称与不对称的例子？你还能举出哪些对称与不对称的例子？“信息对称信息对称与不对称与不对称”，“地位的对称与不对称地位的对称与不对称”，“资源的对称与资源的
3、对称与不对称不对称”，“权利的对称与不对称权利的对称与不对称”等等。等等。7台湾日月潭文武庙顶部对称图案台湾日月潭文武庙顶部对称图案8阿拉伯建筑物的外墙阿拉伯建筑物的外墙 美国哈佛大学曾发表一份美国哈佛大学曾发表一份研究报告称研究报告称，伊斯兰世界对数，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界掌握了西方世界500500年后才掌握年后才掌握的数学概念。的数学概念。 9文学中的对仗文学中的对仗 上联对下联：上联对下联：u明月明月 - - 清泉清泉, ,自然
4、景物自然景物u明明清（形容词）；清（形容词）；u月月泉泉 （名词）（名词）明月松间照清泉石上流10作为多面体的足球作为多面体的足球 亚正多面体中的亚正多面体中的亚正多面体中的亚正多面体中的一种一种一种一种 足球多面体，足球多面体，足球多面体，足球多面体，它的侧面由正五边形它的侧面由正五边形它的侧面由正五边形它的侧面由正五边形和正六边形组成。和正六边形组成。和正六边形组成。和正六边形组成。11碳富勒烯介绍：碳富勒烯介绍：碳富勒烯介绍：碳富勒烯介绍： 碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化碳富勒烯，
5、即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料等领域具有广阔的应用前景。导电性，在化工、光电材料等领域具有广阔的应用前景。导电性，在化工、光电材料等领域具有广阔的应用前景。导电性，在化工
6、、光电材料等领域具有广阔的应用前景。12 1985198519851985，一位来自英国的天文学家克鲁托，一位来自英国的天文学家克鲁托，一位来自英国的天文学家克鲁托，一位来自英国的天文学家克鲁托( ( ( (H.W.KrotoH.W.KrotoH.W.KrotoH.W.Kroto) ) ) )，和两位美国物理学家斯莫利（和两位美国物理学家斯莫利（和两位美国物理学家斯莫利（和两位美国物理学家斯莫利（R.E.SmalleyR.E.SmalleyR.E.SmalleyR.E.Smalley），柯尔（），柯尔（），柯尔（），柯尔（R.F. R.F. R.F. R.F. CurlCurlCurlCurl
7、）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过程中意外地发现（程中意外地发现（程中意外地发现（程中意外地发现（9 9 9 9月月月月4 4 4 4日）：在强烈的激光脉冲辐照下产日）：在强烈的激光脉冲辐照下产日）：在强烈的激光脉冲辐照下产日）：在强烈的激光脉冲辐照
8、下产生的碳团簇中，生的碳团簇中，生的碳团簇中，生的碳团簇中，C60C60C60C60具有超常的稳定性。他们并不知道化学具有超常的稳定性。他们并不知道化学具有超常的稳定性。他们并不知道化学具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏的理论游戏的理论游戏的理论游戏C60C60C60C60，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家来受著名建筑学家来受著名建筑学家来受著名建筑学家BBBB富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，富勒最牢固的薄壳拱形结构的启
9、发，富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并将形结构，并将形结构，并将形结构，并将C60C60C60C60命名为富勒烯。命名为富勒烯。命名为富勒烯。命名为富勒烯。富勒烯的发现富勒烯的发现13 当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是“孩子们，你们所发现的
10、，就是一个足球啊！孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！”。一。一。一。一经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。一个现代足球正是由一个现代足球正是由一个现代足球正
11、是由一个现代足球正是由20202020块白色的六边形球皮和块白色的六边形球皮和块白色的六边形球皮和块白色的六边形球皮和12121212块黑色的块黑色的块黑色的块黑色的五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出60606060个顶点。个顶点。个顶点。个顶点。他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的精致的精致的精致的“
12、足球足球足球足球”！由此，这三位科学家因其天才式的开创！由此，这三位科学家因其天才式的开创！由此，这三位科学家因其天才式的开创！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共享了性工作共享了性工作共享了性工作共享了1996199619961996年度诺贝尔化学奖。年度诺贝尔化学奖。年度诺贝尔化学奖。年度诺贝尔化学奖。 14克鲁托克鲁托(H.W.Kroto,1939-)(H.W.Kroto,1939-)19961996年诺贝尔化学奖得主年诺贝尔化学奖得主斯莫利斯莫利(R.E.Smalley,1943-2005)(R.E.Smalley,1943-2005)15 柯尔柯尔柯尔柯尔（Robert F.
13、Curl Jr.Robert F. Curl Jr.Robert F. Curl Jr.Robert F. Curl Jr.）的自传的自传的自传的自传 我我19331933年年8 8月月2323日出生在美国德州日出生在美国德州的的Alice.Alice.我的父亲是一个卫理公会的我的父亲是一个卫理公会的牧师牧师, ,母亲是家庭主妇母亲是家庭主妇. .我有一个姐姐我有一个姐姐, ,她叫玛丽她叫玛丽. .在过去在过去, , 卫理公会的牧师卫理公会的牧师游动频繁游动频繁, ,因此我的孩提时代的大部因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的一个又一个的小分时间在德州南部的一个又一个的小镇中度过镇中度过:
14、:Alice,Brady,SanAlice,Brady,San Antonio, Antonio, Kingsville,Del,Rio,BrownsvilleKingsville,Del,Rio,Brownsville, , McAllen,AustinMcAllen,Austin, ,然后又回到然后又回到San San Antonio.Antonio.19961996年诺贝尔化学奖得主年诺贝尔化学奖得主16 在此期间教会管理层渐渐认识到我父亲具有组织群众在此期间教会管理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲突方面的管理才能活动及解决冲突方面的管理才能. .所以，从我九岁起我父所以，从我
15、九岁起我父亲就不再当教会牧师亲就不再当教会牧师, , 而成了一名地区教会活动的主管而成了一名地区教会活动的主管. . 这就将我解脱了这就将我解脱了, , 使我有时间担当使我有时间担当“儿童传道士儿童传道士” 并成并成为人们关注的中心为人们关注的中心17Richard Buckminster Richard Buckminster Fuller (1895-1983)Fuller (1895-1983) 建筑学家建筑学家 富勒富勒 富勒富勒富勒富勒( ( ( (R.B.FullerR.B.FullerR.B.FullerR.B.Fuller) ) ) )，美国建筑学，美国建筑学，美国建筑学，美国
16、建筑学家。家。家。家。1967196719671967年蒙特利尔世界博览会的美年蒙特利尔世界博览会的美年蒙特利尔世界博览会的美年蒙特利尔世界博览会的美国馆由他设计。富勒的结构设计思想国馆由他设计。富勒的结构设计思想国馆由他设计。富勒的结构设计思想国馆由他设计。富勒的结构设计思想被称之为综合主义。综合主义是表示被称之为综合主义。综合主义是表示被称之为综合主义。综合主义是表示被称之为综合主义。综合主义是表示将结构单位组合起来，以承受更大的将结构单位组合起来，以承受更大的将结构单位组合起来，以承受更大的将结构单位组合起来，以承受更大的结构力量；结构单位组合后承受的力结构力量；结构单位组合后承受的力结
17、构力量；结构单位组合后承受的力结构力量；结构单位组合后承受的力量比结构单位分立所能承受的力量大。量比结构单位分立所能承受的力量大。量比结构单位分立所能承受的力量大。量比结构单位分立所能承受的力量大。这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利尔世界博览会的美国馆即是这一综合尔世界博览会的美国馆即是这一综合尔世界博览会的美国馆即是这一综合尔世界博览会的美国馆即是这一综合主义的代表作品。主义的代表作品。主义的代表作品。主义的代表作品。 18那么，那么，什么是什么是“对称对称”的共性？的共性？ 什么是什么是“对称对称
18、”的本质？的本质？ 如何用数学语言描述如何用数学语言描述“对称对称”？ “对称即群对称即群”19二、平面图形的对称二、平面图形的对称 问：问：正三角形与正方形谁正三角形与正方形谁“更更”对称一些？对称一些？201.1.在运动中看在运动中看 “ “对称对称” 可以把可以把“平面图形的对称平面图形的对称” ” 轴对称、轴对称、n n次中心对次中心对称、平移对称中用到的运动分为三类：称、平移对称中用到的运动分为三类： 2.2.从不变性看从不变性看“对称对称” 这些运动都是变换；这些变换共同的特点是，都这些运动都是变换；这些变换共同的特点是，都保持保持平面上任意两点间的距离不变平面上任意两点间的距离不
19、变。所以，把。所以，把反射、旋转、平移，反射、旋转、平移，以及它们的相继实施以及它们的相继实施，统称为，统称为 “保距变换保距变换”。 （有意避开（有意避开“滑动反射滑动反射”，含于，含于“相继实施相继实施”中）中）反射反射 旋转旋转 平移平移定义见教材p18121 注意，在上述注意，在上述“保距变换保距变换”的定义下的定义下, ,“不动不动”也是一也是一种种“保距变换保距变换”, ,它可以看成旋转它可以看成旋转0o的的“保距变换保距变换”, ,也可也可以看成平移以看成平移 a=0 的的“保距变换保距变换”. .这样，这样，任何平面图形任何平面图形都都会会在某种在某种“保距变换保距变换”下不变
20、下不变, ,因为它至少在因为它至少在“不动不动”下不下不变变. . 如果一种平面图形（例如如果一种平面图形（例如, ,一般三角形）只在一般三角形）只在“不动不动”这种这种“保距变换保距变换”下才不变下才不变, ,那么我们就认为该平面图形的那么我们就认为该平面图形的对称性最差对称性最差, ,或者干脆说它或者干脆说它“不对称不对称”. . 变中有不变变中有不变22 由这一观点自然的延伸由这一观点自然的延伸, ,就可以想到描述平面图形对称就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种性强弱的一种量化量化的方法的方法. .这就是把这就是把所有使某平面图形所有使某平面图形K不不变的变的“保距变换保距变换”放在一
21、起放在一起, ,构成一个集合构成一个集合, ,记为记为S( (K) )并称并称其为其为K的对称集的对称集. .注意：注意：233. 抽象观点与具体例子的对照抽象观点与具体例子的对照 正三角形与正方形谁更对称正三角形与正方形谁更对称一些？一些？答：正方形比正三角形更对称一些。答：正方形比正三角形更对称一些。 24 4. 小结小结 从从 “ “对称对称”的现象，到发现的现象，到发现 “ “变中有不变变中有不变” ” 的本质，的本质，再提出再提出“保距变换保距变换”；把保持图形；把保持图形K不变的不变的“保距变换保距变换”放放到一起，构成一个集合，称之为到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集的对
22、称集”，用它来描，用它来描述述K的对称性的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。验证我们的理论。 “从实践中来，又到实践中去从实践中来，又到实践中去”，反观前面关于反观前面关于“对称对称”的例子。的例子。S(K)=2S(K)=12S(K)=225S(K)=2S(K)=2S(K)=?26 三、子集的对称三、子集的对称 把讨论把讨论 “ “平面图形的对称平面图形的对称” 中形成的数学思想提炼中形成的数学思想提炼出来，用出来，用“子集
23、的对称子集的对称”的语言来的语言来统一地描述任一客观事统一地描述任一客观事物的物的“对称对称”。任一客观事物都可以看作某一个集合任一客观事物都可以看作某一个集合M M的子集的子集 MN27 2.子集的对称子集的对称 MN考虑考虑M M上的上的有特点的有特点的可逆变换可逆变换 1. 集合上的可逆变换集合上的可逆变换 设设M M是一个集合，则是一个集合，则M M到自身的一个映射称为到自身的一个映射称为“M M上的上的一个变换一个变换”；M M到自身的一个可逆映射称为到自身的一个可逆映射称为“M M上的一个可上的一个可逆变换逆变换”。28 变中有不变变中有不变，“变变”, ,是指集合是指集合M M上
24、有特点的一些可逆上有特点的一些可逆变换变换, ,每个可逆变换每个可逆变换 都都“改变改变”了集合了集合M M中的元素和子集中的元素和子集. .这里的这里的“不变不变”, ,是指对于是指对于M M的一个具体的子集的一个具体的子集N,N,有些有些 在在整体上保持整体上保持N N不变不变, ,即即 。称这样的。称这样的 为为“N N的对的对称变换称变换”. .把所有这样的把所有这样的“对称变换对称变换”放到一起放到一起, ,构成一个集构成一个集合合, ,记为记为称为称为“N N的对称集的对称集”，用来描述用来描述N N的对称性的对称性。与与S(K )对照，基本精神是一致的。对照，基本精神是一致的。变
25、中有不变变中有不变29 3. 小结小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称对称”的本质抽的本质抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观点来返观客观实际中象观点来返观客观实际中“对称对称”的例子，看到抽象观点与的例子，看到抽象观点与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种数学方式的理性思维数学方式的理性思维。这一点在哲学上的叙
26、述为：理论来源。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。践来检验。30四、对称变换群四、对称变换群 上面把上面把“对称对称”这一概念，用集合及变换的语言严这一概念，用集合及变换的语言严格叙述出来了，并由此给出了格叙述出来了，并由此给出了“子集子集N N的对称变换的对称变换”和和“子子集集N N的对称集的对称集S(N)S(N)”的概念，并用它们来的概念，并用它们来描述描述N N的对称性的对称性。 子集子集N N的对称集的对称集S(N)S(N)，不是一个普通的集合，而是一个，不是一个普通的集合
27、，而是一个具有代数结构的集合具有代数结构的集合。它的结构表现在：。它的结构表现在：S(N)S(N)中有中有运算运算，即即 S(N)S(N) 中任意两个中任意两个元素的相继作用元素的相继作用，记为，记为 ；运；运算还有规律，这些规律如下：算还有规律，这些规律如下： 31S(N)S(N)中任意两个元素中任意两个元素 , , 相继作用的结果仍保持相继作用的结果仍保持N N整整体不变，故体不变，故 仍在仍在S(N)S(N)中中, ,称之为称之为S(N)S(N)中的运算满足中的运算满足封闭律封闭律( (一般说一般说“运算运算”, ,就隐含封闭就隐含封闭, ,为强调为强调, ,单列一条单列一条) )；S(
28、N)S(N)中任意三个元素中任意三个元素 的运算，都有的运算，都有称之为称之为S(N)S(N)中的运算满足中的运算满足结合律结合律；32S(N)S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的法中的1 1，与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为，与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为S(N)S(N)中的运算满足中的运算满足幺元律幺元律；对对S(N)S(N)中任一元素中任一元素 ，S(N)S(N)中一定有一个元素中一定有一个元素 ，使，使 与与 相继作用的效果，恰相当于相继作用的效果，恰相当于中的恒等变换，即不动，中的恒等变换，即不动，
29、称为称为 的逆元，这称为的逆元，这称为S(N)S(N)中的运算满足中的运算满足逆元律逆元律。N N的对称集的对称集S(N)S(N) 叫作叫作“N N的对称变换群的对称变换群”。“对称即群对称即群”33封闭律封闭律 有有 ；五、群的定义五、群的定义 定义定义 设设G G是一个带有运算是一个带有运算“ ”的非空集合，且其的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称中的运算满足以下四个条件，则称GG； 是一个群是一个群 结合律结合律 有 ；幺元律幺元律 存在存在 使使 ， 有有 ，称，称e为为幺元幺元； 逆元律逆元律 ，存在存在 ，使，使 称称b为为a的的逆元逆元。群群 G； 也简记为也简记为G
30、G 34-由自然数和实数的加法构成一个群吗？由自然数和实数的加法构成一个群吗？我们见过群吗？我们见过群吗？-群的举例群的举例生活中的生活中的“群群” “ “向左转向左转”；“向右转向右转”；“向后转向后转”；“不动不动”这是由这是由4 4个元素构成的个元素构成的“群群” ” 吗？吗？-由有理数和实数的加法构成一个群。由有理数和实数的加法构成一个群。-由实数和实数的加法构成一个群。由实数和实数的加法构成一个群。-由正实数和实数的加法构成一个群。由正实数和实数的加法构成一个群。35群的应用群的应用u在晶体分类上的应用在晶体分类上的应用 (230(230种种) )u物理上的各种守恒定律物理上的各种守
31、恒定律 ( (杨振宁：杨振宁：“我学到了群论的我学到了群论的美妙美妙 和它在物理中深入的应用，对我后来的工作有和它在物理中深入的应用，对我后来的工作有决定性的影响。决定性的影响。”) )u用变换群下不变量的观点统一地考察几何学用变换群下不变量的观点统一地考察几何学u在讨论在讨论“5 5次方程根式解次方程根式解”问题上的应用问题上的应用36课下查书和思考课下查书和思考 1.“1.“群群”的理论在讨论的理论在讨论“5次方程根式解次方程根式解”问题上的问题上的应用应用 伽罗瓦探寻伽罗瓦探寻“方程可用根式解方程可用根式解”的总思路的总思路： 不再去寻找求根公式，而是从不再去寻找求根公式，而是从“根集的
32、置换根集的置换”的角度的角度去考虑问题。去考虑问题。 拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔引入拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔引入“根集的置换根集的置换”。 伽罗瓦引入伽罗瓦引入”群群”、“域域”，创立，创立“伽罗瓦理论伽罗瓦理论”。2.2.学习数学学习数学“对称对称”的观点给了我们哪些启示？的观点给了我们哪些启示？ “信息对称与不对称信息对称与不对称”，“地位的对称与不对称地位的对称与不对称”，“资源的对称与不对称资源的对称与不对称”，“权利的对称与不对称权利的对称与不对称”等等。等等。37参考资料参考资料1.1.用对称和不对称打造完美家居。用对称和不对称打造完美家居。 2. 2. “为什么对称是重要的！为什么对称是重要的！”这是毛泽东主席当年这是毛泽东主席当年急于向李政道教授请教的第一个问题。急于向李政道教授请教的第一个问题。 对称与不对称与不对称对称-李政道教授编。李政道教授编。3.3.利用百度可以查到很多，很多利用百度可以查到很多，很多本节结束本节结束谢谢谢谢38
