第二部分类比的观点

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1、第二节第二节 “ 类比类比”的观点的观点 1一、什么是类比一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。似或相同的一种推理方法，也是一种观点。 类比的推理是一种类比的推理是一种“合情推理合情推理”，不是证明，它，不是证明，它无法保证无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有已知相同的属性与推出的属性之间有必然的必然的联系联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段

2、。一种手段。2生活中的类比小品台词：“脑袋大脖子粗，不是大款就是伙夫”鲁班发明木工用的锯子的传说 草叶边缘的齿 - 锯齿3考试中的类比题以前GRE考试的类比题GREENHOUSE : PLANT (A) refrigerator : milk (B) well : water (C) orchard : fruit (D) incubator : infant (E) tank : fuel 公务员考试的类比题金刚石石墨A. 氧气氮气 B. 生石灰熟石灰 C. 红磷白磷 D. 二氧化碳干冰南京金陵 A. 昆明春城 B. 广州穗 C. 太原晋 D. 北京蓟4物理与数学中的类比物理学家卢瑟福提出原

3、子结构的行星模型平面几何定理与立体几何定理的类比 欧拉利用类比来求5行星模型 6二、插值问题中的类比二、插值问题中的类比 1问题问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ， 问函数问函数（解析式）为何？（解析式）为何？ 2类比类比：有物不知其数，三三数之剩：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩五五数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？，问物几何？7 这这是是我我们们在在前前面面“韩韩信信点点兵兵与与中中国国 剩剩余余定定理理”一一节节中中已已经经解解决决的的问问题题。当当时时我我们们有有一一种种成成功功的的方方法法,叫

4、叫“单单因因子子构构件件凑凑成成法法”。这这种种方方法法是是：对对每每个个要要素素分分别别做做出出一一个个构构件件，叫叫单单因因子子构构件件，再再把把它它们们凑凑在一起，从而解决问题。在一起，从而解决问题。8 具体说是：先找到用具体说是：先找到用3除余除余1、用、用5和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 70；再找到用；再找到用5除余除余1、用、用3和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 21；找；找到用到用7除余除余1、用、用3和和5除均能除尽的数除均能除尽的数 15；然后算出；然后算出 3，5，7 = 105 。 最后令最后令 ，即为所求。，即为所求。9 3原问题的解法原问题的解法 通过类比，发

5、现插值问题（有函数不知其通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与式的问题）与“有物不知其数的问题有物不知其数的问题”结构相结构相同，因此可以考虑用同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先作函数先作函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处处值均为值均为0 ；再作函数；再作函数 ，在，在 处值为处值为1，在在 处值均为处值均为0 ；再作函数；再作函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处值均为处值均为0 。10 即即 ， ； ， ； ， ，那么，那么 就是所求的函数。就是所求的函数。11原问题原问题：有物不知其数，三三数之剩：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩，五五

6、数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？，问物几何？现问题现问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ， 问函数问函数（解析式）为何？（解析式）为何？原问题的解原问题的解现问题的解现问题的解12 下下边边求求 。 最最简简单单的的是是 用用多多项项式式的的方方法法。比比如如设设 是是一一个个多多项项式式， 则则 据据 条条 件件 知知 ， 它它 有有 两两 个个 一一次次 因因 式式 ， 可可 令令 ， 再再 用用 条条 件件 去求去求 。 ， 。 故故 。13 同理，可求出同理，可求出 ， 。 于是得于是得: 14 经验

7、证，它符合要求，称为经验证，它符合要求，称为插值公式插值公式。 即该函数在即该函数在 三点，插进去的都是预三点，插进去的都是预 先指定的值先指定的值 。 它简单，明快，可顺利地推广到任意它简单，明快，可顺利地推广到任意 有限多个点插值的情况。这样，就可以有限多个点插值的情况。这样，就可以用用 一个一个连续连续的的函数函数去去拟合离散拟合离散的的测量结果。测量结果。15 华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思想称为正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”，并概括成如下的，并概括成如

8、下的“合成原则合成原则”：要做出具有平行的、类要做出具有平行的、类似的几个性质似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而的一个数学结构，而A，B，C分别分别以某种以某种 量刻划量刻划，这时，可用，这时，可用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先作：先作B，C不发生作用，而不发生作用，而A取单位量的构件，再作取单位量的构件，再作C，A不发生作用，不发生作用，B取单位量的构件；再作取单位量的构件；再作A、B不发生作用，不发生作用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为则在有的书里称为“孙子孙子华原则华原则”。 体现

9、了体现了“化繁为简化繁为简”的思想。的思想。16趣题找次品找次品： 1）有有7个个外外形形相相同同的的乒乒乓乓球球，其其中中5个个是是标标准准球球，另另外外2个个是是次次品品乒乒乓乓球球，它它们们重重量量相相同同且且比比标标准准球球轻轻。请请你你给给出出一一种种方方案案，用用一一架架不不带带砝砝码码的的天天平平，最最多多三三次次使使用用该该天天平平，找找出出上上述述两两个个次次品品乒乒乓乓球球。 17三、分割问题中的类比三、分割问题中的类比 1 问题问题： 5个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？ 平面互相尽可能平面互相尽可能多多地相交，才能分割最多。如果地相交，才能分割

10、最多。如果5个个平面全都平行，那末空间分成的是平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但部分，就较少。但5个个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从想起从“抓三堆抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题趣味问题中学到的数学思想，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。18 2问题一般化：问题一般化： n个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？ 记分为记分为 个部分个部分;再令再令 把问题特殊化把问题特殊化。19 3问题特殊化：问题特殊化： 从简单的情况做起，以

11、便从简单的情况做起，以便“类比类比” 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？ 到底现在把空间分成了几个部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？ 暂难想象。暂难想象。 由此我们想到去类比由此我们想到去类比 “直线分割平面直线分割平面”的情形。的情形。21 4 类比类比3条直线分割平面的情形条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均这也可以看成是把

12、三角形的三条边均延长为直线，看这延长为直线，看这3条直线把平面分为几条直线把平面分为几部分。数一数，是部分。数一数，是7部分。这对我们有什部分。这对我们有什么启示？么启示？22 23 我们分析一下这我们分析一下这7个部分的特点：个部分的特点： 一个一个是有限的部分，在三角形内部，即是有限的部分，在三角形内部，即 ；其余；其余六个是无限的部分，其中六个是无限的部分，其中，与三角形有公与三角形有公共顶点，共顶点，与三角形有公共边。与三角形有公共边。 把它们加起来，于是把它们加起来，于是1+3+3=7。 所以所以3条直线分割平面，最多分为条直线分割平面，最多分为7个部分。个部分。 24 5 类比考虑

13、四面体的四个面延展成类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱个部分），或有一条公共棱（有（有6个部分），或有一个公共面（有个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分个部分），于是所分空间总的部分数为空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。 以下仍要考虑以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个个平面最多把空间分为几个部分？部分？25

14、这一问题在平面上的类似问题是什么？是这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是条还是4条直条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不不如在如在“一般情形一般情形”下考虑问题下考虑问题： 个平面分割空间和个平面分割空间和 条直条直线分割平面。线分割平面。 条直线条直线“处于一般位置处于一般位置”的要求也可以说是：任何两的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。条直线都相交；任何三条直线都不共点。 个平面个平面“处于一般位置处于一般位置”的要求是：任两平面都相交，的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每

15、个平面都不过它以外任且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。意三个平面的交点。26 进而，我们再类比直线上的问题：进而，我们再类比直线上的问题： 个一般位置的点分割个一般位置的点分割直线的问题。直线的问题。 这一问题的结论比较清楚：这一问题的结论比较清楚： 个点最多把直线分为个点最多把直线分为 个部分。个部分。 这对我们会有启发。这对我们会有启发。 如果我们把极端情况如果我们把极端情况有零个分割元素的情况有零个分割元素的情况也也考虑在内，那么被考虑在内，那么被“分割分割”成的部分数是成的部分数是1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取下图综合列出点分

16、直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。得的结果。27 6 类比一般化类比一般化 （解释记号（解释记号 ，然后看图），然后看图） 于于 是是 ， 我我 们们 得得 到到 了了 一一 系系 列列 待待 解解 决决 的的 问问题题 。 孤孤 立立 的的 问问 题题 有有 时时 难难 于于 理理 解解 ， 而而解解 决决 系系列列 问问 题题 有有 时时 比比 解解 决决 弧弧 立立 问问 题题 好好 入入 手手。 现现在在，原原问问题题 “ ” 已已处处在在系系列列问问题题之之中中 ， 比比 之之 原原 来来 的的 情情 形形 ， 求求 解解 已已 有有 进进 展展 。29 7（用类比的观点）

17、猜想（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？什么规律性？ 从最右一列，先以为有从最右一列，先以为有“2的方幂的方幂”的规律，但的规律，但8后边的后边的 表明这个猜想不对。表明这个猜想不对。 反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3 4； 7 8 7 15 ， 以及联想到以及联想到 3 + 4 = 7，7 + 8 = 15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数的数与与“左肩左

18、肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。30 表中已出现的每个数都可由它表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数上的数相加而得到。相加而得到。 这这是是我我们们解解决决原原问问题题的的钥钥匙匙吗吗？我我们们猜猜想想它它确确是是规规律律。那那我我们们把把表表按按此此规规律律， 顺顺沿沿到到 ，原原问问题题的的解解就就是是 ？ 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 33类比不是证明类比不是证明 但这种类比不是证明，只是合理的猜

19、测，但这种类比不是证明，只是合理的猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。类比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。34 8分析、推理分析、推理 我们的分析从我们的分析从 “ 时直线分平面时直线分平面”入手，我们已入手，我们已经通过经通过“顺沿上表顺沿上表”猜想：猜想：4条直线最多把平面划分为条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确的吗？我们在个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分平面条直线分平面 为为7个部个部分的基础上

20、，再添加一条直线（用红色），这条直线与原分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了右图。我们数一下，现在确实把平面分成了11个部分。所个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。索。3536 3条直线分平面为条直线分平面为7个部分；个部分；4条直线就分平面为条直线就分平面为11个部分

21、了，即个部分了，即增加了增加了4部分；从部分；从3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4部部分？分析一下：新添的直线与原来分？分析一下：新添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了交点不同的点，这就交出了3个新交点，这个新交点，这3点把新添的直线分为点把新添的直线分为4段，段，每一段把它穿过的（由前每一段把它穿过的（由前3条直线分成的）那个区域一分为二，因此条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割平面分割”增加了增加了4个部分，这就是个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，的来历，

22、而且这个分析表明，这个这个“4”也正是也正是3点把直线分为点把直线分为4部分的部分的“4”，也就是，也就是“11”左肩上左肩上的的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。37 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 38 9再类比得一般情形的公式再类比得一般情形的公式 及及 我我 们们 再再

23、 类类 比比 分分 析析 时时 平平 面面 分分 空空 间间 的的 情情况况 。 这这 时时 我我 们们 不不 容容 易易 在在 平平 面面 的的 黑黑 板板 上上 作作 立立 体体 图图了了 ， 只只 能能 借借 助助 于于 刚刚 才才 四四 面面 体体 延延 展展 的的 那那 个个 图图 来来 想想像像 。 但但 是是 我我 们们 可可 以以从从 思思 维维 上上 、 语语 言言 上上 类类 比比刚刚 才才的情形。的情形。39 我们在我们在3个平面分空间为个平面分空间为8个部分的基础上，再添加一个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的个平面，这个平面与原来的3个平面都相交，并且又不

24、过原个平面都相交，并且又不过原来来3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了了3条新直线，这条新直线，这3条直线把新添加的平面分为条直线把新添加的平面分为7个部分（就个部分（就是上面是上面“类比一般化类比一般化”的大表格中的的大表格中的“7”），每一部分把），每一部分把它穿过的（由前它穿过的（由前3个平面分成的）区域一分为二，因此个平面分成的）区域一分为二，因此“空空间分割间分割”增加了增加了7个部分，而原有个部分，而原有8个部分，这就是个部分，这就是15=7+8的来历。的来历。40 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平

25、面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 41 这里的这里的 到到 的过渡，并没有任何特殊的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由的地方，我们可以完全类似地分析由 向向 过渡时过渡时发生的情况，得到一般的表达式。发生的情况，得到一般的表达式。 与段落与段落 “8” 类似地可以得到公式：类似地可以得到公式： 与段落与段落 “9” 类似地可以得到公式：类似地可以得到公式： 这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相

26、通的。那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。42 我们只再叙述一遍较为复杂的我们只再叙述一遍较为复杂的公式公式 得到的过程得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中，。它实际上只要在上面的叙述中， 把把“3个平面个平面”换为换为“ 个平面个平面”，把，把“8个部分个部分”换为换为“ 个部个部分分”， 把把“3条新直线条新直线”换为换为“ 条新直线条新直线”，把，把“7个部分个部分”换为换为“ 个个 部分部分”，把，把“15”换为换为“ ”就完成了。就完成了。 简单说，是在简单说，是在“往前数三屏往前数三屏”的叙述中，做下边的的叙述中，做下边的 代换：代换： ， ， ， 。43 个平面把空间

27、最多分为个平面把空间最多分为 个部分，求个部分，求 ，不厌其繁地详细，不厌其繁地详细说一遍，就是：说一遍，就是： 我们在我们在 个平面分空间为个平面分空间为 个部分的基础上，再添加一个平个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的面，这个平面与原来的 个平面都相交，并且又不过原来任个平面都相交，并且又不过原来任3个平个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了 条新直线，条新直线，这这 条直线把新添的平面分为条直线把新添的平面分为 个部分，每一部分把它穿过个部分，每一部分把它穿过的（由前的（由前 个平面分成的）区域一分为二，因此，个平

28、面分成的）区域一分为二，因此，“空间分割空间分割”增加了增加了 个部分，而原有个部分，而原有 个部分，所以现在，空间共被分个部分，所以现在，空间共被分割成的割成的“部分数部分数”是是 。 这就是推出这一公式的逻辑推理过程。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。 另一公式另一公式 的逻辑推理过程，的逻辑推理过程，请同学自己完成。请同学自己完成。44 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 45 10 推出显公式推出显公式 及及 上边得到的还只是递推公式、关系

29、公式，我上边得到的还只是递推公式、关系公式，我们希望进一步得到像们希望进一步得到像 那样的、关于那样的、关于 及及 的显公式，即直接用的显公式，即直接用 的解析式来的解析式来表达表达 及及 。 下边的技巧是常用的。下边的技巧是常用的。 利用利用 及递推公式及递推公式 得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加46 1） 直线分平面的情形直线分平面的情形 2） 平面分空间的情形平面分空间的情形4748 11 另法：用数学归纳法证明显公式另法：用数学归纳法证明显公式 另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或者说另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或者说 “猜出猜出”）显公式，再用数学归纳法去证明该显公式。）显公式，再用数学归纳法去证明该显公式。 1） 直线分平面的情形直线分平面的情形 （略）（略） 2） 平面分空间的情形平面分空间的情形 （略）（略）49本节结束谢谢50