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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,2025届高考数学一轮复习讲义,平面解析几何之抛物线,5.与定点,的距离和到定直线,的距离相等的点的轨迹方程是,_,.,解析：,当,时，点,在定直线,上，此时所求轨迹方程为,；,当,时，由抛物线的定义可知所求轨迹方程为,.综上，所求轨,迹方程是,.,1.抛物线的概念,（1）定义：平面内与一个定点,和一条定直线,不经过点,的距离,_,的点的轨迹.,（2）焦点：,_,叫做抛物线的焦点.,（3）准线：,_,叫做抛物线的准线.,相等,点,直
2、线,当定点在定直线上时，轨迹为过定点与定直线 垂直的一条直线,.,2.抛物线的标准方程和简单几何性质,标准方,程,图形,范围,_,_,_,_,_,_,标准方,程,焦点,_,_,_,_,准线方,程,_,_,_,_,对称轴,_,_,顶点,_,离心率,_,轴,轴,1,续表,1.与焦点弦有关的常用结论,如图，倾斜角为,的直线,与抛物线,交于,，,两点，,为抛物线的焦点，设,，,.则有,（1）,，,.,（2）焦点弦长:,;,通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长:,.,2.若,，,为抛物线,上两点，且,，则直线,过定,点,.,1.已知抛物线,的焦点为,，过点,的直线,交,于,，,两点，且,，则线段,中点的横
3、坐标为(,),A.1,B.2,C.3,D.4,解析：,选C.设,，,由,，可知,，故,.故选C.,2.已知过抛物线,的焦点,的直线交该抛物线于,，,两点，,，则,_,.,2,解析：,设点,的横坐标是,则依题意，焦点,，,则,.因为,所在直线过点,，所以直线,的方程是,此时弦,为抛物线的通径，故,.,例1（1）,（多选）已知抛物线,的焦点为,，,为坐标原点，点,在抛物线,上，若,，则(,),A.,的坐标为,B.,C.,D.,考点一,抛物线的定义及其应用,解析：,由抛物线,，可得,，所以,，且焦点在,轴正半轴,上，则焦点,，所以A错误；由抛物线的定义,可得,，解得,，所以B正确；,由,，可得,，所
4、以,，则,，所,以C错误；,，所以D正确.故选,.,（2）已知,是抛物线,的焦点，,是抛物线上一动点，点,，,到直线,的距离为,，则,的最小值是,_,.,3,解析：,由题设，抛物线焦点,，准线,为直线,，,故,.如图，,，当且仅当,三点,共线且点,在,两点之间时等号成立.,抛物线定义的应用策略,1.已知抛物线,上的点,到该抛物线焦点,的距离为,则,(,),A.4,B.3,C.,D.,解析：,选D.由题意知，抛物线,的准线方程为,根,据抛物线的定义，可得点,到焦点,的距离等于到准线,的距,离，可得,，解得,.,2.设,是抛物线,上的一个动点，点,到直线,的距离与点,到直线,的距离之和的最小值是,
5、_,.,2,解析：,由题易知直线,为抛物线的准线，抛物线,与直线,相离.由抛物线,的定义可知，点,到准线,的距离等于点,到焦点,的距离，所以点,到直线,的距离与点,到直线,的距离之和的最小值为点,到直线,的距离，即,.,例2（1）,设,为坐标原点，直线,与抛物线,交于,，,两点.若,，则,的焦点坐标为(,),A.,B.,C.,，,D.,，,考点二 抛物线的标准方程与几何性质,解析：,方法一：将,代入抛物线方程,可得直线,与抛物,线,的交点坐标为,，,.不妨设,则,.因为,，所以,解得,，所以抛物线,的焦点坐标为,，,，故,选D.,方法二：因为抛物线,关于,轴对称，直线,关于,轴对称，所以,，,
6、两点关于,轴对称，因为,，所以,，,两点横、纵坐标的绝对值相,等.不妨设点,，将点,的坐标代入,得,解得,所以抛物线,的焦点坐标为,，,，故选D.,（2）若动圆,经过双曲线,的左焦点且与直线,相切，则圆,心,的坐标满足的方程是,_,.,解析：,双曲线,的左焦点为,动圆,经过点,且与直线,相切，则圆心,到点,的距离和到直线,的距离相等，由抛物线,的定义知圆心,的轨迹是焦点为,，准线为,的抛物线，其方程为,.,（1）求抛物线标准方程的方法,先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向；,再定形：根据已知条件求,.,（2）抛物线性质的应用技巧,应用抛物线的性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程；,要结合
7、图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.,1.已知动圆,与直线,相切，且与定圆,外切，则,动圆圆心,的轨迹方程为(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选A.设动圆圆心为,，半径为,，由题意可得圆心,到,的距离与到直线,的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆,心,的轨迹是以,为焦点，,为准线的一条抛物线，所以,，其方程为,.故选A.,2.,(2024安徽滁州模拟),已知,为抛物线,上一点，,点,到,的焦点的距离为2，则,的焦点坐标为(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选C.由题意可知，,，所以,又知抛物线,的准线,方程为,，根据抛物线的定义可知，,，整理得,，解得,，所以,的焦点坐标为,
8、.故选C.,例3,（多选）,(2023新课标卷),设,为坐标原点，直线,过,抛物线,的焦点，且与,交于,，,两点，,为,的准线，,则(,),A.,B.,C.以,为直径的圆与,相切,D.,为等腰三角形,分析及溯源,本题考查抛物线的定义及几何性质，直线与抛物线、直,线与圆的位置关系，两点间的距离公式，试题源于教材人教A版选择性必,修第一册,例4.,考点三 直线与抛物线的位置关系（链接高考）,解析：,由题意，易知直线,过点,.,对于A，因为直线经过抛物线,的焦点，所以易知焦点坐标为,所以,，即,，故A选项正确；,对于B，通解：不妨设,联立,消去,并整理得,解得,.所以,所以由两点间距离公式可得,故B
9、选项错误;,优解一：不妨设,，联立,消去,并整理得,解得,.所以由抛物线的定义得,故B选项错误；,优解二：设,联立,消去,并整理得,则,所以由弦长公式得,故B选项错误；,光速解：易知直线,的倾斜角为,所以,故B选项错误；,对于C，通解：由以上分析易知，,的方程为,，以,为直径的圆的,圆心坐标为,，半径,所以以,为直径的圆,与,相切，故C选项正确；,光速解：由二级结论以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，,易知C选项正确；,对于D，由两点间距离公式可得,，,，所,以,故D选项错误.故选,.,【考题变式】,1.（综合变式）设,为抛物线,的焦点,过点,且倾斜角为,的直,线交,于,两点，,为坐标
10、原点，则,的面积为(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选D.由题易知抛物线中,，焦点,，直线,的斜率,，,故直线,的方程为,，代入抛物线方程,，整理得,.设,，,，则,.由抛物线的定,义可得弦长,结合图象可得点,到直线,的距离,，所以,的面积,.,2.（综合变式）已知抛物线,的焦点为,，过点,的直线,交抛物线,于,两点，若抛物线,上存在一点,到焦点,的距离等于3，,则,_,，线段,的最小值为,_,.,2,4,解析：,抛物线,的焦点为,，准线方程为,，,由点,到焦点,的距离等于3，可得,，解得,，所以抛物,线,的方程为,由题知直线,的斜率存在，,设,直线,的方程为,，由,得,，,所以,，当且
11、仅当,时等号,成立，即线段,的最小值为4.,解决直线与抛物线位置关系问题的方法,（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，,一般要用到根与系数的关系.,（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，,若过抛物线的焦点，可直接使用公式,，若不过焦点，,则必须用一般弦长公式.,（,3,）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数,的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法,.,涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解,.,1.已知抛物线的方程为,若过点,的直线,与抛物线有公共点，,则直线,的斜率的取值范围是(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选A.由题意知，直线,的斜率存在，设直线,的方程为,，,代入抛物线方程，消去,并整理，得,.,当,时，显然满足题意；,当,时，,，解得,或,.,综上，,，故选A.,2.已知直线,与抛物线,交于,，,两点，若线,段,被点,平分，则抛物线的准线方程为,_,.,解析：,设,，,，由线段,被点,平分，可知,，又,，,，,所以,，,由题意可知，直线,的斜率为1，所以,，,所以,，所以,.,故所求抛物线的准线方程为,.,
