《空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,2025届高考数学一轮复习讲义,立体几何与空间向量之,空间点、直线、平面之间的位置关系,1.平面,（1）四个基本事实,基本事实1：过,_,的三个点，有且只有一个平面.,基本事实2：如果一条直线上的,_,在一个平面内，那么这条直线,在这个平面内.,基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有,_,过该点的公共直线.,基本事实4：平行于同一条直线的两条直线,_,.,不在一条直线上,两个点,一条,平行,（2）三个推论,推
2、论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有,_,平面.,推论2：经过两条,_,直线，有且只有一个平面.,推论3：经过两条,_,直线，有且只有一个平面.,一个,相交,平行,三点不一定能确定一个平面,.,当三点共线时，过这三点的平面有,无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面,.,2.空间中直线与直线的位置关系,（1）,相交,平行,任何,（2）异面直线所成的角,定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点,分别作直线,我们把直线,与,所成的角叫做异面直线,与,所成的角（或夹角）.,范围：,_,.,两直线垂直有两种情况,异面垂直和相交垂直,.,（3）定理：如果空间中两个角的两条边分别对
3、应平行,那么这两个角.,_,相等或互补,3.空间中直线、平面的位置关系,位置关系,符号,直线,和平面,直线在平面内,直线在,平面外,直线与平面相交,直线与平面平行,平面,和平面,两平面平行,两平面相交,直线和平面 相交、直线和平面 平行统称为直线 在平面,外，记作,.,1.异面直线的判定,过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.,2.几个唯一性结论,（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；,（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；,（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.,1.如图，在直三棱柱,的棱所在的直线中，与直,线,成异面直线的条数
4、为(,),A.1,B.2,C.3,D.4,解析：,选C.与直线,成异面直线的有,，,，,，共3条，故选C.,2.如果点,是两条异面直线,，,外一点，则过点,且与,，,都平行的平面,个数的所有可能值是(,),A.1,B.2,C.0或1,D.无数,解析：,选C.若点,与直线,构成的平面与直线,平行，则过,且与,，,都,平行的平面个数为0；,若点,与直线,构成的平面与直线,平行，则过,且与,，,都平行的平面,个数为0；,若过点,与直线,构成的平面不与直线,平行，或过点,与直线,构成的平,面不与直线,平行，则过点,且与,，,都平行的平面个数为1.故选C.,例1,如图，在正四棱台,中，,，,，,，,分别
5、为棱,，,，,，,的中点.求证：,（1）,，,，,，,四点共面；,【证明】连接,，,，如图所示，因为,为正四棱台，所以,，又,，,，,，,分别为棱,，,，,，,的中点，,所以,，,，则,，所以,，,，,，,四点共面.,考点一,平面基本事实的应用,（2）,，,，,相交于一点.,【证明】因为,，所以,，所以,为梯形，则,与,必相交.设,，因为,平面,，所以,平面,，因为,平面,，所以,平面,，,又平面,平面,，所以,，则,，,，,相交于一点.,共面、共线、共点问题的证明方法,1.在空间四边形,各边,，,，,，,上分别取点,，,，,，,，,若直线,，,相交于点,，则(,),A.点,必在直线,上,B.
6、点,必在直线,上,C.点,必在平面,内,D.点,必在平面,内,解析：,选B.如图，连接,，,，,，因为,，,所在,直线相交于点,，所以,且,，因为,平面,，,平面,，所以,平面,，且,平面,，又因为平面,平面,，所以,.故选B.,2.如图所示，平面,平面,，,，,，,，,，,，则平面,与平面,的交,线是(,),A.直线,B.直线,C.直线,D.直线,解析：,选C.由题意知，,，,，所以,，,又因为,，所以,平面,，,所以点,在平面,与平面,的交线上.,又因为,平面,，,，所以点,在平面,与平面,的交线上，,所以平面,平面,.,例2,（多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题,
7、正确的是(,),A.,与,平行,B.,与,是异面直线,C.,与,是异面直线,D.,与,是异面直线,考点二 空间两条直线位置关系的判断,解析：,把正方体的平面展开图还原，如图，连接,由正方体的结构特征可知，,与,异面，故A错误；,与,平行，故B错误；,平面,平面,平面,故,与,是异面直线，,故C正确；,平面,平面,平面,故,与,是异面直线，故D正确.,空间两直线位置关系的判定方法,1.已知空间三条直线,，,若,与,异面，且,与,异面，则(,),A.,与,异面,B.,与,相交,C.,与,平行,D.,与,异面、相交、平行均有可能,解析：,选D.如图所示，在长方体中，,与,都异面，但,是,所以A，B错
8、误；,与,都异面，且,也异,面，所以C错误;,与,都异面，,与,相交.故选D.,2.已知,是两条直线,是两个平面，则下列说法中正确的为,_,.,（填序号）,若,平行于平面,内的无数条直线，则,;,若,则,与,是异面直线；,若,，,，则,;,若,，则,与,一定相交.,解析：,忽略了,在平面,内这一情况，故错误；,直线,与,没有交点，所以直线,与,可能异面也可能平行，故错误；,直线,与平面,没有公共点，所以,，故正确；,直线,与平面,可能相交也可能平行，故错误.,例3,（一题多解）在三棱柱,中，底面边长和侧棱长都相,等，,则异面直线,与,所成角的余弦值为,_,_,.,考点三 异面直线所成的角,思路
9、一：,运用直接平移法，作已知直线的平行线，找到异面直线所成的角，,并运用余弦定理求解.,思路二：,运用补形法，在原三棱柱上底面补上一个大小相同的三棱柱，再,通过平移并结合余弦定理求解.,思路三：,运用补形法，将三棱柱补成平行六面体，解法更显直观.,思路四：,运用向量法，设异面直线,与,所成角为,依法求,，,，,并代入公式,得解.,解析：,方法一（平移法）：如图所示，作,底面,由,可知，,为,的角,平分线，且,平面,于是,四边形,为矩形.,取,的中点,连接,交,于点,连接,，则,为,的中点，,.,所以异面直线,与,所成的角等于,与,所成的角，即,或其补,角.设三棱柱的棱长为2,由题意即可得,.于
10、是,.,故异面直线,与,所成角的余弦值为,.,方法二（补形法一）,在三棱柱,的上底面,补上一个大小相同的三棱柱,如图所示，,连接,，,且,交,于点,则,或其补角,为异面直线,与,所成的角.设,易知,所以在,中，有,.,故异面直线,与,所成角的余弦值为,.,方法三（补形法二）：,将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，,如图所示，,就是异面直线,与,所成的角.,设三棱柱的棱长为1，易得,即,.,在,中，易求,易得,所以,.从而在,中，求得,.在,中，由余弦定理的推论得,.,方法四（向量法）：不妨设,长为1,因为,所以,所以,.因为,所以,.,因为,设异面直线,与,所成角为,则,.,用平
11、移法求异面直线所成角的三个步骤,（,1,）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角,.,（,2,）二证：证明作出的角是异面直线所成的角,.,（,3,）三求：解三角形，求出所作的角,.,如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的,角是钝角，则它的补角才是要求的角,.,1.如图，圆柱的轴截面,为正方形，,为,的中点，则,异面直线,与,所成角的余弦值为(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选D.如图，过点,作圆柱的母线交下底面于点,连接,易知,为,的中点，设正方形,的边长为2，则,，,所以,.连接,则,.因为,所以异面直线,与,所成角即为,（或其补角）.在,中，,，所以异面直,线,与,所成角的余弦值为,.,2.在正四棱锥,中，,，,为,的中点，则异面直线,与,所成角的余弦值为,_,_,.,解析：,如图，连接,，,相交于,，连接,，则,为,的中点，又,为,的中点，所以,，所以,为,异面直线,与,所成的角.,又,为等边三角形，且边长为2，故,，又,，,，,所以,，所以,，,所以,.,
