第一章矩阵与行列式

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1、第一章第一章 矩阵和行列式矩阵和行列式第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第三节第三节 分块矩阵分块矩阵第四节第四节 行列式行列式第五节第五节 逆矩阵逆矩阵第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念1.1 矩阵的概念定义1.1 矩阵矩阵（1.1）1.1 矩阵的概念1.1 矩阵的概念矩阵 称为这个图的关联矩阵关联矩阵.上图的关联矩阵为：1.1 矩阵的概念定义1.2 主对角线，主对角元主对角线，主对角元对角矩阵对角矩阵主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵，记为定义1.3 上三角矩阵，下三角矩阵上三角矩阵，下三角矩阵第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算定义 矩阵的和矩

2、阵的和定义 矩阵的差矩阵的差注意：注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加减法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加减法运算.例如：例如：定义 矩阵的数乘矩阵的数乘例 设 满足定义1.7 矩阵的乘法矩阵的乘法例：例：例：例：求求AB故故解解:注意注意: :只有当只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于等于第二个矩阵的行数第二个矩阵的行数时，时， 两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .例如例如: :不不存在存在. .例解：解：练习：练习：计算下列矩阵的乘积计算下列矩阵的乘积. .第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般，ABBA例 设A, B是n阶上三角矩阵,

3、试证明AB仍是上三 角矩阵.1.2 矩阵的运算定义1.8 矩阵的转置矩阵的转置例例: :例：例： 已知已知解法解法1 1：解法解法2 2：定义 对称矩阵，反对称矩阵对称矩阵，反对称矩阵注：注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵第三节第三节 分块矩阵分块矩阵1.3 分块矩阵1.3 分块矩阵分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 所有所有所有所有( (小小小小) )矩阵运算有意义矩阵运算有意义矩阵运算有意义矩阵运算有意义. . 1. 1.3 3 分块矩阵分块矩阵1. 1.3 3 分块矩阵分块矩阵1. 1.3 3 分块矩阵分块矩阵1. 1.3 3 分块矩阵分块矩阵

4、第四节第四节 行列式行列式一一. . 二阶行列式二阶行列式二二. n 阶行列式的定义阶行列式的定义三三. 行列式的性质行列式的性质四四. 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开五五. Cramer 法则法则 行列式概念的形成行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法行列式的基本性质及计算方法（定义）（定义） 利用行列式求解线性方程组利用行列式求解线性方程组练习练习 计算行列式计算行列式四个结论：四个结论：(1)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0）(2)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0）(3)（显然）（

5、显然）(4)四四. 行列式的性质行列式的性质性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。称为称为D的的转置行列式转置行列式性质性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。推论：推论：用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。性质性质3：推论：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面记法记法第第

6、s行乘以行乘以k：第第s列乘以列乘以k:推论：推论：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。性质性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。记法记法数数k乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：性质性质6：设设A ，B为同阶方阵，则为同阶方阵，则det(AB)=det(A)det(B)=9 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合

7、行列式性质，可简化行列式计算：化行列式计算： 计算行列式时，可计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含仅含1个非零元素个非零元素，再按此行（列）展开再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。课堂练习课堂练习:1. 计算行列式计算行列式例：例：箭形行列式箭形行列式目标：把第一列化为目标：把第一列化为成三角形行列式成三角形行列式记系数矩阵为A,当 时，方程组有惟一解：例：例： 用用Cramer法则解线性方程组。法则解线性方程组。解：解：注注:1. Cram

8、er法则仅适用于方程个数与未知量个数法则仅适用于方程个数与未知量个数相等相等的情形。的情形。2.理论意义：给出了解与系数的明显关系。理论意义：给出了解与系数的明显关系。3. 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。3. 撇开求解公式撇开求解公式Cramer法则可叙述为下面定理：法则可叙述为下面定理：定理：定理：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理：定理：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系数行

9、列式必为零则它的系数行列式必为零. .线性方程组线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: :齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，一定是一定是(2)的解，的解， 称为称为零解。零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，称为的解，称为非零解非零解。有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式定理：定理：定理：定理：如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。如果齐次线性方

10、程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有零解。则齐次线性方程组只有零解。例：例： 问问 取何值时，取何值时， 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？解：解：齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解。时齐次方程组有非零解。1. 行列式的概念及性质行列式的概念及性质.2.行列式的计算方法：行列式的计算方法：3. （1）按一行（或列）展开）按一行（或列）展开4. （2）化为上三角形）化为上三角形5. 6.3. 克莱姆法则克莱姆法则小结：小结：第五节第五节 逆矩阵逆矩阵例例 : : 设设则则逆逆矩阵的求法矩阵的求法 一一:待

11、定系数法待定系数法例例: : 设设解：解：设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, ,又又因为因为所以所以奇异矩阵：奇异矩阵：非奇异矩阵：非奇异矩阵：（退化矩阵）（退化矩阵）（非退化矩阵）（非退化矩阵）2. 矩阵可逆的判别定理及求法矩阵可逆的判别定理及求法伴随矩阵注意下标代数余子式的顺序代数余子式的顺序! !(1)(2)逆矩阵的求法二：伴随矩阵法逆矩阵的求法二：伴随矩阵法例：例：求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .解解同理可得同理可得故故3. 3. 可逆矩阵的运算性质可逆矩阵的运算性质证明：证明：证明：证明：证明：证明：(5) 若若 可逆，则有可逆，则有一个很重一个很重要的式子要的式子解解:例：例：解：

12、解： 例：例：1. 矩阵的矩阵的3种初等运算：种初等运算：(1) 对调矩阵的两行。对调矩阵的两行。(2) 用非零常数用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。乘矩阵的某一行的所有元素。(3)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后后(4) 加到另一行对应元素上。加到另一行对应元素上。统称为矩阵的统称为矩阵的初等行变换初等行变换 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.初等矩阵初等矩阵3.用初等变换求可用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵逆矩阵的逆矩阵同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换 矩阵的初等变换矩阵的初等变换

13、通常称通常称 (1) 对换变换对换变换 (2) 倍乘变换倍乘变换 (3) 倍加变换倍加变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价定义：定义：定义：定义：由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. . 三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 2. 初等矩阵初等矩阵(1) 对调两行或两列，得对调两行或两列，得初等对换矩阵初等对换矩阵。(2) 以数以数乘某行或乘某行或某列，得某列

14、，得初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵。(3) 以数以数乘某乘某行（列）加到另一行（列）上，行（列）加到另一行（列）上，得得初等倍加矩阵初等倍加矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。定理：定理： 3. 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 三三:初等变换法初等变换法可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1：推论推论2：如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等行变换，那么当行变换，那

15、么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时， 就变成就变成 。 解：解：例：例：练习练习 ：用初等行变换求可逆矩阵：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵2.若作初等行变换时若作初等行变换时,出现出现全行为全行为0，则矩阵的行列式则矩阵的行列式3.等于等于0。结论：。结论：矩阵不可逆矩阵不可逆!1.求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始若用初等行变换必须坚持始 终终,不能夹杂不能夹杂2.任何列变换任何列变换.注：注：即即初等行变换初等行变换另：另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵例：例：解：解：方法方法1：先求出先求出 ，再计算，再计算 。

16、方法方法2：直接求直接求 。初等行变换初等行变换1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:小结：小结：要求掌握内容要求掌握内容:(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵. 做到做到给出变换会写相应的初等矩阵给出变换会写相应的初等矩阵.(2)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.例：例： 设设解解于是于是1. 逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.3. 逆矩阵的计算方法：逆矩阵的计算方法：2. 2. 逆矩阵逆矩阵 存在存在小结：小结：