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1、2.2.2反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.1.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.【做一做1】应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用()结论的否定,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原命题的结论.A. B.C.D.解析:由反证法的定义知,应选C.答案:C2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、定理、公理、事实矛盾等.
2、名师点拨反证法适宜证明“存在性、唯一性、带有至少有一个或至多有一个”等字样的一些数学问题.【做一做2】若两个实数之和为正数,则这两个数()A.一个是正数,一个是负数B.都是正数C.至少有一个数是正数D.都是负数答案:C1.怎样理解反证法?剖析:(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理导出矛盾,从而肯定结论的真实性.(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”.2.反证法证明命题的步骤有哪些?剖析:用反证法证明命题
3、“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:这个过程包括下面三个步骤:(1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;(2)归谬把“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;(3)存真由矛盾断定反设错误,从而肯定原结论成立.简单概括反证法的证明过程就是“反设归谬存真”.名师点拨用反证法证明数学命题,需要注意以下几点:(1)反证法中的“反设”,是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面,直接影响下一步的证明.做好“反设”应明确:正确分清题设和结论;对结论实施正确的否定;对结论否定时,找出其所有情况.(2)反证法的“归谬”是
4、反证法的核心,其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.(3)反证法中引出矛盾的结论,推理的不是本身的错误,而是开始假定的“结论的反面”是错误的,从而肯定原结论是正确的.(4)在反证法证题的过程中,经常画出某些不合常理的图形,甚至是不可能存在的图形,这样做的目的是为了能清楚地说明问题.在证明过程中,每一步推理所得结论的正确性,完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的直观,这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.(5)宜用反证法证明的题型还有:一些基本命题、基本定理;易
5、导出与已知矛盾的命题;“否定性”命题;“唯一性”命题;“必然性”命题;“至多”“至少”类的命题;涉及“无限”结论的命题等.题型一题型二题型三题型四用反证法证明否定性命题 题型一题型二题型三题型四反思结论为否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设首先将否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,很容易推出矛盾,从而达到证题的目的.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四用反证法证明唯一性命题【例2】求证:两条相交直线有且只有一个交点.证明已知:a与b是两条相交直线.求证:a与b有且只有一个交点.证明:假设结论不正确,则有两种可能:a与b无交点,或a
6、与b不止有一个交点.若直线a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾.若直线a,b不止有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.题型一题型二题型三题型四反思1.用反证法证明问题时,要注意以下三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完整的;(2)反证法必须从否定结论出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法;(3
7、)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.2.注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】过平面上一点A,作直线a,求证:a是唯一的.证明:假设过点A至少还有一条直线b满足b.a,b是相交直线,a,b可以确定一个平面.设和相交于过点A的直线c.a,b,ac,bc.这样在平面内,过点A就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾.故过点A垂直于平面的直线有且只有一条,即a是唯一的.题型一题型二题型三题型四用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题【例3】已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+
8、2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.题型一题型二题型三题型四证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0,(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,即a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.题型
9、一题型二题型三题型四 反思1.当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时,适合用反证法. 2.常见的“结论词”与“反设词”如下:题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知a,b,cR,且x=a2-2b+2,y=b2-4c+4,z=c2-6a+9,求证:x,y,z中至少有一个大于0.证明:假设x,y,z均小于等于0,即x0,y0,z0,因此x+y+z0.而x+y+z=(a2-2b+2)+(b2-4c+4)+(c2-6a+9)=(a2-6a+9)+(b2-2b+1)+(c2-4c+4)+1=(a-3)2+(b-1)2+(c-2)2+10,这与x+y+z0相矛盾,故假设错误,即x,y,z中至少有一个大于0.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽视反证法的证题思路致错【例4】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.错因分析:错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法.题型一题型二题型三题型四反思利用反证法进行证明时,首先对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立,即反证法必须严格按照“反设归谬存真”的步骤进行.
