《黄冈名师版高考数学大一轮复习12.3二项式定理课件理新人教A》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师版高考数学大一轮复习12.3二项式定理课件理新人教A（77页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节二项式定理(全国卷5年7考)【知识梳理知识梳理】1.1.二项式定理二项式定理2.2.二项式系数的性质二项式系数的性质【常用结论常用结论】1.(a+b)1.(a+b)n n的展开式的三个重要特征的展开式的三个重要特征(1)(1)项数项数: :项数为项数为n+1.n+1.(2)(2)各项次数各项次数: :各项的次数都等于二项式的幂指数各项的次数都等于二项式的幂指数n,n,即即a a与与b b的指数和为的指数和为n.n.(3)(3)顺序顺序: :字母字母a a按降幂排列按降幂排列, ,从第一项开始从第一项开始, ,次数由次数由n n逐逐项减项减1 1直到直到0;0;字母字母b b按升幂排列按升
2、幂排列, ,从第一项开始从第一项开始, ,次数由次数由0 0逐项增逐项增1 1直到直到n.n.2.2.各二项式系数的和各二项式系数的和(1)(a+b)(1)(a+b)n n的展开式的各个二项式系数和等于的展开式的各个二项式系数和等于2 2n n, ,即即 =2=2n n. .(2)(a+b)(2)(a+b)n n的展开式中的展开式中, ,奇数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和偶数项的二项式系数的和, ,都等于都等于2 2n-1n-1, ,即即 =2=2n-1n-1. .【基础自测基础自测】题组一题组一: :走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误( (正确的
3、打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1) a(1) an-kn-kb bk k是是(a+b)(a+b)n n的展开式的第的展开式的第k k项项. .( () )(2)(2)二项展开式中二项展开式中, ,系数最大的项为中间一项或中间两系数最大的项为中间一项或中间两项项. .( () )(3)(3)在在(a+b)(a+b)n n的展开式中的展开式中, ,每一项的二项式系数都与每一项的二项式系数都与a,ba,b无关无关. .( () )(4)(a+b)(4)(a+b)n n某项的系数是该项中非字母因数部分某项的系数是该项中非字母因数部分, ,包括包括符号等符号等, ,与该项的二项式系数不
4、同与该项的二项式系数不同. . ( () )提示提示: :(1)(1). .二项式展开式中二项式展开式中 a an-kn-kb bk k是第是第k+1k+1项项. .(2)(2). .二项式系数最大的项为中间一项或中间两项二项式系数最大的项为中间一项或中间两项. .而而系数最大的项的位置不固定系数最大的项的位置不固定. .(3).(3).由二项式系数的定义可知此说法正确由二项式系数的定义可知此说法正确. .(4).(4).由二项式展开式中项的系数的定义可知由二项式展开式中项的系数的定义可知, ,此说法此说法正确正确. .2.2.在在 的展开式中的展开式中, ,只有第只有第4 4项的二项式系数最
5、项的二项式系数最大大, ,则则n n的值是的值是( () )A.4A.4B.5B.5C.6C.6D.7D.7【解析解析】选选C.C.因为二项展开式中中间一项或两项的二因为二项展开式中中间一项或两项的二项式系数最大项式系数最大, ,又二项式系数最大的项只有第又二项式系数最大的项只有第4 4项项, ,所以展开式中共有所以展开式中共有7 7项项, ,所以所以n=6.n=6.3. 3. 的展开式中的展开式中, ,第第4 4项的二项式系数是项的二项式系数是_,_,第第4 4项的系数是项的系数是_._.【解析解析】T Tk+1k+1= = (x(x2 2) )9-k9-k 当当k=3k=3时时,T,T4
6、4= = 所以第所以第4 4项的二项式系数为项的二项式系数为 =84,=84,项的系数为项的系数为- .- .答案答案: :8484- - 题组二题组二: :走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-3P312-3P31例例2(1)2(1)改编改编) ) 的展开式的第的展开式的第4 4项的系数为项的系数为( () )A.-1 320A.-1 320 B.1 320B.1 320 C.-220C.-220 D.220D.220【解析解析】选选C. C. 的展开式的第的展开式的第4 4项项T T4 4= = 其系数为其系数为 2.(2.(选修选修2-3P37A2-3P37A组组T8T8改编改编) )
7、若若(1+ax)(1+ax)7 7(a0)(a0)的展开式的展开式中中x x5 5与与x x6 6的系数相等的系数相等, ,则则a=_.a=_.【解析解析】展开式的通项为展开式的通项为T Tr+1r+1= (ax)= (ax)r r, ,因为因为x x5 5与与x x6 6系数相等系数相等, ,所以所以 a a5 5= a= a6 6, ,解得解得a=3.a=3.答案答案: :3 3考点一二项式定理的应用考点一二项式定理的应用【题组练透题组练透】1.1.若若(1+ )(1+ )4 4=a+b (a,b=a+b (a,b为有理数为有理数),),则则a+ba+b等于等于( () )A.33A.33
8、B.29B.29C.23C.23D.19D.19【解析解析】选选B.B.因为因为(1+ )(1+ )4 4=1+4 +12+8 +4=17+=1+4 +12+8 +4=17+12 =a+b ,12 =a+b ,又因为又因为a,ba,b为有理数为有理数, ,所以所以a=17,b=12.a=17,b=12.所以所以a+b=29.a+b=29.2.i2.i是虚数单位是虚数单位, ,则则 = =( () )A.8iA.8iB.-8iB.-8iC.8C.8D.-16+16iD.-16+16i【解析解析】选选B.B.原式原式=(1+i)=(1+i)6 6=-8i.=-8i.3.3.设设aZ,aZ,且且0a
9、13,0a13,若若51512 0122 012+a+a能被能被1313整除整除, ,则则a a等于等于( () )A.0A.0B.1B.1C.11C.11D.12D.12【解析解析】选选D.51D.512 0122 012+a=a+(1-13+a=a+(1-134)4)2 0122 012=a+1- (13=a+1- (134)+ (134)+ (134)4)2 2- (13- (134)4)3 3+ + + (13 (134)4)2 0122 012, ,显然当显然当a+1=13,a+1=13,即即a=12a=12时时, ,51512 0122 012+a+a能被能被1313整除整除. .
10、故故a=12.a=12.4.4.化简化简:(x-1):(x-1)5 5+5(x-1)+5(x-1)4 4+10(x-1)+10(x-1)3 3+10(x-1)+10(x-1)2 2+5(x-1).+5(x-1).【解析解析】原式原式= = =(x-1)+1=(x-1)+15 5-1=x-1=x5 5-1.-1.5.5.写出写出 的展开式的展开式. .【解析解析】方法一方法一: : 方法二方法二: : = (16x= (16x4 4+32x+32x3 3+24x+24x2 2+8x+1)+8x+1)=16x=16x2 2+32x+24+ .+32x+24+ .【规律方法规律方法】1.1.正用、逆
11、用二项式定理正用、逆用二项式定理(1)(1)正用展开二项式正用展开二项式: :展开时注意二项式定理的结构特展开时注意二项式定理的结构特征征, ,对较复杂的二项式对较复杂的二项式, ,有时先化简再展开会更简便有时先化简再展开会更简便. .(2)(2)逆用化简多项式逆用化简多项式: :求解时求解时, ,要熟悉公式的特点、项数、要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数各项幂指数的规律以及各项的系数. .2.2.求解整除或余数问题的基本步骤求解整除或余数问题的基本步骤(1)(1)合理变形合理变形, ,常用的变形方法就是拆数常用的变形方法就是拆数, ,往往是将底数往往是将底数写成两数的和写
12、成两数的和, ,并且其中一个数是除数的倍数并且其中一个数是除数的倍数. .(2)(2)用二项式定理展开用二项式定理展开, ,保证展开后的大部分项是除数保证展开后的大部分项是除数的倍数的倍数, ,进而可证明或判断被除数能否被除数整除进而可证明或判断被除数能否被除数整除, ,若若不能整除不能整除, ,则可求出余数则可求出余数. .考点二二项式系数的性质与各项的和考点二二项式系数的性质与各项的和【典例典例】(1)(1)若若(1+x+x(1+x+x2 2) )n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a2n2nx x2n2n, ,则则a a0 0+a+a2 2+a+a4
13、 4+ +a+a2n2n等于等于( () ) (2)(2)已知已知 (nN(nN* *) )的展开式中第五项的系数与的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是第三项的系数的比是101.101.求展开式中各项系数的和求展开式中各项系数的和; ;求展开式中含求展开式中含 的项的项; ;求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. .【解析解析】(1)(1)选选D.D.设设f(x)=(1+x+xf(x)=(1+x+x2 2) )n n, ,则则f(1)=3f(1)=3n n=a=a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a2n2n,f(-1)=1=af(
14、-1)=1=a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+ +a+a2n2n,由由+得得2(a2(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n) )=f(1)+f(-1),=f(1)+f(-1),所以所以a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n= = 【答题模板微课答题模板微课】本例的模板化过程本例的模板化过程: :建模板建模板: :设设f(x)=(1+x+xf(x)=(1+x+x2 2) )n n, ,则则f(1)=3f(1)=3n n=a=a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a2n2n,f(-1)=1=af(-1)=1=a0 0-a-a1 1
15、+a+a2 2-a-a3 3+ +a+a2n2n, , 赋值赋值由由+得得2(a2(a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n) )=f(1)+f(-1),=f(1)+f(-1),所以所以a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n= = = .= .运算运算套模板套模板: :若若(1+x)(1-2x)(1+x)(1-2x)7 7=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a8 8x x8 8, ,则则a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7= =( () )A.-2A.-2B.-3B.-3C.125C.125D.-131D.-131【
16、解析解析】选选C.C.令令x=1,x=1,则则a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a8 8=-2,=-2,令令x=0,x=0,则则a a0 0=1. =1. 赋值赋值又又a a8 8= (-2)= (-2)7 7=-128,=-128,所以所以a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7=-2-1-(-128)=125.=-2-1-(-128)=125.运算运算(2)(2)由题意知由题意知, ,第五项系数为第五项系数为 (-2)(-2)4 4, ,第三项的系数为第三项的系数为 (-2)(-2)2 2, ,则有则有 化简得化简得n n2 2-5n-24=0,-5n-24=0,解得解
17、得n=8n=8或或n=-3(n=-3(舍去舍去).).令令x=1x=1得各项系数的和为得各项系数的和为(1-2)(1-2)8 8=1.=1.通项公式通项公式T Tk+1k+1= = 令令 则则k=1,k=1,故展开式中含故展开式中含 的项为的项为T T2 2=-16 .=-16 .设展开式中的第设展开式中的第k k项项, ,第第k+1k+1项项, ,第第k+2k+2项的系数绝对值项的系数绝对值分别为分别为 若第若第k+1k+1项的系数绝对值最大项的系数绝对值最大, ,则则 解得解得5k6.5k6.又又T T6 6的系数为负的系数为负, ,所以系数最大的项为所以系数最大的项为T T7 7=1 7
18、92x=1 792x-11-11. .由由n=8n=8知第知第5 5项二项式系数最大项二项式系数最大, ,此时此时T T5 5=1 120x=1 120x-6-6. .【规律方法规律方法】1.1.赋值法求系数和的应用技巧赋值法求系数和的应用技巧(1)(1)“赋值法赋值法”对形如对形如(ax+b)(ax+b)n n,(ax,(ax2 2+bx+c)+bx+c)m m(a,bR)(a,bR)的的式子求其展开式的各项系数之和式子求其展开式的各项系数之和, ,常用赋值法常用赋值法, ,只需令只需令x=1x=1即可即可; ;对形如对形如(ax+by)(ax+by)n n(a,bR)(a,bR)的式子求其
19、展开式的式子求其展开式各项系数之和各项系数之和, ,只需令只需令x=y=1x=y=1即可即可. .(2)(2)若若f(x)=af(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+an nx xn n, ,则则f(x)f(x)展开式中各项展开式中各项系数之和为系数之和为f(1),f(1),偶次项系数之和为偶次项系数之和为a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ += = , ,奇次项系数之和为奇次项系数之和为a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+ += .= .令令x=0,x=0,可得可得a a0 0=f(0).=f(0).2.2.求展开式中系数最大的项求展开式中系数最
20、大的项求求(a+bx)(a+bx)n n(a,bR)(a,bR)的展开式中系数最大的项的展开式中系数最大的项, ,一般是一般是采用待定系数法采用待定系数法, ,设展开式各项系数分别为设展开式各项系数分别为A A1 1,A,A2 2, ,A,An+1n+1, ,且第且第k k项系数项系数最大最大, ,由不等式组由不等式组 解出解出k,k,即可求得即可求得. .【对点训练对点训练】(2x-3y)(2x-3y)4 4的展开式中二项式系数最大的项为的展开式中二项式系数最大的项为_._.【解析解析】展开式共有五项展开式共有五项, ,二项式系数最大的项为二项式系数最大的项为T T2+12+1= (2x)=
21、 (2x)2 2(-3y)(-3y)2 2=216x=216x2 2y y2 2. .答案答案: :216x216x2 2y y2 2考点三二项展开式的通项公式的应用考点三二项展开式的通项公式的应用【明考点明考点知考法知考法】在高考题中在高考题中, ,二项展开式的通项公式的应用是二项二项展开式的通项公式的应用是二项式定理的主要考点式定理的主要考点, ,试题常以选择题、填空题形式出现试题常以选择题、填空题形式出现, ,考查与二项展开式中特定项有关的问题考查与二项展开式中特定项有关的问题. .解题过程中常解题过程中常渗透方程思想渗透方程思想. .命题角度命题角度1 1形如形如(a+b)(a+b)n
22、 n的展开式问题的展开式问题【典例典例】二项式二项式 的展开式的第的展开式的第5 5项的系数项的系数为为 , ,则实数则实数a a的值为的值为_._.【解析解析】因为展开式的第因为展开式的第5 5项为项为T T5 5= = 所以第所以第5 5项的系数为项的系数为 . .由已知由已知, ,得得 所以所以a a4 4=81,=81,即即a=3a=3或或-3.-3.答案答案: :3 3或或-3-3 【互动探究互动探究】 本例条件不变本例条件不变, ,求展开式中求展开式中x x1010的系数的系数. . 【解析解析】二项展开式的通项二项展开式的通项T Tr+1r+1= (2x= (2x3 3) )6-
23、r6-r = (-a) = (-a)r r2 26-3r6-3rx x18-4r18-4r, ,令令18-4r=10,18-4r=10,解得解得r=2,r=2,所以所以T T3 3= (-a)= (-a)2 2x x1010, ,又因为又因为a=a=3,3,所以所以T T3 3=135x=135x1010, ,所以展开式中所以展开式中x x1010的系数是的系数是135.135.【状元笔记状元笔记】关于形如关于形如(a+b)(a+b)n n的展开式的两类问题的展开式的两类问题(1)(1)求展开式中的特定项或其系数求展开式中的特定项或其系数. .可依据条件写出第可依据条件写出第k+1k+1项项,
24、 ,再由特定项的特点求出再由特定项的特点求出k k值即可值即可. .(2)(2)已知展开式的某项或其系数求参数已知展开式的某项或其系数求参数. .可由通项公式可由通项公式写出第写出第k+1k+1项项, ,由已知项得出由已知项得出k k值值, ,最后求出其参数最后求出其参数. .命题角度命题角度2 2形如形如(a+b)(a+b)m m(c+d)(c+d)n n的展开式问题的展开式问题【典例典例】若若(x+a)(x+a)2 2 的展开式中常数项为的展开式中常数项为-1,-1,则则a a的值为的值为 ( () )A.1A.1B.8B.8C.-1C.-1或或-9-9D.1D.1或或9 9【解析解析】选
25、选D.D.因为因为(x+a)(x+a)2 2=x=x2 2+2ax+a+2ax+a2 2, , 展开式的通项为展开式的通项为T Tr+1r+1= (-1)= (-1)r r=(-1)=(-1)r r x xr-5r-5, ,所以所以(x+a)(x+a)2 2 展开式的常数项为展开式的常数项为- +2a -a- +2a -a2 2, ,所以所以- +2a -a- +2a -a2 2=-1,=-1,解得解得a=1a=1或或9.9.【状元笔记状元笔记】形如形如(a+b)(a+b)n n(c+d)(c+d)m m展开式问题的三个处理策略展开式问题的三个处理策略(1)(1)若若n,mn,m中一个比较小中
26、一个比较小, ,可考虑把它展开可考虑把它展开, ,如如(a+b)(a+b)2 2(c+d)(c+d)m m=(a=(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2)(c+d)(c+d)m m, ,然后展开分别求解然后展开分别求解. .(2)(2)观察观察(a+b)(a+b)n n(c+d)(c+d)m m是否可以合并是否可以合并, ,如如(1+x)(1+x)5 5(1-x)(1-x)7 7 =(1+x)(1-x)=(1+x)(1-x)5 5(1-x)(1-x)2 2=(1-x=(1-x2 2) )5 5(1-x)(1-x)2 2. .(3)(3)分别得到分别得到(a+b)(a+b)n n,(c+d),
27、(c+d)m m的通项公式的通项公式, ,综合考虑综合考虑. .命题角度命题角度3 3形如形如(a+b+c)(a+b+c)n n的展开式问题的展开式问题【典例典例】(2018(2018枣阳模拟枣阳模拟)(x)(x2 2+x+y)+x+y)5 5的展开式中的展开式中x x5 5y y2 2的系数为的系数为 ( () )A.10A.10B.20B.20C.30C.30D.60D.60【解析解析】选选C.(xC.(x2 2+x+y)+x+y)5 5的展开式的通项为的展开式的通项为T Tr+1r+1= = y yr r, ,令令r=2,r=2,则则T T3 3= (x= (x2 2+x)+x)3 3y
28、 y2 2, ,又又(x(x2 2+x)+x)3 3的展开式的通项为的展开式的通项为 (x(x2 2) )3-k3-kx xk k= x= x6-k6-k, ,令令6-k=5,6-k=5,则则k=1,k=1,所以所以(x(x2 2+x+y)+x+y)5 5的展开式中的展开式中,x,x5 5y y2 2的系数为的系数为 =30.=30.【状元笔记状元笔记】形如形如(a+b+c)(a+b+c)n n的展开式问题的两个解题策略的展开式问题的两个解题策略(1)(1)分组转化为二项式分组转化为二项式, ,例如例如(a+b+c)(a+b+c)n n=(a+b)+c=(a+b)+cn n, ,展展开式的通项
29、开式的通项T Tr+1r+1= (a+b)= (a+b)n-rn-rc cr r, ,再根据再根据(a+b)(a+b)n-rn-r的展开的展开式的通项式的通项, ,确定确定(a+b+c)(a+b+c)n n的展开式中的特定项的展开式中的特定项. .(2)(2)配方转化为二项式配方转化为二项式: :例如例如 【对点练对点练找规律找规律】1.(20191.(2019蚌埠模拟蚌埠模拟) )已知已知(2x-1)(2x-1)4 4=a=a0 0+a+a1 1(x-1)+a(x-1)+a2 2(x-1)(x-1)2 2 +a+a3 3(x-1)(x-1)3 3+a+a4 4(x-1)(x-1)4 4, ,
30、则则a a2 2= =( () )A.18A.18B.24B.24C.36C.36D.56D.56【解析解析】选选B.B.对于等式对于等式(2x-1)(2x-1)4 4=(2x-2)+1=(2x-2)+14 4= =1+(2x-2)1+(2x-2)4 4=a=a0 0+a+a1 1(x-1)+a(x-1)+a2 2(x-1)(x-1)2 2+a+a3 3(x-1)(x-1)3 3+a+a4 4(x-1)(x-1)4 4, , a a2 2= = 2 22 2=24.=24.2.(20182.(2018龙岩模拟龙岩模拟) )已知二项式已知二项式 , ,则展开式则展开式的常数项为的常数项为( ()
31、 )A.-1A.-1B.1B.1C.-47C.-47D.49D.49【解析解析】选选B.B. 所以二项式中的常数项产生在所以二项式中的常数项产生在1,1,6 6 中中, ,分别是分别是1,61,62 2 (-2x),(-2x), (-2x)(-2x)2 2, ,它们的和为它们的和为1-24+24=1.1-24+24=1.3.3.在在(2x+1)(x-1)(2x+1)(x-1)5 5的展开式中含的展开式中含x x3 3项的系数是项的系数是_.(_.(用数字作答用数字作答) )【解析解析】由题易得二项式的展开式中含由题易得二项式的展开式中含x x3 3项的系数为项的系数为 (-1)(-1)2 2+
32、2 (-1)+2 (-1)3 3=-10.=-10.答案答案: :-10-10数学能力系列数学能力系列2929求二项式定理问题中的运算求解求二项式定理问题中的运算求解能力能力【能力诠释能力诠释】 运算求解能力是指会根据法则、公式进运算求解能力是指会根据法则、公式进行准确运算、变形和数据处理行准确运算、变形和数据处理, ,能根据问题的条件寻找能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径与设计合理、简捷的运算途径. .二项式定理问题中的运算求解注意以下三点二项式定理问题中的运算求解注意以下三点: :(1)(1)合理利用二项展开式的通项公式计算有关项的系数合理利用二项展开式的通项公式计算有关项的系
33、数. .(2)(2)根据题目条件根据题目条件, ,设计运算程序设计运算程序, ,并恰当赋值得到所需并恰当赋值得到所需等式等式. .(3)(3)注意函数与方程思想的应用注意函数与方程思想的应用. .【典例典例】已知已知f(x)=(1+x)f(x)=(1+x)m m+(1+2x)+(1+2x)n n(m,nN(m,nN* *) )的展开式的展开式中中,x,x的系数为的系数为11.11.(1)(1)求求x x2 2的系数取最小值时的系数取最小值时n n的值的值; ;(2)(2)当当x x2 2的系数取得最小值时的系数取得最小值时, ,求求f(x)f(x)展开式中展开式中x x的奇次的奇次幂项的系数之
34、和幂项的系数之和. .【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得 =11,=11,所以所以m+2n=11.xm+2n=11.x2 2的系数为的系数为 因为因为mNmN* *, ,所以所以m=5m=5时时,x,x2 2的系数取得最小值的系数取得最小值22,22,此时此时n=3.n=3.(2)(2)由由(1)(1)知知, ,当当x x2 2的系数取得最小值时的系数取得最小值时, ,m=5,n=3.m=5,n=3.所以所以f(x)=(1+x)f(x)=(1+x)5 5+(1+2x)+(1+2x)3 3. .设设f(x)f(x)的展开式为的展开式为f(x)=af(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a
35、2 2x x2 2+ +a+a5 5x x5 5, ,令令x=1,ax=1,a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=2=25 5+3+33 3=59,=59,令令x=-1,ax=-1,a0 0-a-a1 1+a+a2 2- -a a3 3+a+a4 4-a-a5 5=-1,=-1,两式相减得两式相减得2(a2(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)=60,)=60,故展开式中故展开式中x x的奇次幂项的的奇次幂项的系数之和为系数之和为30.30.【技法点拨技法点拨】 二项式定理中的常见问题二项式定理中的常见问题(1)(1)二项式定理的通项公式的应用二项式
36、定理的通项公式的应用可以分两步完成可以分两步完成: :第一步根据所给出的条件第一步根据所给出的条件( (特定项特定项) )和和通项公式通项公式, ,建立方程来确定指数建立方程来确定指数( (求解时要注意二项式求解时要注意二项式系数中系数中n n和和r r的隐含条件的隐含条件, ,即即n,rn,r均为非负整数均为非负整数, ,且且nr,nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等如常数项指数为零、有理项指数为整数等););第二步是第二步是根据所求的指数根据所求的指数, ,再求所求的项再求所求的项. .(2)(2)二项式系数和二项展开式中项的系数问题二项式系数和二项展开式中项的系数问题二项式系数的最
37、值问题可以直接利用相关结论直接二项式系数的最值问题可以直接利用相关结论直接判断判断; ;二项展开式中项的系数和问题应注意赋值法二项展开式中项的系数和问题应注意赋值法, ,项的系项的系数的最值问题数的最值问题, ,一般采用待定系数法一般采用待定系数法, ,列不等式组求解列不等式组求解. .【即时训练即时训练】已知函数已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)f(x)=(1+x)+(1+x)2 2+(1+x)+(1+x)3 3+ +(1+x)+(1+x)n n(n3).(n3).(1)(1)求展开式中求展开式中x x2 2的系数的系数. .(2)(2)求展开式中系数之和求展开式中系数之和. .【解析解析】(1)(1)展开式中展开式中x x2 2的系数为的系数为 (2)(2)展开式中的系数之和为展开式中的系数之和为f(1)=2+2f(1)=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n= =2= =2n+1n+1-2.-2.
