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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页8 微分中值定理与导数的应用返回返回返回返回二、典型例题一、内容提要习题课返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、内容提要一、内容提要1. 理解罗尔理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)定定理理.2. 了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Taylor)定理定理.3. 理解函数的极值概念理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数掌握用导数判断函数的单调的单调性和求极值的方法性和求极值的方法. 5. 会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限. 4. 会
2、用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点会求拐点;会求解最大值和最小值的应用问题会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形会描绘函数的图形(包括水平包括水平,铅直和斜渐近线铅直和斜渐近线);返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;求根方求根方法法. .导数的
3、应用导数的应用返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 1. .微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理 )()()(000xxxfxfxf- - + += =abafbff- - -= = )()()(x x0= =n返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(3) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2) 证明方程
4、根的存在性证明方程根的存在性返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页利用利用一般解题方法一般解题方法: :证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在, ,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数, ,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数, ,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值, ,3.3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数. .(2)柯西中值定理柯西中值定理. .中值定理中值定理. .(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考
5、虑用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维, , , ,设设辅助函数辅助函数. .多用多用罗尔定理罗尔定理, ,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(1) 研究函数的性态研究函数的性态: :增减增减, ,极值极值, ,凹凸凹凸, ,拐点拐点, ,渐近线渐近线, ,(2) 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立目标函数的建立 最值的判别问题最值的判别问题(3)其他应用其他应用: :求不定式极限求不定式极限; 几何应用几何应用;证明不等式证明不等式; 研究方程实根等研究方程实根等. .4.4.导数应用导数应
6、用返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、典型例题二、典型例题例例 证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令则则的的符号不易判别符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理, 用用 Rolle 定理来证定理来证证证 令令则则且且故由故由Rolle 定理知定理知即即在在(0,1)内有一实根内有一实根返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例Rolle 定理的推广形式定理的推广形式证证由由Rolle 定理知定理知返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证一证一则由则由题设知题设知故故由由知知返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前
7、页前页而而证二证二若若则则结论显然成立结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页必必存在最大值存在最大值M即即故由故由Fermat 定理定理知知证一证一类似于类似于证一，作变换证一，作变换返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证二证二作变换作变换证三证三 若若则结论显然成立则结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页必存在最小值必存在最小值m即即故由故由Fermat 定理定理知知证明与证明与类似类似返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在内可导内可导, ,且且证明证明: :在在内有界内有界
8、. . 证证再取异于再取异于的点的点在以在以为端点的区间上用为端点的区间上用定数定数对任意对任意即即证证. .例例取点取点拉氏定理拉氏定理, ,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例且且试证存在试证存在证证 欲证欲证因因 f( (x) )在在a ,b上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件, ,故有故有将将代入代入, ,化简得化简得故有故有即要证即要证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例 证证由介值定理由介值定理,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页（1）（2）注意到注意到由（由（1）, （2）有）有（3）（4）（3）+ （4）, 得得返回返回返回
9、返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例证证 法一法一 用用单调性单调性设设即即由由证明不等式证明不等式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可知可知,即即法二法二 用用Lagrange定理定理设设Lagrange定理定理由由得得即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例问问方程方程有有几个实根几个实根解解同时也是最大值同时也是最大值分分三种情况讨论三种情况讨论返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即方程无实根方程无实根返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页
10、例例 证明不等式证明不等式 证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设设 证明对任意证明对任意有有证一证一例例不妨设不妨设证二证二返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 法一法一 用三次用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得. 法二法二 结合其它方法用三次结合其它方法用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得. 法三法三xxeexxxsinlimsin0- - -求极限求极限xxeexxxxsin1limsinsin0- - -= =- -原式原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0- - - = =- -111= = = =例例返回返回返回返回后页后页
11、后页后页前页前页前页前页法四法四用用Lagrange中值定理中值定理(1)(2)同理同理,所以所以,xxeexxxsinlimsin0- - -求极限求极限x xexxeexx= =- - -sinsin= =- - -+ +xxeexxxsinlimsin01lim0= =+ +x xx xe1sinlimsin0= =- - - -xxeexxx1sinlimsin0= =- - -xxeexxx返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例设设f(x) 在在 0，1上有二
12、阶导数，上有二阶导数，其中其中a,b为非负数为非负数求证求证证证 将将f(0) ，f(1) 在在在在x=c处作一阶处作一阶Taylor展开，有展开，有两式相减，得两式相减，得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例解解奇函数奇函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页列表如下列表如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极大值极大值拐点拐点极小值极小值返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作图作图返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页测测 验验 题题返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页测验题答案测验题答案六、六、
