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1、复变函数与积分变换1第第1 1章章 复数与复变函数复数与复变函数 复数的乘幂与方根 区域21.3.1 乘积与商乘积与商 定理定理 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。 ,3 几何意义几何意义从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. .4如果用指数形式表示复数如果用指数形式表示复数: : 由此逐步可证, 如果5定理定理 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有则有61.3.2 幂与方根幂与方根(a) n次幂次幂:7 (
2、b)(b)棣莫佛棣莫佛( (De Moivre)公式公式 特别，当特别，当Z=Z=(cos(cos+ +i isinsin) )时，时，8设为已知复数，n为正整数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为设则9即当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：1011例：例： 求 解：解： 因为 所以 例例 ：已知 ， 求 解：解： 因为 12所以13例：求解：14例：求解： 因为所以15即1+iw0w1w2w3Oxy结论：四个根是内接于中心在原点半径为的圆的正方形的四个顶点.16例解方程解：因为所以可求出个根，分别是：171.4.1 区域区域(函数的定义域函数的定义域)的概念的概念（1 1）
3、邻域）邻域Z018（2 2）内点）内点（3 3）开集）开集 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为开集开集. .G19（4 4）区域）区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, , 则称它则称它为一个区域为一个区域. . (a) D D是一个是一个开集开集； (b)(b)D D是是连通的连通的, ,即即D D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全 属于属于D D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. .z2z1D不连通z1z220（5 5）边界点、边界）边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果
4、点如果点P P 不属不属于于D, 但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .（6 6）闭区域）闭区域区域区域D D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域. .21说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的. (1) 区域都是开的区域都是开的.以上基以上基本概念本概念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界不包含边界！不包含边界！22 （7 7）有界区域和无界区域）有
5、界区域和无界区域zxo有界！有界！y23(1) 圆环域圆环域:课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:(3) 角形域角形域:(4) 带形域带形域:答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无无界界.241.4.2 1.4.2 单连通域与多连通域单连通域与多连通域平面曲线平面曲线C C的复数表示的复数表示: :C C的实参数方程的实参数方程C C的的复参数方程复参数方程起点起点z z( ( ) )C C终点终点z z( ( ) )zxyCC C的正向：起点的正向：起点终点终点o25 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为称为简单曲线简单曲线( (
6、或若尔当曲线或若尔当曲线).).重点重点重点重点重点重点换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 26简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成C C, ,I I( (C C),),E E( (C C) ) 三个互不三个互不相交的点集相交的点集. .满足：满足：I(C)E(C)边界边界（1）I I( (C C) ) 是一个有界区是一个有界区域（称为域（称为C C的内部）的内部）. .（2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. .（3）
7、若简单折线）若简单折线P的一个端点属于的一个端点属于I(C)，另一个，另一个端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. .27课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭284. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单
8、连通域一个区域如果不是单连通域, 就称就称为多连通域为多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域29三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).30是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).无界的多连通域无界的多连通域. 31表示到表示到1, 1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.在平面内，与两个定点的距离之和等于常数的轨迹叫做椭圆。 32有界的单连通域有界的单连通域.33例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, 不是区域不是区域.单连通域单连通域.34是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.3536单连通域单连通域.37继续完成课后练习！继续完成课后练习！祝各位同学周末愉快！祝各位同学周末愉快！ 作业作业38
