研究生学位课电力系统潮流计算

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1、North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical EngineeringBaoding2008.11-2009.01 电力系统分析电力系统分析 第一章第一章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算一概述一概述 二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 三三潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 四四保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 五五最小化潮流算法最小化潮流算法六六潮流计算中的自动调整潮流计算中的自动调整 七最优潮流问题七最优潮流问题八八交直流电力系统的潮流计算交直流电力系统的潮流计算 九九几种特殊性质的潮

2、流计算问题简介几种特殊性质的潮流计算问题简介 前前面面介介绍绍的的潮潮流流计计算算可可归归结结为为求求解解非非线线性性代代数数方方程程组组问问题题，通通过过结结合合电电力力系系统统的的物理特性，提出了多种求解该方程组的算法。物理特性，提出了多种求解该方程组的算法。 但但在在实实际际计计算算中中，对对于于一一些些病病态态系系统统（如如重重负负荷荷系系统统等等），往往往往出出现现计计算算过过程程振振荡荡甚甚至至不不收收敛敛的的现现象象。这这时时人人们们很很难难判判定定这这是是由由于于潮潮流流算算法法不不够够完完善善而而导导致致计计算算失失败败，还还是是从从一一定定的的初初值值出出发发，在在给给定定

3、的的运运行行条条件件下下，从从数数学学上上来来讲讲，非非线线性性的的潮潮流流方方程程组组本本来就是无解的（或者无实数解）。来就是无解的（或者无实数解）。 五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 后来人们提出了潮流计算问题在数学上可后来人们提出了潮流计算问题在数学上可以表示为求一个由潮流方程构成的函数（称为目以表示为求一个由潮流方程构成的函数（称为目标函数）最小值问题。这就形成了采用数学规划标函数）最小值问题。这就形成了采用数学规划的方法，称之为的方法，称之为非线性规划潮流计算法。非线性规划潮流计算法。这种方这种方法的一个显著特点是从原理上法的一个显著特点是从原理上保证了计算过程不保证了计算过程

4、不会发散。会发散。在给定的运行条件下，只要潮流问题有在给定的运行条件下，只要潮流问题有解，则目标函数最小值就迅速趋近于零；如果潮解，则目标函数最小值就迅速趋近于零；如果潮流问题无解，则目标函数先是逐渐减小，但最后流问题无解，则目标函数先是逐渐减小，但最后却停留在一个不为零的正值上。却停留在一个不为零的正值上。为给定条件下潮为给定条件下潮流问题的有解与无解提供了一个明确的判断途径流问题的有解与无解提供了一个明确的判断途径。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 早期的应用数学规划方法的非线性规划早期的应用数学规划方法的非线性规划潮流算法在内存需求量和计算速度方面都无潮流算法在内存需求量和计算速度

5、方面都无法和前面介绍的各种潮流算法竞争，因而未法和前面介绍的各种潮流算法竞争，因而未得到实际推广应用。以后，对非线性规划方得到实际推广应用。以后，对非线性规划方法进行了改进，将法进行了改进，将数学规划原理数学规划原理和和常规牛顿常规牛顿潮流算法有机结合潮流算法有机结合起来，形成了一种新的潮起来，形成了一种新的潮流计算方法流计算方法- -带最优乘子的牛顿算法带最优乘子的牛顿算法，通常，通常简称为最优乘子法。这种算法能有效地解决简称为最优乘子法。这种算法能有效地解决病态电力系统的潮流计算问题，并已得到广病态电力系统的潮流计算问题，并已得到广泛使用。泛使用。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 一

6、一 潮流计算和非线性规划潮流计算和非线性规划 将潮流计算问题概括为求解如下非线性将潮流计算问题概括为求解如下非线性代数方程组代数方程组 (l-145)(l-145) 构造标量函数构造标量函数 (l-147) (l-147) 五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 若若 的解存在，则的解存在，则 最小值应该为零。若此最小值不能为零，最小值应该为零。若此最小值不能为零，则说明不存在能满足原方程组则说明不存在能满足原方程组 的解。这样，就把原来的解代数方程组的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求的问题转化为求 ，从而使，从而使 的问题。从而将潮流计算问题的问题。从而将潮流计算问题转化为非线

7、性规划问题。由于没有附加转化为非线性规划问题。由于没有附加的约束条件，因此在数学规划中属于的约束条件，因此在数学规划中属于无无约束非线性规划约束非线性规划的范畴。的范畴。 五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 按照数学规划的方法，通常由下述步按照数学规划的方法，通常由下述步骤求出骤求出 的极小点：的极小点：(1)(1)确定初始估计值确定初始估计值 ；(2)(2)置置迭代次数迭代次数 ； (3)(3)从从 出发，按照能使目标函数下降出发，按照能使目标函数下降的原则，确定寻优方向的原则，确定寻优方向 ；五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法(4)(4)沿着沿着 的方向确定使目标函数下降的方向确定

8、使目标函数下降最多的一个点，即决定最多的一个点，即决定移动的步长移动的步长。由。由此得到新的迭代点此得到新的迭代点 (l-149)(l-149)式中，式中， 为步长因子，其数值的选择应使为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多，即目标函数下降最多，即 (1-(1-150)150) 可见可见, ,当当 决定以后，决定以后， 是是 的一的一元函数。通过求元函数。通过求 对对 的极值得到的极值得到最优步长因子最优步长因子 。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法(5) (5) 校验校验 是否成立。如成立，是否成立。如成立，则则 就是所求的解；否则，令就是所求的解；否则，令 ，转向步骤转向步骤(3

9、)(3)，重复循环计算。，重复循环计算。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法图图1-11 1-11 求目标函数最小点示意图求目标函数最小点示意图五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法例4-1 求目标函数的极小点。 由上可见，为了求得问题的解，关键要解由上可见，为了求得问题的解，关键要解决两个问题：决两个问题：(1) (1) 确定下一次迭代的搜索方向确定下一次迭代的搜索方向 ；(2) (2) 确定下一次迭代的最优步长因子确定下一次迭代的最优步长因子 。n 确定迭代的搜索方向确定迭代的搜索方向 常用的方法有：常用的方法有： 梯度法梯度法( (最速下降法最速下降法) ) 、PowellPowell

10、方法方法 牛顿法牛顿法、DFPDFP算法、算法、BFGSBFGS算法等算法等. .五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法n确定最优步长因子确定最优步长因子 ： 确定最优步长因子用确定最优步长因子用一维搜索法一维搜索法，通过一，通过一维搜索法确定最优步长因子常用的方法有：维搜索法确定最优步长因子常用的方法有： 解析法解析法、插值法、黄金分割法等。、插值法、黄金分割法等。 早期的研究工作中，为确定早期的研究工作中，为确定 和和 采用的非线性规划算法由于所需的内存量和采用的非线性规划算法由于所需的内存量和计算速度都不能和牛顿法等常规潮流计算方计算速度都不能和牛顿法等常规潮流计算方法相比，因此作为一种

11、潮流算法，没有被普法相比，因此作为一种潮流算法，没有被普遍采用。遍采用。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 非线性规划的计算过程能对收敛过程非线性规划的计算过程能对收敛过程加以控制，迭代过程总是使目标函数下加以控制，迭代过程总是使目标函数下降，永远不发散，这些特点是牛顿法等降，永远不发散，这些特点是牛顿法等常规潮流算法所没有的。常规潮流算法所没有的。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法二二 带最优乘子的牛顿潮流算法带最优乘子的牛顿潮流算法 1)1)为了改进非线性规划潮流算法，首先为了改进非线性规划潮流算法，首先在决定搜索方向在决定搜索方向 上，人们提出了上，人们提出了利利用常规牛顿潮流算

12、法每次迭代所求出的用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量修正量向量 (1-(1-151)151) 作为搜索方向作为搜索方向，称之为目标函数在，称之为目标函数在 处处的的牛顿方向牛顿方向。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 由于牛顿法的雅可比矩阵高度稀疏并由于牛顿法的雅可比矩阵高度稀疏并且已有了一套行之有效的求解修正方程且已有了一套行之有效的求解修正方程式的方法，因此在决定式的方法，因此在决定 时可以充分时可以充分利用原来牛顿潮流算法在内存和计算速利用原来牛顿潮流算法在内存和计算速度方面的优势。度方面的优势。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 2)2)接着决定最优步长因子接着决定最

13、优步长因子 。 已知对确定的已知对确定的 ，目标函数，目标函数 是是的一元函数的一元函数 (l-(l-152)152) 现在的问题是写出这个一元函数的解现在的问题是写出这个一元函数的解析表示式析表示式 。如果有了这样的式子，。如果有了这样的式子， 则则 可以通过下式求得可以通过下式求得 (l-(l-153)153)五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 应用本章前面的式应用本章前面的式(1-77)(1-77)，可以得到计，可以得到计算算 的有效方法。的有效方法。 由式由式(1-77)(1-77)，采用直角坐标的潮流方程的，采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可以精确地表示为泰勒展开式可以精确地表

14、示为 (l-154)(l-154) 引入标量乘子引入标量乘子 调节变量调节变量 的修正步长，的修正步长，上式可写为上式可写为 (l-155)(l-155)五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 为表达简明起见，分别定义三个向量为表达简明起见，分别定义三个向量 (1-156) (1-156) 五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 于是式于是式(1-155)(1-155)可简写为可简写为 (1-(1-157)157) 代入式代入式(1-146)(1-146)，则目标函数可写为，则目标函数可写为 (1-(1-158)158)五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 将将 对对 求导，并令其等于零，由

15、此可求导，并令其等于零，由此可以求得最优乘子以求得最优乘子 (1-(1-159)159) 展开可得展开可得 (1-(1-160)160)其中其中 (1-(1-161) 161) 五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法可用牛顿法可用牛顿法求解求解 以以上上介介绍绍了了从从搜搜索索方方向向 和和最最优优步步长长因因子子 两两个个方方面面对对非非线线性性规规划划潮潮流流算算法法作作的的改改进进。不不难难看看到到经经过过改改进进的的算算法法实实质质上上是是常常规规牛牛顿顿潮潮流流算算法法和和计计算算最最优优乘乘子子这这部部分分算算法法的的结结合合。因因此此对对于于现现有有的的采采用用直直角角坐坐标标的

16、的牛牛顿顿法法潮潮流流程程序序，只只需需增增加加计计算算最最优优乘乘子子的的部部分分，就就可可以以改改造造成成为为应应用用非非线线性性规规划划原原理理的的算算法法，使使得得潮潮流计算的收敛过程能有效地得到控制。流计算的收敛过程能有效地得到控制。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法计算计算 的原理框图的原理框图 牛顿潮流法第牛顿潮流法第k次迭代修正量的计算公式为：次迭代修正量的计算公式为：上式左边为上式左边为 ，等号右边为，等号右边为 ，也就是在，也就是在k次迭代后，次迭代后， 已求得，为了求已求得，为了求 ，只要，只要计算计算 即可。即可。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法3） 最优乘子

17、法计算量的讨论最优乘子法计算量的讨论 如果进一步推导，还可看出第（如果进一步推导，还可看出第（K+1）次）次潮流方程的偏差量（潮流方程的偏差量（ ）可不必按）可不必按 直接计算，可方便地用第直接计算，可方便地用第k次迭次迭代中已经求得的计算代中已经求得的计算 而得。即：而得。即：（证明见书证明见书p36）五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 这样，每次迭代，从原来要计算这样，每次迭代，从原来要计算 简化为仅计算简化为仅计算进一步减少了计算量。进一步减少了计算量。 分析可见，分析可见，为了计算最优乘子而增加为了计算最优乘子而增加的计算量是很少的的计算量是很少的。 五五. .最小化潮流算法最小化

18、潮流算法三、三、 带有最优乘子的牛顿潮流算法具体应用带有最优乘子的牛顿潮流算法具体应用：可分为以下三种不同的情况讨论：可分为以下三种不同的情况讨论：(1) (1) 从一定的初值出发，原来的潮流问题有解从一定的初值出发，原来的潮流问题有解。用带有最优乘子的牛顿潮流算法求解时，目标用带有最优乘子的牛顿潮流算法求解时，目标函数函数 下降为零，下降为零， 经过几次迭代以后，稳经过几次迭代以后，稳定在定在1.01.0附近。附近。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法(2) (2) 从一定的初值出发，原来的潮流问从一定的初值出发，原来的潮流问题无解。题无解。这种情况下使用这种算法求解这种情况下使用这种算法

19、求解时，目标函数开始时逐渐减小，但迭代时，目标函数开始时逐渐减小，但迭代到一定的次数以后即停滞在某一个不为到一定的次数以后即停滞在某一个不为零的正值上，不继续下降。零的正值上，不继续下降。 的值则逐的值则逐渐减小，最后趋近于零。趋近于零是所渐减小，最后趋近于零。趋近于零是所给的潮流问题无解的标志，这说明给的潮流问题无解的标志，这说明 有异常变化，只是由于存在着一个趋于有异常变化，只是由于存在着一个趋于零的零的 ，才使得计算过程不致发散。，才使得计算过程不致发散。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法(3) (3) 有别于上两种情况有别于上两种情况，当采用这个方，当采用这个方法计算时，不论迭代多

20、少次，法计算时，不论迭代多少次， 的值始的值始终在终在1.01.0附近摆动，但目标函数却不能附近摆动，但目标函数却不能降为零或不断波动。降为零或不断波动。 的值趋近于的值趋近于1.01.0说明了解的存在，而目标函数不能继续说明了解的存在，而目标函数不能继续下降或产生波动可能是由于计算的精度下降或产生波动可能是由于计算的精度不够所致，这时若改用双精度计算往往不够所致，这时若改用双精度计算往往能解决问题。能解决问题。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法 可见，采用带有最优乘子可见，采用带有最优乘子 的牛顿的牛顿潮流算法以后，潮流计算不会发散，即潮流算法以后，潮流计算不会发散，即从算法上保证了计算

21、过程的收敛性，从从算法上保证了计算过程的收敛性，从而有效地解决了病态潮流的计算问题。而有效地解决了病态潮流的计算问题。而通过而通过 的具体数值，提供了在给定的具体数值，提供了在给定的运算条件下，潮流问题是否存在解的的运算条件下，潮流问题是否存在解的一个判断标志。一个判断标志。五五. .最小化潮流算法最小化潮流算法前面介绍的各种潮流算法，构成了前面介绍的各种潮流算法，构成了潮流程序的核心部分。除此之外，一些潮流程序的核心部分。除此之外，一些实用的潮流程序往往还附有实用的潮流程序往往还附有模拟实际系模拟实际系统运行控制特点统运行控制特点的自动调整计算功能。的自动调整计算功能。这些调整控制大都属于所

22、谓的单一准则这些调整控制大都属于所谓的单一准则控制，即调整系统中单独的一个参数或控制，即调整系统中单独的一个参数或变量以使系统的某一个准则得到满足。变量以使系统的某一个准则得到满足。这方面的具体例子有：这方面的具体例子有：(1)(1) 自动调整有载调压变压器的分自动调整有载调压变压器的分抽头以保持变压器某侧节点或某个远方抽头以保持变压器某侧节点或某个远方节点的电压为规定的数值。节点的电压为规定的数值。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 (2)(2) 自动调整移相变压器的移相抽头自动调整移相变压器的移相抽头以保持通过该移相变压器的有功功率为以保持通过该移相变压器的有功功率为规定值。规定

23、值。 (3)(3) 自动调整互联系统中某一个区域自动调整互联系统中某一个区域的一个（或数个）节点的有功出力以保的一个（或数个）节点的有功出力以保持本区域和其它区域间的净交换有功功持本区域和其它区域间的净交换有功功率为规定的数值。率为规定的数值。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整（4 4）此外，节点的无功功率越界、节点此外，节点的无功功率越界、节点的电压越界的自动处理，负荷静态特性的电压越界的自动处理，负荷静态特性的考虑等也属于潮流计算中自动调整的的考虑等也属于潮流计算中自动调整的范畴。范畴。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整为了在潮流计算中引入自动调整，对于单为了在潮流计算

24、中引入自动调整，对于单一准则控制问题，通常有两类方法：一准则控制问题，通常有两类方法：第一类方法：第一类方法：按照所要保持的系统状态量按照所要保持的系统状态量 和当前的计算值和当前的计算值 的差值大小，不断地在迭代的差值大小，不断地在迭代中改变控制参数中改变控制参数 的大小。的大小。 大小的改变按照大小的改变按照偏差反馈的原理进行，即偏差反馈的原理进行，即 (1-164)(1-164) 式中，式中， 对减少迭代次数，保证收敛有很大对减少迭代次数，保证收敛有很大影响。影响。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 这一类方法不改变原来的潮流计算这一类方法不改变原来的潮流计算方程，算法的迭代矩

25、阵以及变量的组成方程，算法的迭代矩阵以及变量的组成均无变化。均无变化。 由于加入了调整，往往使得达到收敛由于加入了调整，往往使得达到收敛所需的迭代次数和无调整的潮流计算相所需的迭代次数和无调整的潮流计算相比有较多的增加，有的达到比有较多的增加，有的达到2-32-3倍。倍。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 第二类方法：第二类方法：则要改变原来潮流方程则要改变原来潮流方程的构成，如增加或改写其中的一些方程式，的构成，如增加或改写其中的一些方程式，为此待求变量的组成以及迭代矩阵（如雅为此待求变量的组成以及迭代矩阵（如雅可比矩阵等）的结构也有变化。属于这一可比矩阵等）的结构也有变化。属于这

26、一类的一些比较成功的自动算法能使达到收类的一些比较成功的自动算法能使达到收敛所需的迭代次数非常接近无调整的算法。敛所需的迭代次数非常接近无调整的算法。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 各种潮流计算方法，往往要根据算法本各种潮流计算方法，往往要根据算法本身的特点，以不同的方式引入自动调整。身的特点，以不同的方式引入自动调整。本节介绍在牛顿法潮流算法中实现自动本节介绍在牛顿法潮流算法中实现自动调整的有关方法。调整的有关方法。 六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整一一 节点无功功率越界和节点无功功率越界和 节点电压越节点电压越界的处理界的处理 发电机节点及具有可调无功电源的节发电

27、机节点及具有可调无功电源的节点，常被指定为点，常被指定为 节点。在潮流计算过节点。在潮流计算过程中，它们的无功出力程中，它们的无功出力 可能会超出其可能会超出其出力限制值出力限制值 （包括上界及下界）。为（包括上界及下界）。为此，潮流程序必须对此，潮流程序必须对 节点的无功出力节点的无功出力加以监视并在出现越界时加以处理。加以监视并在出现越界时加以处理。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 对于用牛顿算法的程序，当在迭代过对于用牛顿算法的程序，当在迭代过程中发现无功功率越界时，即将这一节程中发现无功功率越界时，即将这一节点转化为给定无功功率点转化为给定无功功率 的的 节点。节点。显然，

28、这种节点类型的改换将导致修正显然，这种节点类型的改换将导致修正方程结构的变化。对采用极坐标形式的方程结构的变化。对采用极坐标形式的修正方程将增加一个与修正方程将增加一个与 对应的对应的方程式。而在采用直角坐标形式时，则方程式。而在采用直角坐标形式时，则用与用与 对应的方程式代替原来与对应的方程式代替原来与 对对应的方程式。应的方程式。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 由干牛顿法每次迭代都要重新形成雅由干牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此就每一次迭代来说，采可比矩阵，因此就每一次迭代来说，采用这种节点形式转换的处理方法并不增用这种节点形式转换的处理方法并不增加多少计算量。在随

29、后的迭代过程中，加多少计算量。在随后的迭代过程中，若出现该节点的电压又高于（对应于原若出现该节点的电压又高于（对应于原来来 越上界）或低于（对应于原来越上界）或低于（对应于原来 越越下界）下界） 节点的规定电压值节点的规定电压值 时，则该时，则该节点在下一次迭代中应重新转换成节点在下一次迭代中应重新转换成 节节点。点。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 节点的电压越界（包括越上界及下界）节点的电压越界（包括越上界及下界）可以通过将该节点转换成可以通过将该节点转换成 节点的办法节点的办法来处理，即将该节点的电压固定在电压的来处理，即将该节点的电压固定在电压的上界或下界上。但这种处理方式

30、的前提是上界或下界上。但这种处理方式的前提是该节点必须具有足够的无功调节能力（即该节点必须具有足够的无功调节能力（即有可调的无功电源，包括无功补偿设备），有可调的无功电源，包括无功补偿设备），因而不是所有的节点都可以这样处理。因而不是所有的节点都可以这样处理。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 在迭代过程中，这种节点由在迭代过程中，这种节点由 节点再节点再复原为复原为 节点的判据是节点的实际无功功节点的判据是节点的实际无功功率计算值率计算值 和原来给定的无功功率和原来给定的无功功率 的差的差出现正或负值（分别对应于原来节点电压出现正或负值（分别对应于原来节点电压越上界和越下界）。越上

31、界和越下界）。 无论是哪一种越界处理，都要待迭代收无论是哪一种越界处理，都要待迭代收敛过程趋于平稳时才进行，对牛顿法来说，敛过程趋于平稳时才进行，对牛顿法来说，一般在第二次迭代结束以后才进行。一般在第二次迭代结束以后才进行。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 二二 带负荷调压变压器抽头的调整带负荷调压变压器抽头的调整 带负荷调压变压器抽头的调整可以将带负荷调压变压器抽头的调整可以将变压器某一侧节点或某个远方节点的电压变压器某一侧节点或某个远方节点的电压保持为指定的数值。因此在潮流计算中，保持为指定的数值。因此在潮流计算中，这种变压器的变比这种变压器的变比 是按照上述要求而决是按照上述

32、要求而决定的可调节变量，可以用两类不同的方法定的可调节变量，可以用两类不同的方法来进行这种调整的潮流计算。来进行这种调整的潮流计算。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 第一种方法第一种方法，在计算开始前对这类变压，在计算开始前对这类变压器预先选择一个适当的变比值器预先选择一个适当的变比值 ，用通常，用通常的牛顿法迭代的牛顿法迭代2-32-3次，目的是使迭代过程次，目的是使迭代过程趋于平稳后再引入调整，避免计算过程的趋于平稳后再引入调整，避免计算过程的振荡。然后在后继的每两次迭代中间，插振荡。然后在后继的每两次迭代中间，插入变压器变比选择计算。具体做法是根据入变压器变比选择计算。具体做

33、法是根据所要保持的节点所要保持的节点 的电压的电压 ，以及该次迭，以及该次迭代（设为第代（设为第 次）求得的电压次）求得的电压 ，根据，根据公式公式 (1-(1-165)165) 计算变比计算变比 在在 次迭代时所取的新值。次迭代时所取的新值。 式中：式中： 为常数，通常可取为为常数，通常可取为1 1。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 这样重复计算直到前后两次迭代所求这样重复计算直到前后两次迭代所求得的得的 值的变化小于给定的很小的数并且值的变化小于给定的很小的数并且潮流收敛为止。潮流收敛为止。 的选择，应满足条件的选择，应满足条件 (1-(1-166)166) 式中：式中： 分别

34、为变压器变比的上下分别为变压器变比的上下限值。限值。 这种方法仅在两次迭代中间，插入以式这种方法仅在两次迭代中间，插入以式(1-165)(1-165)表示的变压器变比的调整计算，表示的变压器变比的调整计算，方法简单，但引入调整后，达到收敛所需方法简单，但引入调整后，达到收敛所需的迭代次数往往比无调整的计算要增加一的迭代次数往往比无调整的计算要增加一倍以上。倍以上。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整第二类自动调整算法第二类自动调整算法下面结合一个简单系统介绍调整带负荷调下面结合一个简单系统介绍调整带负荷调节变压器变比的第二类自动调整算法，它节变压器变比的第二类自动调整算法，它能使有调整

35、潮流解所需的迭代次数和无调能使有调整潮流解所需的迭代次数和无调整的情况基本相同。整的情况基本相同。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整图图1-13 1-13 简单系统示例简单系统示例 六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 图图l-13l-13中节点中节点1 1为为 节点，节点节点，节点2 24 4 为为 节点，节点节点，节点5 5为平衡节点。潮流计算中带为平衡节点。潮流计算中带负荷调压变压器的变比应自动选择调整，负荷调压变压器的变比应自动选择调整，使节点使节点3 3的电压维持为给定值。的电压维持为给定值。 对于该系统，用常规牛顿法求解的修正对于该系统，用常规牛顿法求解的修正方程

36、式为方程式为 六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整(1-167)(1-167) 为为了了要要维维持持 ，在在计计算算中中将将原原来来的的变变量量 看看成成是是等等于于 的的一一个个常常量量，而而以以变变压压器器变变比比 为为变变量量，于于是是式式(1-(1-167)167)变为如下形式：变为如下形式：六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 (1-168)(1-168)其中其中 (l-(l-169)169)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 变比变比 为变量后，根据非标准变比变为变量后，根据非标准变比变压器的等值电路，与变压器支

37、路端点压器的等值电路，与变压器支路端点 、对应的节点自导纳对应的节点自导纳 以及互导纳以及互导纳 将将是是 的函数，从而节点功率方程组中变压的函数，从而节点功率方程组中变压器端点器端点 及及 的节点功率表示式也包含变的节点功率表示式也包含变量量 。因此新的雅可比矩阵的结构有以下。因此新的雅可比矩阵的结构有以下特点：特点：六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 当网络中不存在支路当网络中不存在支路 时，时， 固固然等于零。而且只要支路然等于零。而且只要支路 不是用来调不是用来调整节点整节点 电压的变压器支路时，电压的变压器支路时， 也等也等于零。从而在式于零。从而在式(1-168)(1-1

38、68)中，与被调整节中，与被调整节点点 的电压变量（现在是变压器变比的电压变量（现在是变压器变比 ）所对应的一列内，除了对角元素之外，）所对应的一列内，除了对角元素之外，只有一组非零非对角元素只有一组非零非对角元素 。 六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 用式用式(1-168)(1-168)进行牛顿迭代的过程中，进行牛顿迭代的过程中，为防止每次的变比调整量为防止每次的变比调整量 太大，以致太大，以致 超过其规定的上下限值。可以采用限超过其规定的上下限值。可以采用限制每次的制每次的 不超过一个控制值（如不超过一个控制值（如 ) )的方法的方法 ，以防止因对变比过量的校正，以防止因对变比

39、过量的校正而引起发散或振荡。而引起发散或振荡。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 在迭代过程中当变比在迭代过程中当变比 超过其限值或超过其限值或又退回其限值范围以内时，应仿照上一又退回其限值范围以内时，应仿照上一小节小节 、 节点类型相互转换的办法，节点类型相互转换的办法，及时作式及时作式(1-167)(1-167)及式及式(1-168)(1-168)的相互转的相互转换，然后继续求解。式换，然后继续求解。式(1-167)(1-167)即对应于即对应于变比变比 固定在其上限或下限值上，而固定在其上限或下限值上，而 则为变量。则为变量。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整三三 互

40、联系统区域间交换功率控制互联系统区域间交换功率控制 互联系统区域间交换功率控制，也称互联系统区域间交换功率控制，也称联络线控制。在对由几个区域组成的互联络线控制。在对由几个区域组成的互联系统进行研究时，往往要求其潮流解联系统进行研究时，往往要求其潮流解必须满足各区域间交换的净有功功率等必须满足各区域间交换的净有功功率等于预先规定值这一约束条件。于预先规定值这一约束条件。 计及区域间交换功率约束的潮流计算，计及区域间交换功率约束的潮流计算，也可以采用两种不同类型的方法。也可以采用两种不同类型的方法。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 第一种方法第一种方法，在互联系统的每一个区域，在互联

41、系统的每一个区域内（含有整个互联系统平衡节点的那个区内（含有整个互联系统平衡节点的那个区域除外），都指定一台发电机作为域除外），都指定一台发电机作为调节发调节发电机电机，通过这些发电机有功出力的调节保，通过这些发电机有功出力的调节保证本区域的净交换有功功率为规定值。这证本区域的净交换有功功率为规定值。这些发电机在潮流计算中作些发电机在潮流计算中作 节点处理，并节点处理，并分别给定一个有功出力作为其计算初值。分别给定一个有功出力作为其计算初值。具体计算步骤如下具体计算步骤如下六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整图图1-14 1-14 互联系统示意图互联系统示意图- -区域调节发电机；区域

42、调节发电机； - -整个互联系统的平衡机整个互联系统的平衡机六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 (1) (1) 进行常规潮流计算。由解得的节点进行常规潮流计算。由解得的节点电压计算各联络线的潮流，并由此求得电压计算各联络线的潮流，并由此求得各个区域的交换净有功功率值。以图各个区域的交换净有功功率值。以图l-l-1414为例，区域和其它区域交换的第为例，区域和其它区域交换的第 次次迭代净有功功率可由下式求得迭代净有功功率可由下式求得 (l-(l-170)170)(2) (2) 求出每个区域实际交换功率和该区求出每个区域实际交换功率和该区域规定的交换功率之差（含整个系统平域规定的交换功率

43、之差（含整个系统平衡节点的区域除外）。如对区域衡节点的区域除外）。如对区域 ，有，有 (l-(l-171)171)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整(3) (3) 确定在下一次迭代中各确定在下一次迭代中各区域调节发区域调节发电机有功出力的新估计值电机有功出力的新估计值。如对区域。如对区域 的调节发电机，其有功功率为的调节发电机，其有功功率为 (1-(1-172)172) 对收敛较快的牛顿法，对收敛较快的牛顿法， 可取为可取为1 1。(4) (4) 转步骤转步骤(1) (1) ，重复上述过程，直到，重复上述过程，直到各区域间的有功交换功率偏差各区域间的有功交换功率偏差 小于小于或等于事

44、先规定的误差允许值为止。或等于事先规定的误差允许值为止。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 这种方法仅在原有潮流算法的两次迭这种方法仅在原有潮流算法的两次迭代之间插入式代之间插入式(l-170)(l-170)(l-172)(l-172)所表示所表示的区域调节发电机有功出力的调整计算，的区域调节发电机有功出力的调整计算，简单而容易实现。但比起无调整解来，简单而容易实现。但比起无调整解来，达到收敛所需的迭代次数可能多达达到收敛所需的迭代次数可能多达3 3倍倍或甚至有时不收敛。或甚至有时不收敛。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 区域间有功交换的区域间有功交换的第二种方法第二种方

45、法以极坐标形式表示的支路潮流方程为以极坐标形式表示的支路潮流方程为 (1-(1-173)173) 互联系统中某区域经过若干联络线和其互联系统中某区域经过若干联络线和其它区域交换的净有功功率为它区域交换的净有功功率为 (1-174)(1-174)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 潮流解应该满足潮流解应该满足 这一条件，即这一条件，即 (1-175)(1-175) 新算法用式新算法用式(l-175)(l-175)取代原来潮流方程取代原来潮流方程组中已作组中已作 节点处理的区域节点处理的区域 调节发调节发电机节点电机节点 的有功功率偏差方程式的有功功率偏差方程式 (l-176)(l-17

46、6) 但待求变量仍取但待求变量仍取 。这就保留了原来的。这就保留了原来的变量，方程式的数目也相同，但潮流方变量，方程式的数目也相同，但潮流方程组中却引入了区域控制的精确表示式。程组中却引入了区域控制的精确表示式。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 然后用通常的牛顿法求解。但要用相然后用通常的牛顿法求解。但要用相应于式应于式(l-175)(l-175)的略去高阶项的泰勒展开的略去高阶项的泰勒展开式来代替修正方程组中原来对应于调节发式来代替修正方程组中原来对应于调节发电机的方程式电机的方程式 这个算法可使计及区域间交换功率控这个算法可使计及区域间交换功率控制的潮流计算所需的迭代次数大大减

47、少。制的潮流计算所需的迭代次数大大减少。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 四四 负荷静态特性的考虑负荷静态特性的考虑 电力系统的负荷从系统吸取的有功及无电力系统的负荷从系统吸取的有功及无功功率一般要随着其端电压的变化而改变。功功率一般要随着其端电压的变化而改变。因此在进行潮流计算时，各节点所给定的因此在进行潮流计算时，各节点所给定的负荷功率严格地讲只在预定的电压下才有负荷功率严格地讲只在预定的电压下才有意义。为使潮流计算的结果能正确反映系意义。为使潮流计算的结果能正确反映系统的实际情况，应计及节点负荷的电压特统的实际情况，应计及节点负荷的电压特性或静态特性性或静态特性 (1-(1-

48、178)178)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 由于负荷的组成成份及特性千变万化，由于负荷的组成成份及特性千变万化，要精确地写出各节点负荷的负荷要精确地写出各节点负荷的负荷- -电压特电压特性表示式是困难的。因此，在潮流计算中，性表示式是困难的。因此，在潮流计算中，可采用下述近似模型。可采用下述近似模型。 (1) (1) 指数函数指数函数 (l-179)(l-179) (2) (2) 多项式多项式 (l-180)(l-180)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 前两式中，下标前两式中，下标 表示正常值；表示正常值； 分分别表示节点电压为别表示节点电压为 时的节点有功、无

49、时的节点有功、无功功率给定值。式功功率给定值。式(l-179)(l-179)和式和式(l-180)(l-180)中中的常数的常数 应由现场试验应由现场试验测定。在缺乏具体数据的情况下，可近似测定。在缺乏具体数据的情况下，可近似地取经验数据，如取地取经验数据，如取 和和 等。等。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 无论采用何种负荷静态特性模型，进行无论采用何种负荷静态特性模型，进行潮流计算时，原来潮流方程式潮流计算时，原来潮流方程式(l-28)(l-28)和式和式(l-29)(l-29)中（以采用极坐标的为例）具有定中（以采用极坐标的为例）具有定值的值的 要用式要用式(l-179)(l

50、-179)或式或式(l-180)(l-180)中中有关表示式代替。如采用多项式模型，潮有关表示式代替。如采用多项式模型，潮流方程式流方程式(l-28)(l-28)和式和式(l-29)(l-29)将改写成将改写成 (1-181)(1-181)六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整 因此雅可比矩阵元素因此雅可比矩阵元素 的表示式的表示式将不同于式将不同于式(1-34)-(1-34)-式式(1-38)(1-38)，但其它元，但其它元素的表示式和计算步骤与不计负荷特性时素的表示式和计算步骤与不计负荷特性时无大差别，所以计及负荷静态特性并不会无大差别，所以计及负荷静态特性并不会给潮流计算带来特殊的

51、困难。给潮流计算带来特殊的困难。 一般说来，潮流计算中计及负荷静态特一般说来，潮流计算中计及负荷静态特性对计算的收敛性是有利的。性对计算的收敛性是有利的。六潮流计算中的自动调整六潮流计算中的自动调整n 最优潮流与潮流计算的区别最优潮流与潮流计算的区别前面介绍的潮流计算，可以归结为针对前面介绍的潮流计算，可以归结为针对一定的扰动变量一定的扰动变量 （负荷情况），根据给（负荷情况），根据给定的控制变量定的控制变量 （发电机的有功出力、无（发电机的有功出力、无功出力或节点电压模值等），求出相应功出力或节点电压模值等），求出相应的状态变量的状态变量 （节点电压模值及角度）（节点电压模值及角度）. .七

52、七. .最优潮流问题（最优潮流问题（OPFOPF）-概述概述 通过一次潮流计算得到电力系统的通过一次潮流计算得到电力系统的一个运行状态。这种潮流计算称为常规一个运行状态。这种潮流计算称为常规潮流计算。常规潮流计算的结果满足潮潮流计算。常规潮流计算的结果满足潮流方程式或者变量间的等式约束条件流方程式或者变量间的等式约束条件 (1-182)(1-182)七七. .最优潮流问题（最优潮流问题（OPFOPF） 常规潮流计算存在以下两种问题常规潮流计算存在以下两种问题: : 1. 1.常规潮流计算决定的运行状态可能由常规潮流计算决定的运行状态可能由于某些状态或者作为于某些状态或者作为 函数的其它变量函数

53、的其它变量超出了它们的运行限值，因而在技术上是超出了它们的运行限值，因而在技术上是不可行的。对此实际上常用的方法是调整不可行的。对此实际上常用的方法是调整某些控制变量的给定值，重新进行基本潮某些控制变量的给定值，重新进行基本潮流流计算，这样反复进行，直到所有的约束计算，这样反复进行，直到所有的约束条件都满足为止。这样便得到了一个技术条件都满足为止。这样便得到了一个技术上可行的潮流解。上可行的潮流解。 七七. .最优潮流问题最优潮流问题 2.2.对某一种负荷情况，理论上存在众多对某一种负荷情况，理论上存在众多的、技术上都能满足要求的可行潮流解。的、技术上都能满足要求的可行潮流解。这里每一个可行潮

54、流解对应于系统的一个这里每一个可行潮流解对应于系统的一个特定的运行方式，具有相应总体的经济上特定的运行方式，具有相应总体的经济上或技术上的性能指标（如系统总的燃料消或技术上的性能指标（如系统总的燃料消耗量、系统总的网损等）。耗量、系统总的网损等）。 七七. .最优潮流问题最优潮流问题 为了优化系统的运行，需要从所有可行为了优化系统的运行，需要从所有可行潮流解中挑选出上述性能指标最佳的一个潮流解中挑选出上述性能指标最佳的一个方案。而这就是本节要讨论的最优潮流问方案。而这就是本节要讨论的最优潮流问题。题。 所谓所谓最优潮流最优潮流，就是当系统的结构参数，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控

55、制变量的优选，及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，找到的能满足所有指定的约束条件，并使找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的性能指标或目标函数达到最优的潮系统的性能指标或目标函数达到最优的潮流分布。流分布。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 最优潮流和基本潮流比较，有以下不同最优潮流和基本潮流比较，有以下不同点。点。（1 1）基本潮流计算时控制变量）基本潮流计算时控制变量 事先给定；事先给定；而最优潮流中而最优潮流中 则是待优选的变量，因此则是待优选的变量，因此在最优潮流模型中必然有一个作为在最优潮流模型中必然有一个作为 优选优选准则的目标函数。准则的目标函数。（2 2）最优潮流计算除了

56、满足潮流方程这一）最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之外，还必须满足与运行限等式约束条件之外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约束条件。制有关的大量不等式约束条件。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 （3 3）基本潮流计算是）基本潮流计算是求解非线性代数方求解非线性代数方程组程组；而最优潮流计算从数学上讲是一个；而最优潮流计算从数学上讲是一个非线性规划问题非线性规划问题，因此需要采用最优化方，因此需要采用最优化方法来求解。法来求解。（4 4）基本潮流计算完成的只是一种计算功）基本潮流计算完成的只是一种计算功能，即从给定的能，即从给定的 求出相应的求出相应的 ；而最优；而最优潮流计

57、算是根据特定目标函数并满足相应潮流计算是根据特定目标函数并满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，约束条件的情况下，自动优选控制变量，具有指导系统进行优化调整的决策功能。具有指导系统进行优化调整的决策功能。七七. .最优潮流问题最优潮流问题n 最优潮流与经济调度的区别最优潮流与经济调度的区别 建立在严格数学基础上的最优潮流模建立在严格数学基础上的最优潮流模型首先是由法国的型首先是由法国的CarpentierCarpentier于于2020世纪世纪60 60 年代提出的。由于基于年代提出的。由于基于协调方程式协调方程式的的经典经典经济调度方法经济调度方法虽然具有方法简单，计算速虽然具有方法简

58、单，计算速度快，适宜于实时应用等优点，但协调方度快，适宜于实时应用等优点，但协调方程式程式在处理节点电压越界在处理节点电压越界及及线路过负荷线路过负荷等等安全约束的问题上却显得无能为力。安全约束的问题上却显得无能为力。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 随着电力系统规模的日益扩大以及一些随着电力系统规模的日益扩大以及一些特大事故的发生，电力系统运行安全性问特大事故的发生，电力系统运行安全性问题被提到一个新的高度上来加以重视。因题被提到一个新的高度上来加以重视。因此，人们越来越迫切要求此，人们越来越迫切要求将经济和安全问将经济和安全问题统一起来考虑题统一起来考虑。而以数学规划问题作为。而以数学规

59、划问题作为基本模式的最优潮流在约束条件的处理上基本模式的最优潮流在约束条件的处理上具有很强的能力。具有很强的能力。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 最优潮流能够在模型中引入能表示成状最优潮流能够在模型中引入能表示成状态变量和控制变量函数的各种不等式约束，态变量和控制变量函数的各种不等式约束，将电力系统对于经济性、安全性以及电能将电力系统对于经济性、安全性以及电能质量三方面的要求，完美地统一起来。质量三方面的要求，完美地统一起来。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 4040多年来，广大学者对最优潮流问多年来，广大学者对最优潮流问题进行了大量的研究。这些研究工作，除题进行了大量的研究。这些研究工

60、作，除了提出了采用不同的目标函数和约束条件，了提出了采用不同的目标函数和约束条件，因而构成不同应用范围的最优潮流模型之因而构成不同应用范围的最优潮流模型之外，更大量的是从外，更大量的是从改善收敛性能、提高计改善收敛性能、提高计算速度算速度等目的出发而提出的最优潮流计算等目的出发而提出的最优潮流计算的各种模型和求解算法。的各种模型和求解算法。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 本节主要内容本节主要内容七七. .最优潮流问题最优潮流问题非线性规划算法非线性规划算法简化梯度法简化梯度法牛顿法牛顿法变量的分类变量的分类目标函数目标函数等约束条件等约束条件不等约束条件不等约束条件最优潮流的数学模型最优潮

61、流的数学模型 解耦最优潮流解耦最优潮流 一一 最优潮流的数学模型最优潮流的数学模型 最优潮流的变量最优潮流的变量 在最优潮流的算法中，常将所涉及的变在最优潮流的算法中，常将所涉及的变量分成状态变量量分成状态变量 及控制变量及控制变量 两类。两类。 通通常由调度人员可以调整、控制的变量组成；常由调度人员可以调整、控制的变量组成； 确定以后，确定以后， 就可以通过潮流计算确定下来。就可以通过潮流计算确定下来。七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 一般常用的一般常用的控制变量控制变量有：有： （1 1）平衡节点以外发电机的）平衡节点以外发电机的有功出力有功出力； （2 2）所有发电机节

62、点（包括平衡节点）所有发电机节点（包括平衡节点）及具有可调无功补偿设备节点的及具有可调无功补偿设备节点的电压模值电压模值； （3 3）带负荷调压变压器的）带负荷调压变压器的变比变比。七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 状态变量由需经潮流计算才能求得的状态变量由需经潮流计算才能求得的变量组成。常见的有：变量组成。常见的有： (1)(1)除平衡节点外，其它所有节点的除平衡节点外，其它所有节点的电电压相角压相角； (2)(2)除发电机节点以及具有可调无功补除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有偿设备节点之外，其它所有节点的电压节点的电压模值模值。七七. .最优潮流问题

63、最优潮流问题数学模型数学模型 最优潮流的目标函数最优潮流的目标函数 最优潮流的目标函数可以是任何一种按最优潮流的目标函数可以是任何一种按特定的应用目的而定义的标量函数，目特定的应用目的而定义的标量函数，目前常见的目标函数如下。前常见的目标函数如下。（1 1）全系统发电燃料总耗量（或总费用）全系统发电燃料总耗量（或总费用） (1-183)(1-183)七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型式中：式中： 为全系统发电机的集合，其中包为全系统发电机的集合，其中包括平衡节点的发电机组；括平衡节点的发电机组； 为发电机组为发电机组的耗量特性，可以采用线性、二次或更高的耗量特性，可以采用线性、

64、二次或更高次的函数关系式。次的函数关系式。 由于平衡节点由于平衡节点 的电源有功出力不是控的电源有功出力不是控制变量，其节点注入功率必须通过潮流计制变量，其节点注入功率必须通过潮流计算才能决定，是节点电压模值及相角的函算才能决定，是节点电压模值及相角的函数，于是有数，于是有 (1-184)(1-184)七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型式中：式中： 为注入节点为注入节点 而通过与节点而通过与节点 相关的线路输出的有功功率；相关的线路输出的有功功率； 为节点为节点 的负荷功率。的负荷功率。所以式所以式(1-183)(1-183)可写为可写为 (1-185)(1-185)七七. .

65、最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 （2 2）有功网损）有功网损 (1-186)(1-186)式中：式中： 表示所有支路的集合。表示所有支路的集合。 采用有功网损作为目标函数的最优潮流采用有功网损作为目标函数的最优潮流问题，除平衡节点外，其它发电机的有功问题，除平衡节点外，其它发电机的有功出力都认为是给定不变的。因而对于一定出力都认为是给定不变的。因而对于一定的负荷的负荷, ,平衡节点的注入功率将随网损的平衡节点的注入功率将随网损的变化而改变，于是变化而改变，于是平衡节点有功注入功率平衡节点有功注入功率的最小化就等效于系统总的网损的最小化的最小化就等效于系统总的网损的最小化。七七. .最

66、优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 因此可以直接采用平衡节点的有功注入因此可以直接采用平衡节点的有功注入作为有功网损最小化问题的目标函数，即作为有功网损最小化问题的目标函数，即有有 (1-187)(1-187) 除此之外，最优潮流问题根据应用场合除此之外，最优潮流问题根据应用场合不同，还可采用其它类型的目标函数，如不同，还可采用其它类型的目标函数，如偏移量最小、控制设备调节量最小、投资偏移量最小、控制设备调节量最小、投资及年运行费用之和最小等。及年运行费用之和最小等。七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 可见，最优潮流的目标函数不仅与控制可见，最优潮流的目标函数不仅与控制变量

67、有关，同时也和状态变量有关，因变量有关，同时也和状态变量有关，因此可用简洁的形式表示为此可用简洁的形式表示为 (1-188)(1-188)七七. .最优潮流问题最优潮流问题 （三）等式约束条件（三）等式约束条件 最优潮流是经过优化的潮流分布，为此最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必须满足基本潮流方程。这就是最优潮流必须满足基本潮流方程。这就是最优潮流问题的等式约束条件。用式问题的等式约束条件。用式(1-182)(1-182)表示表示的基本潮流方程式由于扰动变量的基本潮流方程式由于扰动变量 即负荷即负荷一般都是给定的，所以该式可进一步简化一般都是给定的，所以该式可进一步简化表示为表示为 (1-1

68、89)(1-189)七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 （四）不等式约束条件（四）不等式约束条件 最优潮流的内涵包括了系统运行的安全最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性及电能质量，另外可调控制变量本身性及电能质量，另外可调控制变量本身也有一定的容许调节范围，为此在计算也有一定的容许调节范围，为此在计算中要对控制变量以及通过潮流计算才能中要对控制变量以及通过潮流计算才能得到的其它量（状态变量及函数变量）得到的其它量（状态变量及函数变量）的取值加以限制。这就产生了大量的不的取值加以限制。这就产生了大量的不等式约束条件，如：等式约束条件，如： (1(1）有功电源出力上下限约束；）有功

69、电源出力上下限约束；七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 (2(2）可调无功电源出力上下限约束；）可调无功电源出力上下限约束； (3(3）带载调压变压器变比调整范围约束，）带载调压变压器变比调整范围约束， (4(4）节点电压模值上下限约束；）节点电压模值上下限约束； (5(5）输电线路或变压器等元件的最大电流）输电线路或变压器等元件的最大电流或视在功率约束，或视在功率约束， (6(6）线路的最大有功或无功潮流约束；）线路的最大有功或无功潮流约束； (7(7）线路两端节点电压相角差约束，等等。）线路两端节点电压相角差约束，等等。不等式约束条件可以统一表示为不等式约束条件可以统一表示

70、为 (1-190)(1-190)七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 （五）最优潮流的数学模型（五）最优潮流的数学模型 综上所述，电力系统最优潮流的数学模综上所述，电力系统最优潮流的数学模型可以表示为型可以表示为 (1-191)(1-191)七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 通过以上讨论可以看到，目标函数通过以上讨论可以看到，目标函数 及等式、不等式约束及等式、不等式约束 及及 中的大部分中的大部分约束都是非线性函数，因此电力系统的约束都是非线性函数，因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的最优潮流计算是一个典型的有约束非线有约束非线性规划问题。性规划问题。采用不

71、同的目标函数并选采用不同的目标函数并选择不同的控制变量，再和相应的约束条择不同的控制变量，再和相应的约束条件相结合，就可以构成不同应用目的的件相结合，就可以构成不同应用目的的最优潮流问题。最优潮流问题。 例如：例如：七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 （1 1）目标函数采用发电燃料耗量（或目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小费用）最小： 以除去平衡节点以外的所有有功以除去平衡节点以外的所有有功电源出力及所有可调无功电源出力（或电源出力及所有可调无功电源出力（或用相应的节点电压），还有带负荷调压用相应的节点电压），还有带负荷调压变压器的变比作为控制变量，就是对变压器的变比作为控

72、制变量，就是对有有功及无功进行综合优化功及无功进行综合优化的通常泛称的最的通常泛称的最优潮流问题优潮流问题七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 （2 2）若目标函数同（）若目标函数同（1 1），仅以有功电源），仅以有功电源出力作为控制变量而将无功电源出力（或出力作为控制变量而将无功电源出力（或相应节点电压模值）固定，则称为相应节点电压模值）固定，则称为有功最有功最优潮流优潮流。七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型(3(3）目标函数采用系统的有功网损最小目标函数采用系统的有功网损最小 将各有功电源出力固定而以可调无功将各有功电源出力固定而以可调无功电源出力（或相应节点

73、电压模值）及调压电源出力（或相应节点电压模值）及调压变压器变比作为控制变量，则称为无功优变压器变比作为控制变量，则称为无功优化潮流。化潮流。 以上这三种是目前用得最多的最优潮以上这三种是目前用得最多的最优潮流问题。流问题。七七. .最优潮流问题最优潮流问题数学模型数学模型 二二 最优潮流计算的简化梯度算法最优潮流计算的简化梯度算法 由于电力系统的规模日益扩大，其节点由于电力系统的规模日益扩大，其节点数可以成百上千，最优潮流计算模型中数可以成百上千，最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数极为巨包含的变量数及等式约束方程数极为巨大，至于不等式约束的数目则更多，兼大，至于不等式约束的数目则更

74、多，兼以变量之间又存在着复杂的函数关系，以变量之间又存在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身于极这些因素都导致最优潮流计算跻身于极其困难的大规模非线性规划的行列。其困难的大规模非线性规划的行列。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 虽经将近虽经将近3030年的努力，但继续寻找能够年的努力，但继续寻找能够快速、有效地求解各种类型的大规模最快速、有效地求解各种类型的大规模最优潮流计算问题，特别是能够满足实时优潮流计算问题，特别是能够满足实时应用的方法，对广大研究者来说，仍然应用的方法，对广大研究者来说，仍然是一个巨大的挑战。是一个巨大的挑战。七七. .最优潮流问

75、题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 下面介绍最优潮流计算的简化梯度法。下面介绍最优潮流计算的简化梯度法。这个算法在最优潮流领域内具有重要的这个算法在最优潮流领域内具有重要的地位，是最优潮流问题被提出后，能够地位，是最优潮流问题被提出后，能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并成功地求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个算法，它直到现在，被广泛采用的第一个算法，它直到现在，仍然还被看成是一种成功的算法而加以仍然还被看成是一种成功的算法而加以引用。引用。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 最优潮流计算的简化梯度算法以极坐标最优潮流计算的简化梯度算法以极坐标形式

76、的牛顿潮流算法为基础。形式的牛顿潮流算法为基础。下面先讨论：下面先讨论：1.1.仅计及等式约束条件时算法的构成仅计及等式约束条件时算法的构成；2.2.讨论计及不等式约束条件时的处理方法讨论计及不等式约束条件时的处理方法。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 ( (一一) ) 仅有等式约束条件时的算法仅有等式约束条件时的算法 对于仅有等式约束的最优潮流计算，根对于仅有等式约束的最优潮流计算，根据式据式(1-191)(1-191)，问题可以表示为，问题可以表示为 (1-192)(1-192) 应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束式约束

77、中方程式数同样多的拉格中方程式数同样多的拉格朗日乘子朗日乘子 ，则构成拉格朗日函数为，则构成拉格朗日函数为 (1-193)(1-193)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 采用经典的函数求极值的方法，将采用经典的函数求极值的方法，将 分分别对变量别对变量 及及 求导并令其等于零，即求导并令其等于零，即得到极值所满足的必要条件为得到极值所满足的必要条件为 (1-194)(1-194) (1-195) (1-195) (1-196) (1-196)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 这是三个非线性这是三个非线性代数方程组，每组代数方程组，每组的方

78、程式个数分别的方程式个数分别等于向量的维数。等于向量的维数。最优潮流的解必须最优潮流的解必须同时满足这三组方同时满足这三组方程。程。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 联立求解这三个极值条件方程组联立求解这三个极值条件方程组, ,可以可以求得此非线性规划问题的最优解。但由于求得此非线性规划问题的最优解。但由于方程数目众多及其非线性性质，联立求解方程数目众多及其非线性性质，联立求解的计算量非常巨大，有时还相当困难。这的计算量非常巨大，有时还相当困难。这里采用的是迭代下降算法，其基本思想是里采用的是迭代下降算法，其基本思想是从一个初始点开始，确定一个搜索方向，从一个初始点

79、开始，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由新的点开始，再重复上述步下降，然后由新的点开始，再重复上述步骤，直到满足一定的收敛判据为止。骤，直到满足一定的收敛判据为止。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 这个迭代求解算法的基本要点如下。这个迭代求解算法的基本要点如下。（1 1）令迭代计数）令迭代计数 ；（2 2）假定一组控制变量）假定一组控制变量 ；（3 3）由于式）由于式(1-196)(1-196)是潮流方程，所以通过是潮流方程，所以通过潮流计算可由已知的潮流计算可由已知的 求得相应的求得相应的 ；（4

80、 4）观察式）观察式(1-194)(1-194)， 是牛顿法潮流计算是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵的雅可比矩阵 ，利用求解潮流时已经，利用求解潮流时已经求得的潮流解点的求得的潮流解点的 及其及其 三角因子矩阵，三角因子矩阵，可以方便地求出可以方便地求出 (1-197)(1-197)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法（5 5）将求得的）将求得的 及及 代入式代入式(1-195)(1-195)，则有则有 (1-198)(1-198)（6 6）若）若 ，则说明这组解是最优解，计，则说明这组解是最优解，计算结束。否则，转入下一步；算结束。否则，转入下一步；（7 7）这里）这里

81、，为此必须按照能使目标函，为此必须按照能使目标函数下降的方向对数下降的方向对 进行修正进行修正 (1-199)(1-199)然后回到步骤（然后回到步骤（3 3）。）。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 重复上述过程，直到式重复上述过程，直到式(1-195)(1-195)得到满得到满足，即足，即 为止，这样便求得了最优解。为止，这样便求得了最优解。 可以可以证明证明式式(1-195)(1-195)中的中的 是在满足等是在满足等式约束条件即式式约束条件即式(1-196)(1-196)的情况下目标函的情况下目标函数对于控制变量数对于控制变量 的梯度向量的梯度向量 。 七七.

82、 .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 通过潮流方程，变量通过潮流方程，变量 的变化可以用控的变化可以用控制变量制变量 的变化来表示，的变化来表示， 是在满足等式是在满足等式约束条件下目标函数在维数较小的约束条件下目标函数在维数较小的 空间空间上的梯度，所以也称为简化梯度上的梯度，所以也称为简化梯度(Reduced (Reduced gradientgradient）。）。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 在前述的迭代算法中，必须仔细研究第在前述的迭代算法中，必须仔细研究第（7 7）步中当）步中当 时如何进一步对时如何进一步对 进行修进行修正，也就是

83、如何决定式正，也就是如何决定式(1-199)(1-199)的的 的问的问题，这是该算法极为关键的一步。题，这是该算法极为关键的一步。 由于某一点的梯度方向是该点函数值变由于某一点的梯度方向是该点函数值变化率最大的方向，因此若沿着函数在该点化率最大的方向，因此若沿着函数在该点的负梯度方向前进时，函数值下降最快，的负梯度方向前进时，函数值下降最快，所以最简便的办法就是取负梯度作为每次所以最简便的办法就是取负梯度作为每次迭代的搜索方向，即取迭代的搜索方向，即取 (1-206)(1-206)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 在非线性规划中，这种以负梯度作为搜在非线性规划中，

84、这种以负梯度作为搜索方向的算法，也称梯度法或最速下降法。索方向的算法，也称梯度法或最速下降法。式式(1-206)(1-206)中步长因子的选择对算法的收中步长因子的选择对算法的收敛过程有很大影响，选得太小将使迭代次敛过程有很大影响，选得太小将使迭代次数增加，选得太大则将导致在最优点附近数增加，选得太大则将导致在最优点附近来回振荡。最优步长的选择正如在本章第来回振荡。最优步长的选择正如在本章第七节中曾经讨论过的，是一个一维搜索问七节中曾经讨论过的，是一个一维搜索问题，可以采用抛物线插值等方法。题，可以采用抛物线插值等方法。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 （二）不等式

85、约束条件的处理（二）不等式约束条件的处理 最优潮流的不等式约束条件数目很多，最优潮流的不等式约束条件数目很多，按其性质的不同可分成两大类：第一类是按其性质的不同可分成两大类：第一类是关于自变量或控制变量的不等式约束，第关于自变量或控制变量的不等式约束，第二类是关于因变量即状态变量以及可表示二类是关于因变量即状态变量以及可表示为和的函数的不等式约束条件，这一类约为和的函数的不等式约束条件，这一类约束通称为函数不等式约束。以下分别讨论束通称为函数不等式约束。以下分别讨论这两类不等式约束在算法中的处理方法。这两类不等式约束在算法中的处理方法。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算

86、法 1 1 控制变量不等式约束控制变量不等式约束 控制变量的不等式约束比较容易处理。控制变量的不等式约束比较容易处理。若按照若按照 对控制变量进行修对控制变量进行修正，如果得到的正，如果得到的 使得任一个使得任一个 超过超过其限值其限值 或或 时，则该越界的控制变时，则该越界的控制变量就被强制在相应的界上，即量就被强制在相应的界上，即 (1-207)(1-207)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 2 函数不等式约束函数不等式约束 函数不等式约束函数不等式约束 无法采用和控无法采用和控制变量不等式约束相同的办法来处理，因制变量不等式约束相同的办法来处理，因而处理起来比

87、较困难。目前比较通行的一而处理起来比较困难。目前比较通行的一种方法是采用种方法是采用罚函数法罚函数法来处理。来处理。 罚函数法的基本思路是将约束条件引入罚函数法的基本思路是将约束条件引入目标函数而形成一个新的函数，将有约束目标函数而形成一个新的函数，将有约束最优化问题的求解转化成一系列无约束最最优化问题的求解转化成一系列无约束最优化问题的求解。具体做法如下。优化问题的求解。具体做法如下。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法（1）将越界不等式约束以惩罚项的形式）将越界不等式约束以惩罚项的形式附加在原来的目标函数附加在原来的目标函数 上，从而构上，从而构成一个新的目标函数（

88、即惩罚函数）成一个新的目标函数（即惩罚函数） (1-209)式中：式中： 为函数不等式约束数；为函数不等式约束数； 为指定的正常为指定的正常数，称为罚因子，其数值可随着迭代而改变；数，称为罚因子，其数值可随着迭代而改变；七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 附加在原来目标函数上的第二项附加在原来目标函数上的第二项 或或 ，称为惩罚项。如对于状态变量称为惩罚项。如对于状态变量 的惩罚的惩罚项为项为 (1-210)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 对于要表示成变量函数式的不等式约束对于要表示成变量函数式的不等式约束 的惩罚项为的惩罚项为 (1-2

89、11) ( 2) 对这个新的目标函数按无约束求极值对这个新的目标函数按无约束求极值的方法求解，使得最终求得的解点在满的方法求解，使得最终求得的解点在满足上列约束条件的前提下能使原来的目足上列约束条件的前提下能使原来的目标函数达到最小。标函数达到最小。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法图图1-15 1-15 惩罚项的意义惩罚项的意义七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法（三）简化梯度最优潮流算法及原理框图（三）简化梯度最优潮流算法及原理框图 在采用罚函数法处理函数不等式约束以在采用罚函数法处理函数不等式约束以后，原来的式后，原来的式(1-193)(

90、1-193)将用下式代替将用下式代替 (1-212)(1-212) 相应的极值条件相应的极值条件(1-194) (1-196)变为变为 (1-213)(1-213) (1-214) (1-214) (1-215) (1-215)七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 式式(1-197)(1-197)将变成将变成 (1-216)(1-216)而简化梯度而简化梯度 (1-217)(1-217)图图1-161-16是简化梯度法最优潮流算法的原理是简化梯度法最优潮流算法的原理框图。框图。七七. .最优潮流问题最优潮流问题（四）简化梯度最优潮流算法的分析（四）简化梯度最优潮流算法的

91、分析 简化梯度最优潮流算法是建立在牛顿法简化梯度最优潮流算法是建立在牛顿法潮流计算的基础上的。利用已有的采用极潮流计算的基础上的。利用已有的采用极坐标形式的牛顿法潮流计算程序加以扩充，坐标形式的牛顿法潮流计算程序加以扩充，便可得到这种最优潮流计算程序。这种算便可得到这种最优潮流计算程序。这种算法原理简单，程序设计也比较简便。法原理简单，程序设计也比较简便。七七. .最优潮流问题最优潮流问题-简化梯度算法简化梯度算法 这种算法也有一些缺点。首先是因为采这种算法也有一些缺点。首先是因为采用梯度法或最速下降法作为求最优点的用梯度法或最速下降法作为求最优点的搜索方向，搜索方向，最速下降法前后二次迭代的

92、最速下降法前后二次迭代的搜索方向总是互相垂直的搜索方向总是互相垂直的，因此迭代点，因此迭代点在向最优点接近的过程中，走的是曲折在向最优点接近的过程中，走的是曲折的路，即通称的的路，即通称的锯齿现象锯齿现象。而且越接近。而且越接近最优点，锯齿越小，因此收敛速度很慢。最优点，锯齿越小，因此收敛速度很慢。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 另一个缺点是采用罚函数法处理不等式另一个缺点是采用罚函数法处理不等式约束带来的。约束带来的。罚因子数值的选择是否适罚因子数值的选择是否适当，对算法的收敛速度影响很大当，对算法的收敛速度影响很大。过大。过大的罚因子会使计算过程收敛性变坏。的罚因子会使计算过程收敛性变

93、坏。七七. .最优潮流问题最优潮流问题四、最优潮流牛顿法四、最优潮流牛顿法 略略七七. .最优潮流问题最优潮流问题 许多文献提出了改进算法，如在求许多文献提出了改进算法，如在求无约束极小点的搜索方向上，提出采用无约束极小点的搜索方向上，提出采用共轭梯度共轭梯度及及拟牛顿方向拟牛顿方向。另外，每次迭。另外，每次迭代用牛顿法计算潮流，耗时很多，为此代用牛顿法计算潮流，耗时很多，为此提出可用快速解耦法进行计算。提出可用快速解耦法进行计算。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 四四 解耦最优潮流计算解耦最优潮流计算 常规潮流汁算中快速解耦算法的成功促常规潮流汁算中快速解耦算法的成功促使人们联想到在最优潮

94、流计算问题中也使人们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功、无功解耦技术，从而产可以引入有功、无功解耦技术，从而产生另一类最优潮流计算模型，称之为解生另一类最优潮流计算模型，称之为解耦最优潮流（耦最优潮流（Decoupled OPFDecoupled OPF）。即把）。即把最优潮流问题分解成为有功优化和无功最优潮流问题分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题。优化两个子优化问题。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 有功优化和无功优化这两个子优化问题有功优化和无功优化这两个子优化问题可以独立地构成并求解，实现可以独立地构成并求解，实现单独的有功单独的有功或无功优化或无功优化；也可以组合起来交替

95、地迭代；也可以组合起来交替地迭代求解，实现求解，实现有功、无功的综合优化有功、无功的综合优化。 按照与有功及无功问题的关联，首先将按照与有功及无功问题的关联，首先将控制变量控制变量 分成分成 及及 两组，状态变量也两组，状态变量也分成分成 及及 两组。其中，两组。其中， 为除平衡节点为除平衡节点外，其它发电机的有功出力。外，其它发电机的有功出力。 为除平衡为除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。节点外，其它所有节点的电压相角。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 为所有发电机（包括平衡节点）及具为所有发电机（包括平衡节点）及具有无功补偿设备节点的电压模值，另外有无功补偿设备节点的电压模值，另外还

96、有调压变压器变化；还有调压变压器变化； 为除上述为除上述 中中所列的节点以外的其余节点的电压模值。所列的节点以外的其余节点的电压模值。 此外，等式及不等式约束也分成此外，等式及不等式约束也分成 及及 两组。于是，两个子优化问题的数学两组。于是，两个子优化问题的数学模型分别如下。模型分别如下。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 （一）有功子优化问题（一）有功子优化问题 通常用全系统的发电燃料总耗量或总费通常用全系统的发电燃料总耗量或总费用即式用即式(1-183)(1-183)作为目标函数。与无功作为目标函数。与无功有关的控制变量有关的控制变量 及状态变量及状态变量 均作为均作为常数处理，设用常数

97、处理，设用 及及 表示，于是有功表示，于是有功子优化问题的数学模型可写成如下形式子优化问题的数学模型可写成如下形式 (1-231)(1-231)七七. .最优潮流问题最优潮流问题式中：等式约束表示节点有功功率方程组；式中：等式约束表示节点有功功率方程组；不等式约束可包括以上提到的有关控制不等式约束可包括以上提到的有关控制变量变量 及状态变量及状态变量 的不等式约束，另的不等式约束，另外还可以包括能表示成外还可以包括能表示成 函数（如平衡函数（如平衡节点的有功功率以及线路有功潮流等）节点的有功功率以及线路有功潮流等）的不等式约束条件。的不等式约束条件。七七. .最优潮流问题最优潮流问题（二）无功

98、子优化问题（二）无功子优化问题 无功子优化问题无功子优化问题可以有不同可以有不同的目标函数。的目标函数。如以节点电压偏离其规定值为最小，或如以节点电压偏离其规定值为最小，或者以无功备用在系统中的均匀分布以能者以无功备用在系统中的均匀分布以能够较好地应付可能受到的扰动为目标；够较好地应付可能受到的扰动为目标；也有侧重于经济性的考虑。目前用得较也有侧重于经济性的考虑。目前用得较多的是后者，以系统的有功损耗即以式多的是后者，以系统的有功损耗即以式(1-187)(1-187)作为目标函数。作为目标函数。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 在无功子优化问题中，把控制变量在无功子优化问题中，把控制变量 及

99、及状态变量状态变量 作为不变的常量处理，以作为不变的常量处理，以 及表示，于是无功子优化问题的数学模及表示，于是无功子优化问题的数学模型可写成以下形式型可写成以下形式 (1-232)(1-232)七七. .最优潮流问题最优潮流问题式中：等式约束表示节点的无功功率方程式中：等式约束表示节点的无功功率方程组；不等式约束中除了包括对以上提到的组；不等式约束中除了包括对以上提到的有关有关 及的及的 限制以外，还可以包括能表限制以外，还可以包括能表示成示成 及及 函数的平衡节点的无功功率以函数的平衡节点的无功功率以及线路无功潮流等不等式约束条件。及线路无功潮流等不等式约束条件。七七. .最优潮流问题最优

100、潮流问题 有功及无功两个子优化问题可以独立地有功及无功两个子优化问题可以独立地求解，以实现单独的有功、无功优化，而求解，以实现单独的有功、无功优化，而能达到有功、无功综合优化的解耦最优潮能达到有功、无功综合优化的解耦最优潮流计算则要交替地迭代求解这两个子问题，流计算则要交替地迭代求解这两个子问题，其步骤如下：其步骤如下：（1 1）通过初始潮流计算，设定。）通过初始潮流计算，设定。（2 2）令）令 ， ，迭代计数，迭代计数 。七七. .最优潮流问题最优潮流问题（3 3）保持）保持 及及 不变，解有功子优化问题，不变，解有功子优化问题，得到得到 的最优值的最优值 及相应的及相应的 。（4 4）令）

101、令 ， 。（5 5）保持）保持 及及 数值不变，解无功子优数值不变，解无功子优化问题，得化问题，得 的最优值的最优值 及相应的及相应的 。（6 6）检验）检验 ， 是否满足。是否满足。（7 7）若满足收敛条件，计算结束；否则令）若满足收敛条件，计算结束；否则令 ， 。 （8 8） ，转向步骤（，转向步骤（3 3）。）。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 通过解耦或分解，优化过程变为两个规通过解耦或分解，优化过程变为两个规模近似减半的子问题串行迭代求解，这样模近似减半的子问题串行迭代求解，这样的算法能在内存节约以及减少计算时间方的算法能在内存节约以及减少计算时间方面取得相当的效果。因此，在考虑具

102、有实面取得相当的效果。因此，在考虑具有实时运行要求的，特别是大规模电力系统的时运行要求的，特别是大规模电力系统的最优潮流算法时，采用这种解耦的最优潮最优潮流算法时，采用这种解耦的最优潮流计算模型是一种很好的选择。流计算模型是一种很好的选择。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 从子优化问题的数学模型可见，它和最从子优化问题的数学模型可见，它和最优潮流的一般模型完全相似，因此求解最优潮流的一般模型完全相似，因此求解最优潮流的各种方法都能在这里应用。如采优潮流的各种方法都能在这里应用。如采用非线性规划、二次规划以及线性规划的用非线性规划、二次规划以及线性规划的各种算法模型。此外，解耦最优潮流的另各种

103、算法模型。此外，解耦最优潮流的另一个优点在于容许根据两个子优化问题的一个优点在于容许根据两个子优化问题的特性采用不同的求解算法，进一步提高算特性采用不同的求解算法，进一步提高算法的性能。这也是采用解耦最优潮流的一法的性能。这也是采用解耦最优潮流的一个重要理由。个重要理由。七七. .最优潮流问题最优潮流问题 线性规划的求解过程十分稳定可靠，计线性规划的求解过程十分稳定可靠，计算速度快，容易处理各种约束条件。而电算速度快，容易处理各种约束条件。而电力系统的有功分量和有功潮流方程有着良力系统的有功分量和有功潮流方程有着良好的线性关系，线性化程度较高，为此实好的线性关系，线性化程度较高，为此实用的有功

104、优化潮流往往采用线性规划方法用的有功优化潮流往往采用线性规划方法来求解。因此，解耦最优潮流的算法可以来求解。因此，解耦最优潮流的算法可以按照有功子优化问题采用线性规划，而无按照有功子优化问题采用线性规划，而无功子优化问题采用非线性规划的方式来组功子优化问题采用非线性规划的方式来组成，进一步提高计算效率。成，进一步提高计算效率。七七. .最优潮流问题最优潮流问题略略八交直流电力系统的潮流计算八交直流电力系统的潮流计算 一一 直流潮流直流潮流 前面介绍的潮流计算，都属于精确潮流前面介绍的潮流计算，都属于精确潮流计算计算, ,采用的都是精确的非线性交流潮流采用的都是精确的非线性交流潮流模型，得到的结

105、果也是精确的，可是其模型，得到的结果也是精确的，可是其计算量和耗用时间却因需要迭代计算而计算量和耗用时间却因需要迭代计算而比较多。比较多。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 在有些场合如进行系统规划设计时，原在有些场合如进行系统规划设计时，原始数据本身就不很精确而规划方案却十始数据本身就不很精确而规划方案却十分众多；再如在实时安全分析中，要进分众多；再如在实时安全分析中，要进行大量的预想事故筛选等等。这些场合行大量的预想事故筛选等等。这些场合在计算精度和速度这一对矛盾中，后者在计算精度和速度这一对矛盾中，后者占了主导地位，因此就产生了采用近似占了主导地位，因此就产

106、生了采用近似模型的直流法潮流。其计算速度是所有模型的直流法潮流。其计算速度是所有潮流算法中最快的。潮流算法中最快的。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介图图1-36 1-36 一条交流支路的等值电路图一条交流支路的等值电路图九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介图图1-361-36中通过的功率表达式为中通过的功率表达式为 (1-362)(1-362) (1-363) (1-363)利用类似于利用类似于P-QP-Q解耦潮流计算使用的假定，解耦潮流计算使用的假定，即即 ， 数值很小，数值很小， ，其数值接，其数值接近近1.01.0，并略去线路电

107、阻及所有对地支路，并略去线路电阻及所有对地支路，以上两式可近似为以上两式可近似为 (1-364)(1-364) (1-365) (1-365)九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 这样，在不计支路无功潮流之后，由式这样，在不计支路无功潮流之后，由式(1-364)(1-364)，一条交流网络的支路就可看成，一条交流网络的支路就可看成是一条直流支路，见图是一条直流支路，见图1-371-37，其两端相，其两端相应的直流电压值为应的直流电压值为 及及 ，直流电阻等，直流电阻等于支路电抗于支路电抗 ，直流电流值为相应的有，直流电流值为相应的有功功率。功功率。图图 1-37 1

108、-37 直流法支路等值图直流法支路等值图 九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 利用节点功率利用节点功率 的关系，并设平衡的关系，并设平衡节点节点 的相角的相角 ，可得，可得 (1-366)(1-366)这里这里 除平衡节点除平衡节点 外，其余外，其余 个节点都可列个节点都可列出式出式(1-366)(1-366)的方程式。的方程式。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 不难看出，不难看出， 的构成和的构成和P-QP-Q解耦法有功迭解耦法有功迭代方程式代方程式(1-65)(1-65)的系数矩阵的系数矩阵 完全相同。完全相同。 式式(1-36

109、8)(1-368)是一个线性方程组，可以一是一个线性方程组，可以一次直接求解得到结果，因而计算速度非常次直接求解得到结果，因而计算速度非常快。快。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介写成矩阵形式，即得直流潮流数学模型写成矩阵形式，即得直流潮流数学模型 (1-(1-368)368) 二二 随机潮流随机潮流 在实际工作中，节点注入功率的预测会在实际工作中，节点注入功率的预测会有误差，运行中也会有随机波动；网络元有误差，运行中也会有随机波动；网络元件也会发生偶然事故而退出运行，这些都件也会发生偶然事故而退出运行，这些都造成了原始计算数据的随机性，使得计算造成了原始计算数据

110、的随机性，使得计算结果也带有不确定性。为估计这些不确定结果也带有不确定性。为估计这些不确定因素对系统的影响，若采用确定性的潮流因素对系统的影响，若采用确定性的潮流计算方法，就需要根据各种可能的变动情计算方法，就需要根据各种可能的变动情况组成众多方案进行大最计算，耗时极多。况组成众多方案进行大最计算，耗时极多。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 随机潮流则把潮流计算的已知量和待求随机潮流则把潮流计算的已知量和待求量都作为随机变量处理。随机潮流输入的量都作为随机变量处理。随机潮流输入的原始数据根据原始数据根据 及及 节点的不同是相应节点的不同是相应节点注入功率或节点电

111、压的期望值、方差节点注入功率或节点电压的期望值、方差和概率密度函数等，而计算结果也是节点和概率密度函数等，而计算结果也是节点电压及支路潮流等的概率统计特性（如期电压及支路潮流等的概率统计特性（如期望值、方差、概率分布函数等）。所以只望值、方差、概率分布函数等）。所以只要通过一次计算就能为电力系统运行和规要通过一次计算就能为电力系统运行和规划提供较全面的信息。划提供较全面的信息。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 如通过概率分布曲线，可以知道线路过负荷的如通过概率分布曲线，可以知道线路过负荷的概率有多大，线路经常出现的潮流值是多少；概率有多大，线路经常出现的潮流值是

112、多少；根据所提供的信息，可以更恰当地确定输电线根据所提供的信息，可以更恰当地确定输电线及无功补偿设备的容量以及系统的备用容量等。及无功补偿设备的容量以及系统的备用容量等。 随机潮流问题在随机潮流问题在19741974年首次提出，采用直流模年首次提出，采用直流模型。以后发展为线性化交流模型，也有采用最型。以后发展为线性化交流模型，也有采用最小二乘法及保留非线性的交流模型等。目前，小二乘法及保留非线性的交流模型等。目前，这个问题的研究方法及应用领域正在不断深入这个问题的研究方法及应用领域正在不断深入发展。发展。 九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 三、三相潮流三、三相

113、潮流 在有些场合，例如系统含有未换位的超在有些场合，例如系统含有未换位的超高压输电线路或有很大的单相负载时，系高压输电线路或有很大的单相负载时，系统三相不对称统三相不对称, ,因而需建立三相模型和研因而需建立三相模型和研究三相潮流计算方法。从单相潮流到三相究三相潮流计算方法。从单相潮流到三相潮流，原来的一个节点将变成三相三个节潮流，原来的一个节点将变成三相三个节点，原来的一条支路也变成三条支路，所点，原来的一条支路也变成三条支路，所以无论是已知量或待求量均以三倍数增加。以无论是已知量或待求量均以三倍数增加。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 由于系统的超高压输电线

114、（严格地讲由于系统的超高压输电线（严格地讲还有某些变压器）各相间有不对称的耦合，还有某些变压器）各相间有不对称的耦合，用对称分量法进行分析已失去了各序网相用对称分量法进行分析已失去了各序网相互独立的特点，所以研究三相潮流，目前互独立的特点，所以研究三相潮流，目前较多采用相坐标系统而不用较多采用相坐标系统而不用120120对称分量对称分量坐标系。坐标系。 建立了三相潮流计算的数学模型以后，建立了三相潮流计算的数学模型以后，可以采用类似于单相潮流的方法来求解。可以采用类似于单相潮流的方法来求解。如牛顿如牛顿- -拉夫逊法。拉夫逊法。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介 除了以上三种潮流计算问题之外，还有除了以上三种潮流计算问题之外，还有其它一些用途不同的特殊潮流问题如其它一些用途不同的特殊潮流问题如谐波谐波潮流、动态潮流潮流、动态潮流等等。等等。九几种特殊性质的潮流计算问题简介九几种特殊性质的潮流计算问题简介电力工程系电力工程系Department of Electrical EngineeringNorth China Electric Power UniversityThanks Http ee