《高考数学 第十章 第三节 复合函数的导数、数学归纳法的原理及简单应用课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第十章 第三节 复合函数的导数、数学归纳法的原理及简单应用课件 理 苏教版（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 复合函数的导数、数学归纳法的原理及简单应用1.1.复合函数的导数复合函数的导数(1)(1)复合函数的概念复合函数的概念对于函数对于函数y=f(y=f(x(x),),令令u=u=(x(x) )，若，若y=f(uy=f(u) )是中间变量是中间变量u u的函的函数数,u=,u=(x(x) )是自变量是自变量x x的函数，则函数的函数，则函数y=f(y=f(x(x)是自变量是自变量x x的的_._.(2)(2)形如形如f(ax+bf(ax+b) )的复合函数的求导公式的复合函数的求导公式一般地，若一般地，若y=f(uy=f(u) )，u=ax+bu=ax+b, ,则则 _,_,即即 _._.
2、复合函数复合函数2.2.数学归纳法公理数学归纳法公理如果如果(1)(1)当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1=1，2 2等等) )时结论正确时结论正确. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *，且，且kn0)kn0)时结论正确，证明当时结论正确，证明当n=k+1n=k+1时结时结论也正确论也正确. .那么，命题对于从那么，命题对于从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当用数
3、学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1n=1时结论成立时结论成立.( ).( )(2)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( .( ) )(3)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ).( )(4)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n nk k 到到 n nk k1 1时，项数都增加了一项时，项数都增加了一项.( ).( )(5)(5)用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式“1+2+21+2+22 2+ +2+
4、2n+2n+2=2=2n+3n+3-1-1”，验证，验证n=1n=1时，左边式子应为时，左边式子应为1+2+21+2+22 2+2+23 3.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .用数学归纳法证明时，第一步是验证当用数学归纳法证明时，第一步是验证当n n取取第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1.1.(2)(2)错误错误. .例如，证明等式例如，证明等式时，也可直接运用等比数列的求和公式证明时，也可直接运用等比数列的求和公式证明. .(3)(3)错误错误. .用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则用数学归纳法证明问题时
5、，归纳假设必须用上，否则就不是用数学归纳法证明就不是用数学归纳法证明. .(4)(4)错误错误. .用数学归纳法证明时，由用数学归纳法证明时，由n nk k 到到 n nk k1 1时项数不时项数不一定都增加了一项一定都增加了一项. .(5)(5)正确正确. .当当n=1n=1时左边式子一共有时左边式子一共有4 4项，为项，为1+2+21+2+22+2+23. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5) 考向考向 1 1 复合函数的导数及其应用复合函数的导数及其应用【典例【典例1 1】(2013(2013南通模拟南通模拟) )设函数设函数f(x)
6、=xlnf(x)=xln x+ x+(1-x)ln(1-x)(0x1), (1-x)ln(1-x)(0x1), 求求f(xf(x) )的最小值的最小值. .【思路点拨【思路点拨】求求f f(x(x) )，判断，判断f f(x(x) )的符号，指明的符号，指明f(xf(x) )的单调性，的单调性，求求f(xf(x) )的最小值的最小值. .【规范解答【规范解答】对函数对函数f(xf(x) )求导数求导数:f(x)=(xln:f(x)=(xln x)+ x)+(1-x)ln(1-x)(1-x)ln(1-x)=ln=ln x-ln(1-x). x-ln(1-x).于是于是当当0 0x x 时时,f(
7、x)=ln,f(x)=ln x-ln(1-x)0,f(x) x-ln(1-x) x 时时,f(x)=ln,f(x)=ln x-ln(1-x)0,f(x) x-ln(1-x)0,f(x)在区间在区间( ,1)( ,1)上是上是增函数增函数. .所以所以f(xf(x) )在在x= x= 时取得最小值，时取得最小值，f( )=-ln2.f( )=-ln2.【拓展提升【拓展提升】复合函数求导的步骤复合函数求导的步骤求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是对谁求导，其一般步骤是：清是对谁求导，其一般步骤是：(1)(1)分清复合关系，
8、适当选定中间变量，正确分解复合关系分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系( (简简称分解复合关系称分解复合关系).).(2)(2)分层求导，弄清每一步中对哪个变量求导数分层求导，弄清每一步中对哪个变量求导数( (简称分层求导简称分层求导).).即：分解即：分解求导求导. .【变式训练【变式训练】(2013(2013南京模拟南京模拟) )已知曲线已知曲线 在点在点A A处的切线与曲线处的切线与曲线y=sin(2x+y=sin(2x+) ) 在点在点B B处的切线相同，求处的切线相同，求的值的值. .【解析【解析】 当且仅当当且仅当即即x+2=1,x=-1x+2=1,x=-1时，取等号时
9、，取等号. .又又k k切切=y=2cos(2x+=y=2cos(2x+)2)2，k k切切=2=2，此时切点，此时切点A(-1A(-1，-1)-1)，切线切线l：y=2x+1y=2x+1，由由2cos(2x+2cos(2x+)=2)=2得得cos(2x+cos(2x+)=1)=1，sin(2x+sin(2x+)=0)=0，从而，从而sin(-1+sin(-1+)=0,-1+)=0,-1+=k,kZ=k,kZ，=k+1,kZ,=k+1,kZ,又又考向考向 2 2 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式【典例【典例2 2】是否存在常数是否存在常数a,b,ca,b,c，使得等式，使得等式(n(n
10、2 2-1-12 2)+)+2(n2(n2 2-2-22 2)+)+n(n+n(n2 2-n-n2 2)=an)=an4 4+bn+bn2 2+c+c对一切正整数对一切正整数n n都成立？都成立？若存在，求出若存在，求出a,b,ca,b,c的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .【思路点拨【思路点拨】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得在，利用特值求得a a，b b，c c的值，而后用数学归纳法证明的值，而后用数学归纳法证明. .【规范解答【规范解答】假设存在假设存在a a，b b，c c使得所给等式成立使得所给
11、等式成立. .令令n=1,2,3n=1,2,3代入等式得代入等式得解得解得以下用数学归纳法证明等式以下用数学归纳法证明等式对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立. .(1)(1)当当n=1n=1时，由以上可知等式成立时，由以上可知等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，等式成立，即时，等式成立，即则当则当n=k+1n=k+1时，时，(k+1)(k+1)2 2-1-12 2+2+2(k+1)(k+1)2 2-2-22 2+ +k+k(k+1)(k+1)2 2-k-k2 2+ +(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)2 2-(k+1)-(k+1)2 2=(k=(k2 2-1-1
12、2 2)+2(k)+2(k2 2-2-22 2)+)+k(k+k(k2 2-k-k2 2)+(2k+1)+2(2k+1)+)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)+k(2k+1)由由(1)(2)(1)(2)知，等式对一切正整数知，等式对一切正整数n n都成立都成立. .【拓展提升【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点用数学归纳法证明等式的注意点(1)(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由明确等式两边项的构成规律，弄清由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时左边的时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标项是如何变化的，由此明确变形的目标. .(2)(2)注意合理利用恒等变形的常用方法
13、注意合理利用恒等变形的常用方法. .例如，因式分解、添拆例如，因式分解、添拆项、配方等项、配方等. .【变式训练【变式训练】是否存在常数是否存在常数a a，b b，c c，使等式，使等式1 12 22 2+2+23 32 2+ + +n(n+1)n(n+1)2 2= = (an (an2 2bnbnc)c)对一切正整数对一切正整数n n都成立？都成立？证明你的结论证明你的结论 【证明【证明】把把n n1 1，2 2，3 3代入等式得方程组代入等式得方程组解得解得猜想：等式猜想：等式1 12 22 22 23 32 2n(nn(n1)1)2 2 (3n(3n2 211n11n10)10)对一切对
14、一切nNnN* *都成立都成立下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：(1)(1)当当n n1 1时，由上面可知等式成立时，由上面可知等式成立(2)(2)假设假设n nk(k1,kNk(k1,kN* *) )时等式成立，时等式成立，即即1 12 22 22 23 32 2k(kk(k1)1)2 2 (3k(3k2 211k11k10)10)，则当则当n nk+1k+1时，时，1 12 22 22 23 32 2k(kk(k1)1)2 2(k(k1)(k1)(k2)2)2 2 (3k(3k2 211k11k10)10)(k(k1)(k1)(k2)2)2 2 (3k(3k5)(k5)(k2)2
15、)(k(k1)(k1)(k2)2)2 2 k(3kk(3k5)5)12(k12(k2)2)= 3(k+1)= 3(k+1)2 2+11(k+1)+10+11(k+1)+10,当当 n nk k1 1 时，等式也成立时，等式也成立综合综合(1)(2)(1)(2)，对，对nNnN* *等式都成立等式都成立考向考向 3 3 用数学归纳法证明法证明不等式用数学归纳法证明法证明不等式【典例【典例3 3】由下列不等式：由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明. .【思路点拨【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相观察所给出的不等式，其左边是
16、若干个分式相加，分子都是加，分子都是1 1，分母由，分母由1 1开始，每一项比前一项大开始，每一项比前一项大1 1，最后一，最后一项是项是2 2n n-1-1，因此左边的式子为，因此左边的式子为 不等式的右不等式的右边是一个分数，依次为边是一个分数，依次为 由此可得到一般由此可得到一般的不等式的不等式. .证明可采用数学归纳法证明可采用数学归纳法. .【规范解答【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第根据给出的几个不等式可以猜想第n n个不等式，个不等式，即一般不等式为即一般不等式为用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：(1)(1)当当n=1n=1时，时， 猜想成立猜想成立. .(2)
17、(2)假设当假设当n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时，猜想成立，即时，猜想成立，即则当则当n=k+1n=k+1时，时， 即当即当n=k+1n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的时，猜想也成立，所以对任意的nNnN*，不等式都成，不等式都成立立. .【拓展提升【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)(1)当遇到与正整数当遇到与正整数n n有关的不等式证明时，应用其他办法不容有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法易证，则可考虑应用数学归纳法. .(2)(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关
18、键是由n=kn=k成立，推证成立，推证n=k+1n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差作差( (作商作商) )比较法、放缩法等证明比较法、放缩法等证明. .【变式训练【变式训练】求证：求证：【证明【证明】(1)(1)当当n n2 2时，左边时，左边 不等式成立不等式成立(2)(2)假设假设n nk(k2k(k2，kNkN*) )时命题成立，即时命题成立，即则当则当n nk k1 1时，时，当当n nk k1 1时不等式亦成立时不等式亦成立原不等式对一切原不等式对一切n2n2，nNnN*均成立均成立考向考向4 4
19、 归纳、猜想、证明归纳、猜想、证明【典例【典例4 4】在数列在数列aan 中，中，a a1=2,a=2,an+1=a=an+n+1n+1+ +(2-)2(2-)2n n(nN(nN* *,0).,0).(1)(1)求求a a2 2，a a3 3，a a4 4. .(2)(2)猜想猜想aan n 的通项公式，并加以证明的通项公式，并加以证明. .【思路点拨【思路点拨】利用递推公式将利用递推公式将n=1,2,3n=1,2,3代入即可求得代入即可求得a a2 2，a a3 3，a a4 4，然后再用数学归纳法证明猜想成立，然后再用数学归纳法证明猜想成立. .【规范解答【规范解答】(1)a(1)a2
20、2222 2(2(2)2)22 22 22 2，a a3 3(2 22 22 2) )3 3(2(2)2)22 2223 32 23 3，a a4 4(2(23 32 23 3) )4 4(2(2)2)23 3334 42 24 4. .(2)(2)由由(1)(1)可猜想数列通项公式为：可猜想数列通项公式为：a an n=(n-1)=(n-1)n n+2+2n n. .下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：当当n n1 1时，时，a a1 12 2，等式成立，等式成立假设当假设当n nk(k1,kNk(k1,kN* *) )时等式成立，即时等式成立，即a ak k=(k-1)=(k-1)
21、k k+2+2k k，那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1=a=ak k+k+1k+1+(2-)2+(2-)2k k=(k-1)=(k-1)k k+2+2k k+k+1k+1+2+2k+1k+1-2-2k k=(k+1)-1=(k+1)-1k+1k+1+2+2k+1k+1, ,即当即当n nk k1 1时等式也成立，根据时等式也成立，根据和和可知，等式对任何可知，等式对任何nNnN* *都成立都成立【拓展提升【拓展提升】解解“归纳归纳猜想猜想证明证明”题的关键环节题的关键环节(1)(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基
22、础. .(2)(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论. .(3)(3)对一般结论用数学归纳法进行证明对一般结论用数学归纳法进行证明. .【变式训练【变式训练】数列数列aan 中，中， 且且求求a a3 3,a,a4 4, ,猜想猜想a an n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. .【解析【解析】因为因为 且且所以所以 同理可求得同理可求得归纳猜想归纳猜想下面用数学归纳法证明猜想正确下面用数学归纳法证明猜想正确. .(1)(1)当当n=1n=1时，易知猜想正确时，易知猜想正确. .(2)(2)假设当假设当
23、n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时，猜想正确，即时，猜想正确，即 那么那么当当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，猜想也正确时，猜想也正确. .由由(1)(2)(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确可知，猜想对任意正整数都正确. .1.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：【证明【证明】当当n n1 1时，左边时，左边右边右边= =左边右边，等式成立；左边右边，等式成立；假设假设n nk(k1,kNk(k1,kN*) )时，等式成立，时，等式成立，即即当当n nk k1 1时，左边时，左边 所以当所以当n nk k1 1时，等式成时，等式成立由立由可
24、得对任意可得对任意nNnN* *，等式成立，等式成立2.2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明4 42n+12n+1+3+3n+2n+2能被能被1313整除，其中整除，其中n n为正整数为正整数. .【证明【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，时，4 42 21+11+1+3+31+21+2=91=91能被能被1313整除整除. .(2)(2)假设当假设当n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时，时，4 42k+12k+1+3+3k+2k+2能被能被1313整除，则当整除，则当n=k+1n=k+1时，时，方法一：方法一：4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3k+3k+3=4=
25、42k+12k+14 42 2+3+3k+2k+23-43-42k+12k+13+43+42k+12k+13=43=42k+12k+113+313+3(4(42k+12k+1+3+3k+2k+2).).442k+12k+11313能被能被1313整除，整除，4 42k+12k+1+3+3k+2k+2能被能被1313整除整除, ,442(k+1)+12(k+1)+1+3+3k+3k+3能被能被1313整除整除. .方法二：方法二：4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3k+3k+3 -3(4-3(42k+12k+1+3+3k+2k+2) )=(4=(42k+12k+14 42 2+3+3k
26、+2k+23)-3(43)-3(42k+12k+1+3+3k+2k+2)=4)=42k+12k+113,13,442k+12k+11313能被能被1313整除，整除，4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3k+3k+3-3(4-3(42k+12k+1+3+3k+2k+2) )能被能被1313整除，即整除，即4 42(k+1)+12(k+1)+1+3+3k+3k+3能被能被1313整除整除, ,当当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立, ,由由(1)(2)(1)(2)知，对任意知，对任意nNnN*，4 42n+12n+1+3+3n+2n+2都能被都能被1313整除整除. .【方
27、法技巧【方法技巧】证明整除问题的关键证明整除问题的关键“凑项凑项”证明整除问题的关键是证明整除问题的关键是“凑项凑项”，即采用增项、减项、拆项和，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将因式分解等手段，将n=k+1n=k+1时的式子凑出时的式子凑出n=kn=k时的情形，从而利时的情形，从而利用归纳假设使问题获证用归纳假设使问题获证. .3.(20133.(2013扬州模拟扬州模拟) )设函数设函数f(xf(x)=x-sin x,)=x-sin x,数列数列aan n 满足满足a an+1n+1=f=f(a(an n).).(1)(1)若若a a1 1=2=2，试比较，试比较a a2 2与与a
28、 a3 3的大小的大小. .(2)(2)若若0a0a1 111，求证：，求证：0a0an n10,0,所以所以a a3 3-a-a2 2=-sin a=-sin a2 20aa3 3. .(2)(2)用数学归纳法证明当用数学归纳法证明当0a0a1 111时，时，0a0an n11对任意对任意nNnN* *恒成立恒成立. .n=1n=1时，结论成立；时，结论成立；设设n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时，时，0a0ak k11，则当，则当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1-a-ak k=-sin a=-sin ak k00，即，即a ak+1k+1aak k1,0,)=
29、1-cos x0,即即f(xf(x) )是是(0(0，1)1)上的单调上的单调递增函数，递增函数，所以所以a ak+1k+1=f(a=f(ak k)f(0)=0)f(0)=0，即，即0a0ak+1k+111，即，即n=k+1n=k+1时，结论成立时，结论成立. .综上可得，当综上可得，当0a0a1 111时，时，0a0an n12n2时，时，综上所述，当综上所述，当n2n2时，时，【变式备选【变式备选】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,其中其中且且(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3. .(2)(2)猜想数列猜想数列aan n 的通项公式，并用数学归
30、纳法加以证明的通项公式，并用数学归纳法加以证明. .【解析【解析】(1)(1)又又 则则 类似地求得类似地求得(2)(2)由由猜得猜得: :用数学归纳法证明如下用数学归纳法证明如下: :当当n=1n=1时时, ,等式成立等式成立; ;假设当假设当n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时猜想成立，时猜想成立，即即那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，由题设时，由题设 得得所以所以因此，因此，所以所以这就证明了当这就证明了当n=k+1n=k+1时猜想成立时猜想成立. .由由可知猜想对任何可知猜想对任何nNnN* *都成立都成立. .7.(20137.(2013南京模拟南京模拟) )已知
31、已知f(xf(x)=2(1+x)ln(1+x)-x)=2(1+x)ln(1+x)-x2 2-2x-2x，xx0,+),0,+),求求f(xf(x) )的最大值的最大值. .【解析【解析】由由f(xf(x)=2(1+x)ln(1+x)-x)=2(1+x)ln(1+x)-x2 2-2x-2x得得f(xf(x)=2ln(1+x)-2x)=2ln(1+x)-2x，令，令g(xg(x)=2ln(1+x)-2x,)=2ln(1+x)-2x,则则当当-1x0-1x0)0，g(xg(x) )在在(-1(-1，0)0)上为增函数；上为增函数；当当x0x0时，时，g(xg(x)0)0，g(xg(x) )在在(0,
32、+)(0,+)上为减函数，上为减函数，故故g(xg(x) )在在x=0x=0处取得极大值，且处取得极大值，且g(0)=0g(0)=0，故，故f(x)0(f(x)0(当且仅当且仅当当x=0x=0时等号成立时等号成立) )，所以函数，所以函数f(xf(x) )为为0 0，+)+)上的减函数，上的减函数，则则f(x)f(0)=0f(x)f(0)=0，即，即f(xf(x) )的最大值为的最大值为0.0.8.8.某班级共派出某班级共派出n+1n+1个男生和个男生和n n个女生参加学校运动会的入场仪个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队式，其中男生甲为领队. .入场时，领队男生甲必须排第一个，入
33、场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E En n种排种排法；入场后，又需从男生法；入场后，又需从男生( (含男生甲含男生甲) )和女生中各选和女生中各选1 1名代表到名代表到主席台服务，共有主席台服务，共有F Fn n种选法种选法. .(1)(1)试求试求E En n和和F Fn n. .(2)(2)判断判断lnln E En n与与F Fn n的大小的大小(nN(nN* *) )，并用数学归纳法证明，并用数学归纳法证明. .【解析【解析】(1)(1)(2)(2)因为因为lnln E En n=2ln(n
34、!),F=2ln(n!),Fn n=n(n+1)=n(n+1)，所以，所以lnln E E1 1=0F=0F1 1=2,=2,lnln E E2 2=ln=ln 4F 4F2 2=6,=6,lnln E E3 3=ln=ln 36F 36F3 3=12,=12, ,由此猜想：当由此猜想：当nNnN* *时，都有时，都有lnln E En nFFn n，即，即2ln(n!)n(n+1).2ln(n!)n(n+1).下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明2ln(n!)n(n+1)(nN2ln(n!)n(n+1)(nN* *).).当当n=1n=1时，该不等式显然成立时，该不等式显然成立. .假设
35、当假设当n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时，不等式成立，时，不等式成立，即即2ln(k!)k(k+1)2ln(k!)k(k+1)，则当，则当n=k+1n=k+1时，时，2ln2ln(k+1)!(k+1)!=2ln(k+1)+2ln(k!)2ln(k+1)+k(k+1),=2ln(k+1)+2ln(k!)2ln(k+1)+k(k+1),要证当要证当n=k+1n=k+1时不等式成立，只要证：时不等式成立，只要证：2ln(k+1)+k(k+1)(k+1)(k+2)2ln(k+1)+k(k+1)(k+1)(k+2)，只要证：，只要证：ln(k+1)k+1.ln(k+1)k+1.令令f(x)=ln x-x,xf(x)=ln x-x,x2,+),2,+),因为因为 所以所以f(xf(x) )在在2 2，+)+)上单调递减，上单调递减，从而从而f(x)f(2)=ln2-2f(x)f(2)=ln2-20,0,即即f(xf(x) )0,0,而而k+1k+12,+),2,+),所以所以ln(k+1)ln(k+1)k+1k+1成立，成立，则当则当n=k+1n=k+1时，不等式也成立时，不等式也成立. .综合综合，得原不等式对任意的，得原不等式对任意的nNnN* *均成立均成立. .
